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课时作业(二十一)　函数的极值
[练基础]
1．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如下，若f(x)在x＝x0处有极值，则x0的值为(　　)
A．－3 B．0
C．3 D．7
2．函数f(x)＝的极小值为(　　)
A．0 B．
C．2 D．4e2
3．函数y＝x＋2cos x在上的极大值点为(　　)
A．0 B．
C． D．
4．若函数f(x)＝x3ln x，则(　　)
A．既有极大值，也有极小值
B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值
D．既无极大值，也无极小值
5．已知函数f(x)＝x3＋5x2＋ax在x＝－3处取得极值，则a＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．－3
6．(多选题)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列选项中错误的是(　　)
A．x＝1是函数f(x)的极值点
B．函数f(x)在x＝－1处取得极小值
C．f(x)在区间(－2，3)上单调递减
D．f(x)的图象在x＝0处的切线斜率小于零
7．函数f(x)＝x3－3x2＋2在x＝________处取得极小值．
8．设函数f(x)＝x3－3x，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为____________；函数f(x)的极大值点为____________．
9．已知函数f(x)＝－－ln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的极值．
10．在①f(－1)＝－4，f′(1)＝0；②f(1)＝0，f′(0)＝1；③f(x)在(－1，f(－1))处的切线方程为y＝8x＋4，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且________．
(1)求a、b的值；
(2)求函数f(x)的极小值．
[提能力]
11．已知函数f(x)＝ax2－bx(a>0，b>0)的一个极值点为1，则ab的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．
12．(多选题)已知f(x)＝，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1
B．单调递增区间为(－∞，e)
C．f(x)的极大值为
D．方程f(x)＝－1有两个不同的解
13.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b＝________．
14．若函数f(x)＝x3－ax2＋x－5无极值点，则实数a的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝x3－m2x(m>0)．
(1)当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；
(2)当f(x)的极大值不小于时，求m的取值范围．
[培优生]
16．已知函数f(x)＝a ln x＋x2－(a＋1)x＋1.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
课时作业(二十一)　函数的极值
1．解析：由f′(x)的图象知，x＝0时，f′(0)＝0，－30，0故选B.
答案：B
2．解析：由f(x)＝，
得f′(x)＝＝，
当00，f(x)单调递增；
当x<0或x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
所以当x＝0时，函数f(x)＝取得极小值，
极小值为f(0)＝＝0.
故选A.
答案：A
3．解析：函数y＝x＋2cos x的导数为y′＝1－2sin x，
因为x∈，由y′＝1－2sin x＝0，可得sin x＝，解得x＝.
当x∈时，y′>0，当x∈(]时，y′<0，
所以函数y＝x＋2cos x在x∈上单调递增，在x∈(]上单调递减，
所以使得函数y＝x＋2cos x处取得极大值的x的值为，
故选C.
答案：C
4．解析：依题意得，f′(x)＝3x2ln x＋x2＝x2(3ln x＋1)；令f′(x)＝0，解得x＝，故当x∈(0，)时，f′(x)<0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，故当x＝时，函数f(x)有极小值，且函数无极大值，
故选B.
答案：B
5．解析：因为f(x)＝x3＋5x2＋ax，所以f′(x)＝3x2＋10x＋a，由条件知，x＝－3是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＝3.所以f(x)＝x3＋5x2＋3x，f′(x)＝3x2＋10x＋3＝(3x＋1)(x＋3)，令f′(x)>0，解得x>－或x<－3，即f(x)在(－，＋∞)和(－∞，－3)上单调递增，令f′(x)<0，解得－3故选B.
答案：B
6．解析：由图可知，x＝1左右两侧导数都为负数，故x＝1不是f(x)的极值点，A选项错误．
由图可知，x＝－1左右两侧导数都为负数，故x＝－1不是f(x)的极值点，B选项错误．
由图可知，x∈(－2，3)时f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以C选项正确．
由图可知，f′(0)<0，所以D选项正确．
故选AB.
