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课时作业(十八)　简单复合函数的求导法则
[练基础]
1．函数y＝的导函数为(　　)
A．y＝－ex B．y＝－
C．y＝ex D．y＝
2．函数y＝在x＝0处的导数为(　　)
A．0 B．1
C．3 D．4
3．下列求导结果正确的是(　　)
A．′＝－sin
B．(3x)′＝x3x-1
C．(log2x)′＝
D．(sin 2x)′＝cos 2x
4．曲线f(x)＝sin 2x在原点处的切线方程是(　　)
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝－x D．y＝－2x
5．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么＝(　　)
A．－2 B．2
C． D．－
6．(多选题)设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，则以下求导运算中，正确的有(　　)
A．若f(x)＝sin 2x，则f′(x)＝cos 2x
B．若f(x)＝xex－ln 2，则f′(x)＝(x＋1)ex
C．若f′(x)＝2x－1，则f(x)＝x2－x
D．若f(x)＝tan x，则f′(x)＝
7．曲线f(x)＝e4x－x－2在点(0，f(0))处的切线方程是________．
8．若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________．
9．求下列函数的导数
(1)f(x)＝ln x＋xax；
(2)f(x)＝.
10．已知曲线y＝e2x·cos 3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
[提能力]
11．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
12．(多选题)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝
13.函数f(x)＝的导数f′(x)＝______，其图象在点处的切线方程为
________________________．
14．已知a，b为正实数，直线y＝x－a与曲线y＝ln (x＋b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是________．
15．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)的导函数为f′(x)．
(1)若b＝c，求曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线方程；
(2)求的值．
[培优生]
16．已知＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋an；
(2)我们知道二项式(1＋x)n的展开式(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xn，若等式两边对x求导得n(1＋x)n-1＝xn-1，令x＝1得＝n·2n-1.利用此方法解答下列问题：
①求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan；
②求12a1＋22a2＋32a3＋…＋n2an.
课时作业(十八)　简单复合函数的求导法则
1．解析：y′＝(e－x)′＝e－x·(－x)′＝e－x×(－1)＝－e－x.故选B.
答案：B
2．解析：因为y′＝4(2x＋1)，所以函数y＝在x＝0处的导数为4×1＝4.故选D.
答案：D
3．解析：′＝0，A选项错误；
(3x)′＝3x ln 3，B选项错误；
(log2x)′＝，C选项正确；
(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x，D选项错误．故选C.
答案：C
4．解析：∵f(x)＝sin 2x，则f′(x)＝2cos 2x，∴f′(0)＝2，
因此，曲线f(x)＝sin 2x在原点处的切线方程是y＝2x.
故选B.
答案：B
5．解析：由题意知，f′(x)＝2cos 2x－2sin 2x，
所以f′＝2cos π－2sin π＝－2.
故选A.
答案：A
6．解析：因为f(x)＝sin 2x，所以f′(x)＝(sin 2x)′(2x)′＝2cos 2x，A错误；
因为f(x)＝xex－ln 2，所以f′(x)＝x′ex＋x(ex)′－0＝(x＋1)ex，B正确；
若f′(x)＝2x－1，则f(x)＝x2－x＋c(c为任意常数)，C错误；
因为f(x)＝tan x＝，
所以f′(x)＝
＝，D正确，
故选BD.
答案：BD
7．解析：因为f(x)＝e4x－x－2，故f′(x)＝4e4x－1，故f′(0)＝4e0－1＝3，又因为f(0)＝e0－0－2＝－1，
故f(x)＝e4x－x－2在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－1)＝3(x－0)，即为y＝3x－1.
答案：y＝3x－1
8．解析：由f(x)＝eax＋ln (x＋1)，得f′(x)＝aeax＋，
∵f′(0)＝4，∴f′(0)＝a＋1＝4，∴a＝3.
答案：3
9．解析：(1)因为f(x)＝ln x＋xax，所以f′(x)＝＝＋ax＋xax ln a.
(2)因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
10．解析：∵y′＝(e2x·cos 3x)′
＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)e2x
＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)
∴y′|x＝0＝e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，
∴曲线在点(0，1)处的切线方程为：y＝2x＋1，
设直线l：y＝2x＋t，
由d＝解得t＝6或t＝－4.
所以直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
11．解析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为c(x)＝(80所以c′(x)＝′＝，
又因为c′(90)＝＝40，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t，
故选D.
答案：D
12．解析：若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，则x2＝2x，这个方程显然有解，故A符合要求；
若f(x)＝e－x，则f′(x)＝
此方程无解，故B不符合要求；
若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，由ln x＝，令y＝ln x，y＝ (x>0)，作出两函数的图象如图所示，由两函数图象有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；
若f(x)＝，则f′(x)＝－，由＝－，可得x＝－1，故D符合要求．
故选ACD.
答案：ACD
13．解析：f(x)＝，则f′(x)＝＝，所以函数y＝f(x)的图象在点处的斜率为，即函数y＝f(x)的图象在点)处切线方程为.
答案：
14．解析：对y＝ln (x＋b)求导得，
因为直线y＝x－a与曲线y＝ln (x＋b)相切于点(x0，y0)，
所以即x0＝1－b，
所以y0＝ln (x0＋b)＝ln (1－b＋b)＝0，所以切点为(1－b，0)，
由切点(1－b，0)在切线y＝x－a上可得1－b－a＝0即b＋a＝1，
所以，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值是4.
答案：4
15．解析：(1)若b＝c，则f(x)＝(x－a)(x－b)2，所以f′(x)＝(x－b)2＋(x－a)·2(x－b)，
则f′(b)＝(b－b)2＋(b－a)·2(b－b)＝0，即曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线斜率为0，
又因为f(b)＝(b－a)(b－b)2＝0，
所以所求切线方程为：y＝0；
(2)由f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)得
(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)(x－b)，
所以f(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)，
因此
＝－＝0.
16．解析：(1) 对于(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
取x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋an＝1.
(2) ①对(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn两边求导得2n(2x－1)n-1＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn-1，
取x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n.
②将2n(2x－1)n-1＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn-1两边乘以x得
2n(2x－1)n-1·x＝a1x＋2a2x2＋3a3x3＋…＋nanxn,
两边求导得
2n[2(n－1)(2x－1)n-2x＋(2x－1)n-1]＝a1＋22a2x＋32a3x2＋…＋n2anxn-1，
取x＝1得12a1＋22a2＋32a3＋…＋n2an＝4n2－2n.

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