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课时作业(十七)　导数的四则运算法则
[练基础]
1．函数y＝的导数是(　　)
A． B．
C． D．
2．已知f(x)＝x·sin x，则导数f′＝(　　)
A．0 B．－1
C．π D．－π
3．已知函数f(x)＝ex ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则的值为(　　)
A． B．e
C．1 D．0
4．曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1, a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为(　　)
A．－6 B．6
C．12 D．－12
5．已知函数f(x)＝－ax2，若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线2x－y＋1＝0平行，则a＝(　　)
A．－ B．
C．1 D．2
6．(多选题)已知函数f(x)＝x cos x的导函数为f′(x)，则(　　)
A．f′(x)为偶函数
B．f′(x)为奇函数
C．f′(0)＝1
D．f＋f′
7．函数f(x)＝xex－ex的图象在点处的切线方程为________．
8．已知函数f(x)＝ax3＋2，若f′＝4，则a＝________．
9．已知函数y＝x ln x.
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程．
10．设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，若已知f′(x)＝x cos x，求f(x)的解析式．
[提能力]
11．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞)
B．
C．(2，＋∞)
D．(－1，0)
12．(多选题)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是(　　)
A．f(x)＝sin x－cos x
B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1
D．f(x)＝xex
13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝________．
14．已知函数f(x)＝－x2＋2xf′(2 021)＋2 021ln x，则f′＝________．
15．已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点处的切线方程；
(2)求函数f′(x)>0的解集．
[培优生]
16．已知f0(x)＝ex sin ，记fn(x)＝.
(1)f1(x)，f2(x)，f3(x)；
(2)求S4n＝f0(x)＋f1(x)＋…＋f4n－1(x).
课时作业(十七)　导数的四则运算法则
1．解析：因为y＝，所以y′＝.
故选A.
答案：A
2．解析：∵f＝x sin x，∴f′＝sin x＋x cos x，因此，＝－π.
故选D.
答案：D
3．解析：∵f＝ex ln x，则f′＝ex，因此，＝e.
故选B.
答案：B
4．解析：由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，
则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1, a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，得a＝－6.
故选A.
答案：A
5．解析：函数f(x)＝－ax2的导数为f′(x)＝－2ax，
可得曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为k＝＝1－2a，
由切线与直线2x－y＋1＝0平行，可得1－2a＝2，解得a＝－.
故选A.
答案：A
6．解析：f′(x)＝cos x－x sin x.
因为f(x)＝x cos x是奇函数，所以f′(x)是偶函数，故A正确，B错误；
f′(0)＝cos 0－0sin 0＝1，故C正确；
f＋f′cos ＋cos sin ，故D错误．
故选AC.
答案：AC
7．解析：∵f＝xex－ex，∴f′＝xex，
∴f′＝e，即切线斜率为e，又f＝0，
则切线方程为y＝e.
答案：y＝e
8．解析：由题意得f′，所以f′＝3a＋1＝4，
解得a＝1.
答案：1
9．解析：(1)因为y＝x ln x，所以y′＝x·＋1·ln x＝1＋ln x；
(2)k＝f′＝1＋ln e＝2，当x＝e时，y＝e，所以切点为，
所以切线方程为y－e＝2，即2x－y－e＝0.
10．解析：因为f′(x)＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝a sin x＋(ax＋b)cos x＋c cos x－(cx＋d)sin x
＝(a－d－cx)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又因为f′(x)＝x cos x，所以，
解方程组，得，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x sin x＋cos x．
11．解析：由题知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－，
令2x－2－>0，整理得x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，
结合函数的定义域知，f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
故选C.
答案：C
12．解析：对于A，f′＝cos x＋sin x，f″＝－sin x＋cos x＝，
当x∈时，－0，
故f＝sin x－cos x不是凸函数；
对于B，f′－2，f″<0，故f＝ln x－2x是凸函数；
对于C，f′＝－3x2＋2，对任意的x∈＝－6x<0，故f＝－x3＋2x－1是凸函数；
对于D，f′ex，对任意的x∈ex>0，故f＝xex不是凸函数．
故选AD.
答案：AD
13．解析：由关系式f＝2xf′＋ln x，两边求导得＝，令x＝e得f′＝2f′，所以f′＝－e-1.
答案：－e-1
14．解析：∵f(x)＝－x2＋2xf′(2 021)＋2 021ln x，
∴f′(x)＝－x＋2f′(2 021)＋，
∴f′(2 021)＝－2 021＋2f′(2 021)＋1，
∴f′(2 021)＝2 020.
答案：2 020
15．解析：(1)依题意知，函数f＝x2－ln x的定义域为，且f′，
∴f＝12－ln 1＝1，f′＝2－1＝1，
因此，曲线y＝f在点处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x；
(2)依题意知，函数f＝x2－ln x的定义域为，且，
令f′>0且x>0，解得x>，故不等式f′>0的解集为.
16．解析：(1)由f0(x)＝exsin 得f1(x)＝f0′(x)＝.
同理，f2(x)＝ex，
f3(x)＝ex.
(2)由(1)得，当n＝4k时，f4k(x)＝，
当n＝4k＋1时，
f4k＋1(x)＝ex；
当n＝4k＋2时，f4k＋2(x)＝，
当n＝4k＋3时，f4k＋3(x)＝ex.
所以，f4k(x)＋f4k＋1(x)＋f4k＋2(x)＋f4k＋3(x)＝ex(5cos x－5sin x)＝×5ex cos

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