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2025-2026学年广东省中山市华辰实验中学课改班高一（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列关系正确的是( )
A. 0 ∈ B. 52 ∈ C. 2 ∈ D. 7.8 ∈
2.已知集合 = {0,1,2,3,4}， = { | 1 ≤ < 2}，则 ∩ =( )
A. {0} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {1,2}
3.已知集合 = { | 1 < < 1}， = { |0 ≤ ≤ 2}，则 ∪ =( )
A. { |0 ≤ < 1} B. { | 1 < ≤ 2} C. { |1 < ≤ 2} D. { |0 < < 1}
4.设 ： 4 < < 5， ：| | ≤ 3，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.图中阴影部分表示的集合是( )
A. ∩ ( ) B. ( ) ∩ C. ( ∩ ) D. ( ∪ )
6.命题“ ∈ ， 2 2 2 > 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 2 2 ≤ 0 B. ∈ ， 2 2 2 ≤ 0
C. ∈ ， 2 2 2 > 0 D. ∈ ， 2 2 2 < 0
7.若 ， ， ∈ ，则下列命题正确的是( )
A.若 < ，则 + > B.若 2 > 2，则 >
C.若 > ， > ，那么 + > + D.若 > > 0 +1 ，则 +1 <
8.已知 > 0，则 2 (4 2 )的最大值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.不等式 2 + + 4 < 0 的解集不为空集，则 的取值范围是( )
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A. { | 4 ≤ ≤ 0} B. { | 4 < < 4}
C. { | ≤ 4 或 ≥ 4} D. { | < 4 或 > 4}
10.若不等式 2 + 4 < 2 2 + 2 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( 2,2) B. ( 14,2)
C. ( ∞, 2) ∪ [2，+∞) D. ( 14,2]
二、多选题：本题共 2小题，共 8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
11.(多选)下列命题为真命题的是( )
A.“ > 0”是“ 2 > 0”的充分不必要条件
B.“ ∩ = ”是“ = ”的必要不充分条件
C.“ = ”是“ 2 = 2”的充要条件
D.“ ， 都是无理数”是“ + 是无理数”的既不充分也不必要条件
12.若不等式 2 + + > 0 的解集为( 1,2)，则下列说法正确的是( )
A. < 0
B. + + > 0
C.关于 的不等式 2 + + 3 > 0 解集为( 3,1)
D.关于 的不等式 2 + + 3 > 0 解集为( ∞, 3) ∪ (1, + ∞)
三、填空题：本题共 4小题，每小题 3分，共 12分。
13.满足关系式{2,3} {1,2,3,4}的集合 的个数是______．
14.不等式 2 5 + 6 < 0 的解集为 ．
15.已知 ∈ ，命题“存在 ∈ ，使 2 3 ≤ 0”为假命题，则 的取值范围为______．
16 1 2.若 > 0， > 0， + 2 = 1，则 + 的最小值是______．
四、解答题：本题共 7小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
已知全集 = ，设集合 = { | 1 < ≤ 5}， = { | < 3 或 ≥ 5}.求：
(1) ；
(2) ( ∩ )．
18.(本小题 8 分)
已知集合 = { | 2 < < 4}， = { | < 0}．
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(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
19.(本小题 8 分)
(1)已知 ≤ 1，比较 3 3与 3 2 + 1 的大小．
(2)比较 2 2 + 5 + 3 与 2 + 4 + 2 的大小．
20.(本小题 10 分)
已知 2 ≤ + ≤ 3，2 ≤ ≤ 5．
(1)求实数 的取值范围；
(2)求 2 + 3 的取值范围．
21.(本小题 10 分)
设集合 = { | 3 < 0}, = { | 2 2 + 2 1 1 > 0}．
(1)若 = 3，求 ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
22.(本小题 12 分)
数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要
素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5 通信等
新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智
能企业生产制造人形机器人，每月的成本 (单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000 万元；②材料成
2
