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课时作业(二十)　函数单调性的应用
[练基础]
1．函数f(x)＝－x3＋4x2－4x的单调增区间是(　　)
A． B．
C． D．
2．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
3．当0A．f2(x)B．f(x2)C．f(x)D．f(x2)4．已知函数f(x)＝x－－2ln x在(0，＋∞)上是单调递增函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>0 B．k>1
C．k≥0 D．k≥1
5．已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f(x)>f′(x)＋1，且f(0)＝2 021，则不等式f(x)－2 020ex<1的解集为(　　)
A．(－∞，e) B．(－∞，2 021)
C．(0，＋∞) D．(2 020，＋∞)
6．(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于x＝1对称
B．函数y＝f(x)在区间(－∞，＋∞)上为单调递增函数
C．函数f(x)在x＝－1处的切线的倾斜角大于
D．关于x的不等式f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)
7．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．
8．已知函数f(x)＝x3＋x－sin x，若f(2x)＋f(x2－3)>0，则实数x的取值范围为________．
9．求f(x)＝3x2－2ln x函数的单调区间．
10．已知函数f(x)＝x2－4x＋5－(a∈R)．若f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，求a的取值范围．
[提能力]
11．设函数f(x)＝a ln x＋bx2，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，则函数y＝f(x)的增区间为(　　)
A．(0，1) B．
C． D．
12．(多选题)已知定义在上的函数f(x)的导函数f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cos x＋f(x)sin x<0，则下列判断正确的是(　　)
A．f< B．f>
C．f> D．f<
13.若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，则实数a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)．
(1)实数k的值为____________；
(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
[培优生]
16．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－ax＋a(a∈R)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若存在x0∈(1，＋∞)，使得不等式f(x0)<0成立，求a的取值范围．
课时作业(二十)　函数单调性的应用
1．解析：由f(x)＝－x3＋4x2－4x得f′(x)＝－3x2＋8x－4，
由f′(x)＝－3x2＋8x－4>0得3x2－8x＋4<0，解得因此函数f(x)＝－x3＋4x2－4x的单调增区间是.
故选C.
答案：C
2．解析：f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.
故选A.
答案：A
3．解析：根据0当00，从而可得f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，
所以f(x2)而f2(x)＝>0，所以有f(x2)故选D.
答案：D
4．解析：因为函数f(x)＝x－－2ln x在(0，＋∞)上是单调递增函数，
所以f′(x)＝1＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，
所以k≥1.
故选D.
答案：D
5．解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝<0，
∴函数g(x)在R上单调递减，∵f(0)＝2 021，∴g(0)＝＝2 020，
由f(x)－2 020ex<1得<2 020，∴g(x)∵函数g(x)在R上单调递减，∴x>0，
故选C.
答案：C
6．解析：对于A，函数f(x)的导函数f′(x)>0，则f(x)在R上是单调递增函数，图象不关于x＝1对称，错误；
对于B，f′(x)的图象都在x轴的上方，所以f′(x)>0，所以函数y＝f(x)在区间上为单调递增函数，正确；
对于C，f′(x)的图象都在y＝2的上方，所以f′(x)>2，设f(x)在x＝－1处的切线的倾斜角为α，则f(x)在x＝－1处切线的斜率tan α大于2，因为正切函数y＝tan α在上单调递增，所以倾斜角大于，正确；
对于D，因为f′(x)>2，令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2>0，故g(x)在R上单调递增，又因为g＝f(－1)－2＝0，关于x的不等式f(x)>2x＋4的解集为，正确．
故选BCD.
答案：BCD
7．解析：由y＝f ′(x)的图象可得当x∈(－1，2)和(4，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，
所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．
答案：(－1，2)和(4，＋∞)
8．解析：因为f(－x)＝－x3－x＋sin x＝－f(x)，且其定义域为R，故f(x)是奇函数，
又因为f′(x)＝3x2＋1－cos x≥1－cos x≥0，故f(x)在R上单调递增．
故f(2x)＋f(x2－3)>0，
即f(2x)>f(3－x2)
故可得2x>3－x2，即x2＋2x－3>0，
(x＋3)(x－1)>0，
解得x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
9．解析：f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
则f ′(x)＝6x－，
由f ′(x)＞0，解得x＞.由f ′(x)＜0，解得0＜x＜.
∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，
单调递减区间为.
10．解析：∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
∴在x∈R上，f′(x)＝2x－4＋≥0，即a≥(4－2x)ex恒成立，
∴设h(x)＝(4－2x)ex，x∈R，∴ h′(x)＝(2－2x)ex,
∴当x∈(－∞，1)时，h′(x)>0，∴ h(x)在x∈(－∞，1)上为增函数，
∴当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，∴ h(x)在x∈(1，＋∞)上为减函数，
∴ h(x)max＝h(1)＝2e，∵ a≥，
∴ a≥2e, 即a∈(2e，＋∞）
11．解析：f(x)＝a ln x＋bx2的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2bx.
