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2025-2026 学年中国人民大学附属中学高一上学期第一次月考
数学试题
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知命题 ，方程 至少有 解，则 为( )
A. ，方程 无解
B. ，方程 至多有 解
C. ，方程 至多 解
D. ，方程 无解
3.“ ”是“关于 的方程 有实数根”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如果 ， 是实数，那么“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设集合 ，则 是 的真子集的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.若 ， ，则下列命题正确的是( )
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
7.已知 ，则 的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
8.若命题 是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.记关于 的三个方程分别为：
；
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；
，其中 是正实数，且满足 ．
则下列选项中，能推出方程 无实根的是( )
A.方程 有实根，且 有实根 B.方程 有实根，且 无实根
C.方程 无实根，且 有实根 D.方程 无实根，且 无实根
10.设集合 是集合 的子集，对于 ，定义 给出下列三个结论：
存在 的两个不同子集 ，使得任意 都满足 且 ；
任取 的两个不同子集 ，对任意 都有 ；
设 ， 对任意 ，都有
．
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
11.已知 ， ，则 ．
12.若关于 的方程组 有无穷多组解，则 的值为
13.若关于 的方程 的两个实数根为 ，且 ，则实数 的值为 ．
14.已知集合 的子集不超过 个，则实数 的取值范围为 ．
15.设 是非空数集，若对任意 ，都有 ，则称 具有性质 给出以下命题：
若 具有性质 ，则 可以是有限集；
若 具有性质 ，且 ，则 具有性质 ；
若 具有性质 ，则 具有性质 ；
若 具有性质 ，且 ，则 不具有性质 ．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：本题共 3 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. 本小题 分
已知全集 ，集合 ， ．
若 ，求实数 的取值范围；
若 ，均有 ，直接写出实数 的取值范围；
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若 ，且 ，直接写出实数 的取值范围．
17. 本小题 14 分
已知关于 的方程组 ，其中 ．
当 时，求该方程组的解集；
若该方程组总有两组不同的解，求 的取值范围；
记该方程组的两组不同的解分别为 和 ，已知 ，求 的值．
18. 本小题 14 分
设 为正整数，若 满足：
；
对于 ，均有 ．
则称 具有性质 ．
对于 和 ，
定义集合 ．
设 ，若 具有性质 ，写出所有可能的 及相应的 ；
设 和 具有性质 ，那么 是否可能为 ，若可能，写出一组 和 ，若不可
能，说明理由；
选做 设 和 具有性质 ，对于给定的 ，求证：满足 的 有偶数个．
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参考答案
1.
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14.
15.
16. 由题意， ．
，
当 ，即 ，即 时，符合题意；
当 ，即 时，由 ，得 或 ，得 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
若 ，均有 ， 时， 满足题意，
时， ，解得 ，所以 ，
综上， ，即 的取值范围是 ；
若 ，且 ，它的否定是 ， ，
先求 ，则 时 的范围，
这样若 ，即 时，满足题意，
在 时， 或 ， 或 ，所以 ，
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综上 或 ，
因此原命题 ，且 ，为真时， 的范围是 即 ．
17. 当 时， ，解得 或
故方程组的解集为
，消去 得， ，
，
故 的取值范围为 ；
原式 ，
解得 ， 或 舍去
综上所述， ．
18. 由定义可知， 或 或 或 或 或 ，
时， ；
时， ；
时， ；
时， ；
时， ；
时， ．
假设存在 和 均具有性质 ，且
，
则 的取值分别为 ， ， ， ， ， ，即 ，
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因为 与 同奇同偶，所以 与 同奇同偶．
又因为 为奇数，而 为偶数，
所以， 与 奇偶性不同，假设不成立．
综上，不存在均具有性质 的 和 ，满足 ．
不妨设满足题意的 和 构成一个数表 ：
交换数表中两行，可得数表 ：
调整数表各列的顺序，使第一行 变为 ，
设第二行变为 ，
令 ，则 具有性质 ，且 ．
假设 与 相同，
则 ．
不妨设 ，则有 ，故 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，这与 矛盾．
故对于具有性质 的 ，
若 具有性质 ，且 ，
则存在一个具有性质 的 ，
使得 ，且 与 不同．
并且由 的构造过程可以知道，当 确定时， 唯一
确定．
同理，由 也仅能构造出唯一确定的 ．
综上，对于给定的 ，满足题意的 有偶数个，命题得证．
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