答案：AB
7．解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝2，
且x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，2)时，f′(x)<0；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在x＝2处取得极小值．
答案：2
8．解析：因为f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，所以f′(0)＝－3，
所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝－3x，
f′(x)＝3x2－3<0，则－1f′(x)＝3x2－3>0，解得x>1或x<－1，所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，所以函数的极大值点是－1 .
答案：3x＋y＝0　－1
9．解析：(1)∵f′(x)＝＝，易知f(1)＝－1，f′(1)＝0，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－(－1)＝0，即y＋1＝0.
(2)∵f′(x)＝＝
当00，即f(x)在(0，1)上单调递增，
当x>1时，f′(x)<0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)有极大值为f(1)＝－1，无极小值．
10．解析：(1)方案一：选择①，∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，则f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由已知可得，解得；
方案二：选择②，∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，则f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由已知可得，解得；
方案三：选择③，∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，则f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为函数f(x)在(－1，f(－1))处的切线方程为y＝8x＋4，
所以，解得；
(2)由(1)得f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，
由f′(x)＝0得：x1＝，x2＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下：
所以，函数f(x)的极小值为f(1)＝0.
11．解析：因为f′(x)＝x2－ax－b，依题意有f′(1)＝－a－b＝0，即a＋b＝，
而a>0，b>0，所以＝a＋b≥2 ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，
即ab的最大值为.
故选D.
答案：D
12．解析：因为f(x)＝，所以函数的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝，f′(1)＝1，f(1)＝0，
∴f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为y－0＝f′(1) (x－1)，
即y＝1·(x－1)＝x－1，故A正确；
在(0，e)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(e，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，故B错误，
f(x)的极大值也是最大值为f(e)＝＝，故C正确；
方程f(x)＝＝－1的解的个数，即为ln x＝－x的解的个数，
即为函数y＝ln x与y＝－x图象交点的个数，
作出函数y＝ln x与y＝－x图象如图所示：
由图象可知方程f(x)＝－1只有一个解，故D错误．
故选AC.
答案：AC
13．解析：由题意知，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f(x)在x＝1处取得极值10，可得
解得或
检验知，当a＝－3，b＝3时，可得f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意，(舍去)；
当a＝4，b＝－11时，可得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
当x<－或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当－当x＝1时，函数f(x)取得极小值，符合题意．
所以a＋b＝－7.
答案：－7
14．解析：因为f(x)＝x3－ax2＋x－5，所以f′(x)＝x2－2ax＋1，
因为函数f(x)＝x3－ax2＋x－5无极值点，
所以－4≤0，解得－1≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－1，1].
答案：[－1，1]
15．解析：(1)因为f(x)＝x3－m2x(m>0)，所以f′(x)＝x2－m2.
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1－m2＝0(m＞0)，所以m＝1，故f(x)＝x3－x.
(2)f′(x)＝x2－m2.令f′(x)＝0，解得x＝±m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表得f(x)极大值＝f(－m)＝－＋m3＝m3，由题意知f(x)极大值≥，所以m3≥1，解得m≥1.
故m的取值范围是[1，＋∞).
16．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2－x＋1.
所以f′(x)＝x－1,
所以k＝f′(2)＝1,
因为f(2)＝×22－2＋1＝1.
所以切线方程为y＝x－1.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
因为f(x)＝a ln x＋x2－(a＋1)x＋1
所以f′(x)＝＋x－a－1＝.
令f′(x)＝0，即x2－(a＋1)x＋a＝0，解得x＝1或x＝a.　
①当a≤0时，若x变化时，则f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝1时，f(x)取得极小值．
所以a≤0成立.
②当0所以当x＝1时，f(x)取得极小值．
所以0③当a＝1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，没有极小值，不成立．
④当a>1时，若x变化时，则f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝1时，f(x)取得极大值．
所以a>1不成立.
综上所述，a<1.

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