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2025-2026学年河北省衡水市安平中学高一（上）9月学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | > 1}， = { |0 < < 4}，则 ∩ =( )
A. { |1 < < 4} B. { | > 0} C. {2,3} D. {1,2,3}
2.设全集 = ，集合 = {1,2,3,4,5}， = {1,3,5,7,9}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A. {1,3,5}
B. {1,2,3,4,5}
C. {7,9}
D. {2,4}
3.“ = 1“是” 2 4 + 3 = 0”的( )条件．
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知集合 = {1,3, 2}， = {1, + 2}， ∪ = ，则实数 的值为( )
A. {2} B. { 1,2} C. {1,2} D. {0,2}
5.已知全集 = ，集合 = { | = 3 , ∈ }， = { | = 6 , ∈ }，则正确的关系是( )
A. ∪ = B. ∩ ( ) = C. ∪ ( ) = D. ∩ ( ) =
6.已知集合 = { ∈ | 2 + + 2 = 0}有且仅有 1 个真子集，则实数 的取值集合为( )
A. { | 2 2 ≤ ≤ 2 2} B. { 2 2, 2 2}
C. {2 2} D. { | < 2 2或 > 2 2}
7.已知集合 = {1,2,3,4,5}， = {( , )| ∈ ， ∈ ， ∈ }，则 中所含元素的个数为( )
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
8.已知集合 = { ∈ | ≤ 6}，若 ，且同时满足：①若 ∈ ，则 3 ；④若 ∈ ，则 3 A.
则集合 的个数为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系中，正确的是( )
A. 14 ∈ B. 2 C. 3 ∈
D. 3 ∈
10.已知集合 = { 1,1}， = { | = 1}，且 ，则实数 的值可以为( )
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A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
11.下列说法正确的是( )
= 2
A.方程组 + = 6的解集是{4,2}
B.若集合 = { | 2 + + 1 = 0} 1中只有一个元素，则 = 4
C.“ < 0”是“一元二次方程 2 + + = 0 有一正一负根”的充要条件
D.已知集合 = {0,4}，则满足条件 ∪ = 的集合 的个数为 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若集合{ + 1, 2}与集合{1,0}相等，则实数 =______．
13.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试.已知有 100 名学生参加了数学考试，50 名
学生参加了物理考试，48 名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的 2 倍，也是参加三
门考试学生数的 3 倍，则学生总数为______．
14 0, , 0, .设 ， 是 中两个子集，对于 ∈ ，定义： = 1, ∈ , = 1, ∈
①若 .则对任意 ∈ ， (1 ) = (1) ；
②若对任意 ∈ ， + = 1，则 ， 的关系为 (2) ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { ∈ | < 9}， = {1,2,3}， = { ∈ |3 ≤ 2 1 ≤ 9}．
(1)求 ∩ ， ∩ ( ∩ )；
(2)求 ∩ ( )，( ) ∪ ( )．
16.(本小题 15 分)
已知集合 = { | 2 < < 6}， = { | 2 < < + 2}．
(1)若 ∈ 成立的一个必要条件是 ∈ ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
若集合 = { | 2 + 5 6 = 0}， = { | 2 + 2( + 1) + 2 3 = 0}．
(1)若 = 0，写出 ∪ 的子集；
(2)若 ∩ ( ) = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 2 8 ≤ 0}．
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(1)若 = 0，求 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围；
(3)若 ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
若集合 中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即 = { | = 2 + 2, ∈ , ∈ }，则称集合 为