本：(10 + 10 )万元， 为每月生产人形机器人的个数．
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2) 若每个人形机器人的售价为(23 + 5 )万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如
何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于 400 万元？附：利润=售价×销量 成本．
23.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 1) + ( ∈ )．
(1)解不等式 ( ) < 0；
(2)若对任意的 ∈ [2,4]， ( ) + 4 ≥ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.4
14.{ |2 < < 3}
15.( 12,0)
16.9
17.(1)由题意， = { | ≤ 1 或 > 5} = ( ∞, 1] ∪ (5，+∞)；
(2)由题意， ∩ = { | 1 < < 3 或 = 5}，
则 ( ∩ ) = { | ≤ 1 或 ≥ 3 且 ≠ 5}．
18.(1) = { | 2 < < 4}， = { | < }，且 ∩ = ，集合 = { | 2 < < 4}， = { | < 0}，
则 ≤ 2，即实数 的取值范围为( ∞, 2]；
(2) ∩ = ，∴ ，
集合 = { | 2 < < 4}， = { | < 0}．
则 ≥ 4，即实数 的取值范围为[4, + ∞)．
19.(1)因为 ≤ 1，
所以 3 3 (3 2 + 1) = 3 2( 1) + ( 1) = ( 1)(3 2 + 1) ≤ 0，
故 3 3 ≤ 3 2 + 1；
(2)2 2 + 5 + 3 ( 2 + 4 + 2) = 2 + + 1 = ( + 1 2 32 ) + 4，
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( + 1 )2 + 3 3因为 ≥ 2 22 4 4 > 0，即 2 + 5 + 3 ( + 4 + 2) > 0，
所以 2 2 + 5 + 3 > 2 + 4 + 2．
20.(1)因为 2 ≤ + ≤ 3，2 ≤ ≤ 5，
两式相加得 0 ≤ 2 ≤ 8，所以 0 ≤ ≤ 4，
所以 的取值范围为[0,4]．
(2)因为 2 + 3 = 5 12 ( + ) 2 ( )．
5 15 5 1
因为 5 ≤ 2 ( + ) ≤ 2， 2 ≤ 2 ( ) ≤ 1，
15所以 2 ≤ 2 + 3 ≤
13
2，
所以 2 + 3 15 13的取值范围为[ 2 , 2 ]．
21.(1)当 = 3 时， = { | 2 6 + 8 > 0} = { | < 2 或 > 4}；
∵ = { | 3 1 < 0} = { |( 1)( 3) < 0} = { |1 < < 3}，
∴ ∪ = { | < 3 或 > 4}；
(2) ∵“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分条件，∴ ，
∵ 2 2 + 2 1 > 0，即[ ( 1)][ ( + 1)] > 0，
∴ < 1 或 > + 1，∴ = { | < 1 或 > + 1}，
而 = { |1 < < 3}，要使得 ，
需有 1 ≥ 3 或 + 1 ≤ 1，
∴ 的范围为{ | ≥ 4 或 ≤ 0}．
22.解：(1)设平均每个人形机器人的成本为 万元，
2
1000+10 +
根据题意有 = 10 =
1000
+
1000
10 + 10 ≥ 2 10 + 10 = 30，
1000
当且仅当 = 10，即 = 100 时取等号，
所以该企业每月的产量为 100 个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为 30 万元；
2 2
(2) 设月利润为 万元，由题意可得 = (23 + 5 ) (100 + 10 + 10 ) = 10 + 13 1000 ≥ 400，
解得 ≥ 70．
所以该企业每月生产不小于 70 个人形机器人，才能确保每月的利润不低于 400 万元．
23.(1) ( ) = 2 ( + 1) + = ( 1)( )，
令 ( ) = 0，解得 = 或 = 1，
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当 < 1 时，解 ( ) < 0，得 ∈ ( , 1)；
当 = 1 时， ( ) = 2 2 + 1 = ( 1)2 ≥ 0，原不等式无解；
当 > 1 时，解 ( ) < 0，得到 ∈ (1, )．
综上，当 < 1 时，原不等式解集为( , 1)；
当 = 1 时，原不等式无解；
当 > 1 时，原不等式解集为(1, )．
(2)因为对任意的 ∈ [2,4]， ( ) + 4 ≥ 0 恒成立，
所以 2 ( + 1) + + 4 ≥ 0 恒成立，即 (1 ) ≥ ( 2 + 4)，
因为 ∈ [2,4]，所以 1 ∈ [ 3, 1]，
2 +4 2 +4
故 ≤ 1 ，令 ( ) = 1 ，
2 ≤ ( ) ( ) = +4 = ( 1)+4从而 ，又 1 1 = +
4
1，
= ( 1) + 4 4 1 + 1 ≥ 2 ( 1) × 1+ 1 = 5，
当且仅当 1 = 4 1时取等，此时解得 = 3(负根舍去)，
故 ∈ ( ∞,5]，即实数 的取值范围为( ∞,5]．
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