∵函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，
∴
解得：
∴f′(x)＝－＋2x
令f′(x)＝＋2x>0，解得：x>，
即函数y＝f(x)的增区间为(，＋∞)，
故选C.
答案：C
答案：BC
13．解析：f(x)＝(－x2＋ax)ex，则f′(x)＝ex[－x2＋ax－2x＋a]，
要使函数f(x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，
只需－x2＋ax＋a－2x≤0在区间(－1，1)上有解，
记g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a，对称轴x＝，开口向下，
g(－1)＝－1－(a－2)＋a＝1>0，只需g(1)<0，
所以－1＋a－2＋a<0，解得a<
答案：
14．解析：(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝
(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图象可知，必有－≥4，解得k≤.又k>0，故0答案：(1)　(2) （0，]
15．解析：(1)f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0且f′(x)＝0不恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a>0时，令3x2－a＝0，得x＝±；
当x>或x<－时，f′(x)>0；
当－因此f(x)在(－∞, －),()上为增函数，在(－)上为减函数．
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；
当a>0时，f(x)在(－∞, －)，()上为增函数，在(－)上为减函数．
(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
即实数a的取值范围为(－∞，0].
16．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞).
当a＝2时，f(x)＝(x＋1)ln x－2x＋2，
f′(x)＝ln x＋－1，f′(1)＝0，f(1)＝0.
设g(x)＝ln x＋－1，则g′(x)＝－＝.
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，即g(x)单调递减，而g(1)＝0，
所以有g(x)>g(1)＝0，即f′(x)>f′(1)＝0；
当x∈[1，＋∞)时，g′(x)≥0，即g(x)单调递增，而g(1)＝0，
所以有g(x)≥g(1)＝0.即f′(x)≥f′(1)＝0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，该函数没有单调递减区间．
(2)不等式f(x)<0即ln x－<0.
设h(x)＝ln x－，则h′(x)＝－＝，h(1)＝0.
当a≤0时，易知h(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，不满足题意．
当0所以h′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以h(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，不满足题意．
当a>2时，令h′(x)＝0，
得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2>1和x1x2＝1得x1<1，
故当x∈(1，x2)时，h′(x)<0，h(x)在(1，x2)上单调递减，此时h(x)所以当a∈(2，＋∞)时，存在x0∈(1，＋∞)，使得不等式f(x0)<0成立，
即满足随意的a的取值范围为(2，＋∞).课时作业(十九)　函数的单调性与导数
[练基础]
1．已知f′(x)是函数f(x)的导数，则“f(x)在(a，b)上为减函数”是“f′(x)<0在(a，b)上恒成立”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是(　　)
3．函数f(x)＝(x2－2x)ex的图象大致是(　　)
4．函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上是(　　)
A．增函数　　　　　 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
5．已知函数f(x)＝x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
6．已知函数f(x)的大致图象如下图所示，则其解析式可能为(　　)
A.f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
7．(多选题)下列函数在定义域上为增函数的有(　　)
A．f(x)＝2x4
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x－cos x
D．f(x)＝ex－e－x－2x
8．y＝x＋sin x在[0，π)上是________(填“增函数”或“减函数”)．
9．判断下列函数的单调性
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝x2·e－x.
10．已知函数f(x)＝x3＋ax.讨论f(x)的单调性．
[提能力]
11．函数f(x)＝的图象大致是(　　)
12．(多选题)如果对定义在R上的函数，y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，所有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数是H函数的是(　　)
A．f(x)＝3x－sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝x3＋3x
D．f(x)＝ex＋x
13.设函数f(x)＝ax－1－ln x，讨论函数f(x)的单调性．
[培优生]
14．已知函数f(x)＝ln x＋－kx，其中k∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y＝2平行，求实数k的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
课时作业(十九)　函数的单调性与导数
1．解析：若f(x)在(a，b)上为减函数时，f′(x)<0在(a，b)上不恒成立，
例如f(x)＝－x3，显然f(x)在(－1，1)递减，但当x＝0时，则f′(0)＝－3×02＝0；
若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，设任意x0∈(a，b)，则f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x)<0，所以f(x)在(a，b)上为减函数．
所以“f(x)在(a，b)上为减函数” 是“f′(x)<0在(a，b)上恒成立”的必要不充分条件．
故选B.
答案：B
2．解析：f′(x)＝2x＋b，因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，所以x＝>0，所以b<0，故选A.
答案：A
3．解析：f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，
令f′(x)>0，解得：x>或x<－，
令f′(x)<0，解得：－所以f(x)＝(x2－2x)ex在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以f(x)的两个极值点为±，故排除选项A和选项D，
当x<0时，x2－2x>0，ex>0，所以f(x)＝(x2－2x)ex恒为正，排除选项C，
即只有选项B符合要求，
故选B.
