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济南振声学校高中部第一轮选拔测试数学试题
2025.9
1.李明按时间顺序先后收到了A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是先回复最新收到的一封邮件，
那么在下面的排列中，李明可能回复邮件的顺序是
A.ABECD
B.BAECD
C.CEDBA
D.DCABE
2.公元N年的第300天为星期二，公元N+1年的第200天也为星期二，那么公元W-1年的第100天为
A.星期二
B.星期四
C.星期六
D.星期日
3.已知a+b=-2,且a≥2b,则下列选项正确的是
A没有最大值
B名最小值为时
C
没有最小值
D.
最大值为2
a
b
b
5.己知关于x的方程kx+3=x+1-2x-1+x+2引有3个解，则k的取值范围是
6.如图1，在数字时代，很多场合用二维码来表示不同的信息.类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂
黑色或不涂色的方法，用所得的图形来表示不同的信总.例如：网格中只有一个小方格，通过涂黑色或不涂色可表
示两个不同的信总.图2可表示不同信息的总个数为
(图中标号1、2表示小方格的两个不同位置，下同).
某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件上采用n×(n一)的网格来表示每个人的身份信息，若
该校师生共540人，则n的最小值为

2
图1
图2
7.证明下列几何问题.
(1)用反证法证明：在以C为直角顶点的△ABC中，若LA=30°，则∠A所对直角边是斜边的一半：
(2)小澜同学根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，提出了一个猜想：若直角三角形斜边上的点到直角顶点的
距离等于斜边的一半，则该点是斜边的中点.试证明或证伪这个猜想
8.解决下列几何极值问题.
(1)正方形ABCD边长为4，点Q在边AB上，求DQ+QC的最小值：
(2)正方形ABCD边长为4，点M、N分别在边AB、AD上，己知MB=AN,求MD+BN的最小值：
(3)在△ABC中，AB=5,AC=3,∠A=90°，点P、Q分别在边AC、AB上，PC=AQ,求PB+CQ最小时BQ的
长度
9.已知实数a1,a2,,a2025满足a41-2a2,a2-2a3,,a2024-2a2025,a2025-2a1是41，a2,，a202s的
一个排列，求证：a1=a2=…=a2025=0.
10.已知a,b为2个相邻的正整数，a,B是关于x的方程x2+ax+b=0的两个实根，p,q为2个相邻的整数，
位百为x2+x+9=0的两个实根，求a,b的值
22济南振声学校高中部第一轮选拔测试数学试题及解析
2025.9
1.李明按时间顺序先后收到了A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是先回复最新收到的一封邮件，
那么在下面的排列中，李明可能回复邮件的顺序是
A.ABECD
B.BAECD
C.CEDBA
D.DCABE
答案：C
解析：我们将A、B、C、D、E改写为1、2、3、4、5，那么满足题意的序列应当有如下性质：若某一项为n,则
该项之后比n小的项构成的子序列总是递减.这是因为第n封邮件已经收到，所以前n一1封邮件一定在更早的时
间收到，那么在回复第n封邮件后，再回复前面的邮件必然是倒序.而本题的A、B、D.选项，分别出现了ECD、ECD、
CAB这样不符合上述性质的子序列，所以都不正确，
本题是2004年希望杯全国数学邀请券五年级组的试题.一个极其类似的问题出现在市中区某学校9月15日
初一年级的测试中
2.公元N年的第300天为星期二，公元W+1年的第200天也为星期二，那么公元N-1年的第100天为
A.星期二
B.星期四
C.星期六
D.星期日
答案：B
解析：首先考虑从公元N年第300天到公元N+1年的第200天的天数（这里约定从第1天到第2天的天数为1），
如果公元N年是平年，则天数为365-300+200=265,265三6(m0d7),如果公元N年是闰年，则天数为366
300+200=266,266≡0(mod7),如果公元N年是1582年，则天数为355-300+200=255,255≡3(m0d7),
而这两天同为星期二，所以间隔天数必然是7的倍数，即公元N年是闰年
那么公元N-1年一定是平年，所以从公元N-1年的第100天到公元N年第300天的天数为365-100+300=
565,565≡5(m0d7),说明公元N-1年的第100天后的5天是星期二，那么这一天是星期四.
由于偏略历改为格里高利历，1582年10月4日的后一天是10月15日，这一年刚好比正常年份少了10天.不
过这种情况并不影响本题作答
3.己知a+b=-2,且a≥2b,则下列选项正确的是
A.没有最大值
名最小值为
C合没有最小值
最大值为2
D.
a
答案：ACD
解析：由条件可得，a之一3
4
b
二乙。1名：令a→0可知不存在绿大值与最小顶
aa
aa
2
6=-2-a=-2+a
-1+2子a所以-1<-1+2子。≤2
a
2
1
1
4
4.实数a>1且a+后=3，则a3+
-4a2+
答案：18-12V5
解析：原式=Q2+子-4（口2-），其中
。+=(a+月-3a+月)=3-3x3=18,
2-品-+-月)-3a-月=a+-4e35
所以原式=18-12v5.
5.己知关于x的方程kx+3=x+1-2x-1+x+2引有3个解，则k的取值范围是」
答案：0解析：条件等价于y=kx+3与y=x+1-2x-1+x+2引的图象有3个交点，作图如下：
2

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