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2024-2025学年山东省淄博十一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
5.下列说法中正确的是( )
A. 向量能作为平面内所有向量的一组基底
B. 若，则
C. 若，则与垂直的单位向量坐标为或
D. 若，则与的夹角是钝角
6.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为( )
A.
B.
C.
D.
7.若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则正确的是( )
A. 对任意正整数，为偶函数
B. 当时，的单调递增区间是
C. 当时，的值域是
D. 对任意正整数，的图象都关于直线对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10.在中，( )
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，是锐角，，则为锐角三角形
11.如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为复数，若，则的最大值为______．
13.若非零向量满足，则夹角的余弦值为______．
14.在中，，边上的中线，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数，其中向量，．
求的最小值；
在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值．
16.本小题分
如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点．
若，求的值；
求的长；
求的取值范围．
17.本小题分
函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为．
求的解析式；
将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，，．
若，求的面积；
若，求的值．
19.本小题分
在锐角中，设角，，的对边分别为，，，且，．
若，求的面积；
求的值；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
．
当，的最小值为；
由，得，
即，
在中，，
．
，
，
所以，
在中，由余弦定理得：，
，
由，
．
16.
17.解：因为图象过与，可知为函数的对称轴，
所以，即，
所以，
又函数图象经过，所以，即，
又，所以，
因为图象过点，所以，解得，
所以函数解析式为．
的图象向左平移个单位长度可得，
得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到，
所以，
当，即时，有最大值，
此时．
18.解：，，
所以，
在中，，
，
的面积．
，，
，
，
在中，，，
在中，由正弦定理有，
即，
由积化和差公式有，
，
将此结果代入式中化简可得：，
解得舍负，
．
19.解：由余弦定理，
结合可知，的面积；
因为，，所以，
由正弦定理，，
所以，
由于，
代入式可知；
解法：
设中点为，则，
所以，
如下图所示，
设的外接圆为圆，由于为锐角三角形，
故点的运动轨迹为劣弧不含端点，
由正弦定理知圆的半径，故，
设，则，由余弦定理：
由于函数在时单调递减，，，
所以；
解法：
由余弦定理，
由定义，
所以，
设，
则，
由正弦定理：
，
其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知，
注意到，
所以
所以变形为，故，
从而
此时函数单调递减，而，，
所以．
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