“弦方集”
(1)分别判断 5，15，25，169 是否为弦方集中的元素；
(2)已知集合 为弦方集，且 ∈ ，正整数 能表示为某个整数的平方，证明： ∈ ；
(3)已知集合 为弦方集，集合 = { | = 4 + 3, ∈ }，证明： ∩ = ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 或 0
13.108
14.0； =
15.集合 = { ∈ | < 9} = {1,2,3,4,5,6,7,8}， = {1,2,3}， = { ∈ |3 ≤ 2 1 ≤ 9} = { ∈ |2 ≤ ≤
5} = {2,3,4,5}，
(1) ∩ = {1,2,3}，
∩ ( ∩ ) = {1,2,3,4,5,6,7,8} ∩ {2,3} = {2,3}．
(2)由题意得， = {4,5,6,7,8}， = {1,6,7,8}，
所以 ∩ ( ) = {1}，
( ) ∪ ( ) = {1,4,5,6,7,8}．
分别求出集合 ， ，利用集合交、并、补的运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
16.解：(1)若 ∈ 成立的一个必要条件是 ∈ ，所以 ，
因为集合 = { | 2 < < 6}， = { | 2 < < + 2}．
2 ≥ 2
则 + 2 ≤ 6 ，所以 0 ≤ ≤ 4，
故实数 的取值范围[0,4]．
(2)若 ∩ = ，则 + 2 ≤ 2 或 2 ≥ 6，
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所以 ≤ 4 或 ≥ 8，
故实数 的取值范围( ∞, 4] ∪ [8, + ∞)．
17.(1) = { | 2 + 2( + 1) + 2 3 = 0}，
当 = 0 时， = { | 2 + 2 3 = 0} = { 3,1}，
∵ = { | 2 + 5 6 = 0} = { 6,1}，
∴ ∪ = { 6, 3,1}．
∴其子集为： ，{ 6}，{ 3}，{1}，{ 6, 3}，{ 6,1}，{ 3,1}，{ 6, 3,1}．
(2) ∵ ∩ ( ) = ，∴ ．
分为两种情况：
当 = 时，符合题意，此时 = [2( + 1)]2 4( 2 3) < 0，解得 < 2；
当 ≠ 时，则 = { 6}或 = {1}或 = { 6,1}：
若 = { 6}或 = {1}，则 = [2( + 1)]2 4( 2 3) = 0，
解得 = 2，此时 = {1}，符合题意；
= [2( + 1)]2 4( 2 3) > 0
若 = { 6,1}，则有 2( + 1) = 6+ 1 ，无解．
2 3 = 6 × 1
综上所述，实数 的取值范围为( ∞, 2]．
18.(1)当 = 0 时， = { | 1 ≤ ≤ 3 2 } = { | 1 ≤ ≤ 3}， = { | 2 2 8 ≤ 0} = { | 2 ≤
≤ 4}，
所以 ∩ = { | 1 ≤ ≤ 3}；
(2)因为 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 ≤ ≤ 4}，
所以由 ∪ = ，得 ，
1 ≤ 3 2
①当 ≠ 时，则 1 ≥ 2 1 4，解得 2 ≤ ≤ 3，
3 2 ≤ 4
②当 = 4时， 1 > 3 2 ，解得 > 3，满足题意；
综上， ≥ 1 12，故实数 的取值范围为[ 2 , + ∞)；
(3)由 ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，可得 ，
又 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 ≤ ≤ 4}，
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1 ≤ 3 2 ①
则 1 ≤ 2② ，且②③式等号不同时成立，解得 ≤ 1，
3 2 ≥ 4③
故实数 的取值范围是( ∞, 1]．
19.(1)由题意，若 = { | = 2 + 2, ∈ , ∈ }，则 为“弦方集”，
因为 5 = 12 + 22，25 = 32 + 42，169 = 02 + 132，
所以 5，25，169 是弦方集中的元素．
不存在 ， ∈ ，使得 15 = 2 + 2，
所以 15 不是弦方集中的元素；
(2)证明：依题意，集合 为弦方集，且 ∈ ，
即存在 ， ∈ ，使得 = 2 + 2，
正整数 能表示为某个整数的平方，即存在 ∈ ， = 2， > 0，
所以 = ( 2 + 2) 2 = ( )2 + ( )2， ， ∈ ，
所以 是弦方集中的元素，即 ∈ ；
(3)证明：假设 ∩ ≠ ，则存在 ， ∈ ， 0 = 4 + 3， ∈ ，
使得 4 + 3 = 2 + 2，由于 4 + 3 是奇数，所以 2 + 2是奇数，
所以 ， 一个是奇数，另一个是偶数，
不妨设 = 2 ， ∈ ， = 2 + 1， ∈ ，
则 2 + 2 = 4( 2 + 2 + ) + 1，
而 4 + 3 除以 4 的余数为 3，4( 2 + 2 + ) + 1 除以 4 的余数为 1，
所以 4 + 3 ≠ 2 + 2，与已知矛盾，所以 ∩ = ．
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