答案：B
4．解析：∵f(x)＝2x＋cos x，
∴f′(x)＝2－sin x，
∵sin x∈[－1，1]，
∴f′(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立．
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.
答案：A
5．解析：因为f(x)＝x，x∈R，定义域关于原点对称，
且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，
当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)单调递增，
故选D.
答案：D
6．解析：对于A，由f(x)＝可得f′(x)＝2x－，当x<0时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，当01时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)的极小值为f(1)＝3，与图象符合；
对于B，f(x)＝＋4，则f′(x)＝2x＋，当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，与图象不符；
对于C，由f(x)＝可得x≠－1，与图象不符；
对于D，由f(x)＝可得f(1)＝0，与图象不符，正确的只有A.
故选A.
答案：A
7．解析：A. 函数f(x)＝2x4的定义域为R，f′(x)＝8x3，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在定义域R上不是增函数；
B．函数f(x)＝xex的定义域为R，f′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以f(x)在定义域R上不是增函数；
C．函数f(x)＝x－cos x的定义域为R，f′(x)＝1＋sin x≥0，所以f(x)在定义域R上是增函数；
D．函数f(x)＝ex－e－x－2x的定义域为R，f′(x)＝ex＋e－x－2≥－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，所以f(x)在定义域R上是增函数，
故选CD.
答案：CD
8．解析：∵y′＝1＋cos x≥0恒成立，
∴y＝x＋sin x在[0，π)上是增函数．
答案：增函数
9．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－，
令f′(x)>0得x>，
所以函数f(x)在上是单调增函数；
令f′(x)<0得0所以函数f(x)在上是单调减函数．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)．
令f′(x)>0得0所以函数f(x)在(0，2)上单调递增；
令f′(x)<0得x<0或x>2，
所以函数f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减．
10．解析：因为f(x)＝x3＋ax，所以f′(x)＝3x2＋a.
①当a≥0时，因为f′(x)＝3x2＋a≥0，所以f(x)在R上单调递增；
②当a<0时，令f′(x)>0，解得x<－或x>.
令f′(x)<0，解得－则f(x)在上单调递增；在上单调递减．
综上，当a≥0时，f(x)在R上是增函数；当a<0时，f(x)在上是增函数，在上是减函数．
11．解析：f(x)＝，令g(x)＝，
则g＝－g(x)，故g(x)为R上的奇函数，
故f(x)的图象关于(0，1)对称，故排除C.
当x>0时，令h(x)＝2x＋sin x，则h′(x)＝2＋cos x>0，
故h(x)>h(0)＝0，故当x>0时，f(x)>1，故排除D.
而f(－1)＝－<0，故排除A，
故选B.
答案：B
12．解析：对任意两个不相等的实数x1，x2，所有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，
所以不等式等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，
即函数f(x)为定义在R上的增函数，
对于A中，函数f(x)＝3x－sin x，可得f′(x)＝3－cos x>0，
函数f(x)为R上的增函数，符合题意；
对于B中，函数f(x)＝，当x>0时，函数y＝ln x单调递增，
当x<0时，函数y＝－ln x单调递减，不符合题意；
对于C中，函数f(x)＝x3＋3x，可得f′(x)＝3x2＋3>0，
可得f(x)为R上的增函数，符合题意；
对于D中，函数f(x)＝ex＋x，可得f′(x)＝ex＋1>0，
可得f(x)为R上的增函数，符合题意．
故选ACD.
答案：ACD
13．解析：f′(x)＝(x>0)
当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝，
∴当0时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增；
综上，当a≤0时，f(x)单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；
当a>0时，f(x)单调递减区间是，单调递增是.
14．解析：(1)f′(x)＝＋x－k(x>0)，
∵曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y＝2平行，
∴f′(1)＝－1，即2－k＝－1，故k＝3；
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当k≤2时，f′(x)＝－k＝2－k≥0恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当k>2时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x2－kx＋1＝0.
∵Δ＝k2－4>0，∴方程f′(x)＝0有两个不等实根x1＝.
∵x1＋x2＝k>0，x1x2＝1>0，∴x2>x1>0.
令f′(x)>0，得0x2；令f′(x)<0，得x1所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当k≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当k>2时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
方法二：(常规方法)：讨论Δ＝k2－4的符号．
当Δ＝k2－4≤0，即－2≤k≤2时，x2－kx＋1≥0恒成立，则f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上递增；
当Δ＝k2－4>0，即k<－2或k>2时，方程f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
①当k<－2时，由x1＋x2＝k<0，x1x2＝1>0知x10恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上递增；
②当k>2时，由x1＋x2＝k>0，x1x2＝1>0知x2>x1>0，
令f′(x)>0，得0x2；令f′(x)<0，得x1故f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上递增，在(x1，x2)上递减．
综上，当k≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当k>2时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

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