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2025-2026学年黑龙江省五常市雅臣中学高二（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则点关于平面的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.有关直线方程的两点式，有如下说法：
直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；
直线方程也可写成；
过点，的直线可以表示成
其中正确说法的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知直线：与直线：平行，则等于( )
A. 或 B. C. D.
7.已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点，，，且，，，，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
10.下列命题中，正确的有( )
A. 空间任意向量，都是共面向量
B. 已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则
C. 在四面体中，若，，则
D. 若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底
11.如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为直线上的动点，点为直线上的动点，则( )
A. 对任意的点，一定存在点，使得
B. 向量，，共面
C. 异面直线和所成角的最小值为
D. 存在点，使得直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点、的直线的斜率等于，则的值为______．
13.已知直线的一个方向向量为，若点为直线外一点，为直线上一点，则点到直线的距离为 ．
14.年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷将一块边长为的正方形材料先按如图所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形其，然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷如图，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
斜率是，且经过点；
斜率为，在轴上的截距为；
经过两点，；
在轴、轴上的截距分别是，．
16.本小题分
已知空间三点，，，设，
若，，求；
若与互相垂直，求；
若向量与平行，求．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，．
求异面直线与所成角的大小；
若是棱的中点，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知四边形满足，，是的中点，将沿翻折成，使面面，为的中点．
求四棱锥的体积；
证明：面；
求面与面所成锐二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，，为棱的中点，为棱上的动点．
Ⅰ求证：平面平面．
Ⅱ是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.直线斜率是，且经过点，
则直线的点斜式方程为，即；
直线斜率为，在轴上的截距为，
则直线方程为，即；
直线经过两点，，
法则直线方程为，即；
法可得，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理可得：，
直线在轴、轴上的截距分别是，，
则直线方程为，即．
16.解：点，，，
，
由，设，且，
，解得，
或；
，
，
若与互相垂直，则，
，
即，
化简得，
解得或；
向量，
，
由向量与平行，则
，
解得或．
17.解：由于，所以或其补角即为异面直线与所成角，
连接，在中，
由于，所以是等边三角形，
所以，所以异面直线与所成角的大小为．
解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、．
设平面的法向量为，则．
，，
且，
，取，
得平面的一个法向量为，
且，
又，
于是点到平面的距离，
所以点到平面的距离等于．
解法二：过点作交于，由平面C.
在中，由，，得，
所以，点到平面的距离等于．
18.Ⅰ解：取的中点，连接，因为，是的中点，
所以为等边三角形，所以，
又因为面面，所以面，分
所以分
Ⅱ证明：连接交于，连接，因为为菱形，，
又为的中点，所以，
因为面
所以面分
Ⅲ解：连接，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系．
则分
设面的法向量，则，
令，则
设面的法向量为，则，
令，则分
则，
所以二面角的余弦值为分
19.解：Ⅰ证明：如图，连接，与相交于点，连接，
底面为菱形，为的中点，
为的中点，，
平面，平面，
平面，
平面平面；
Ⅱ四边形为菱形，且，
，为等边三角形，
．
平面，且底面为矩形，
，，两两垂直，
以为原点，向量，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
设平面的法间量为，
则，
令，可得．
由题意得为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，
存在点为棱上靠近点的三等分点，使得平面与平面夹角的余弦值为．
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