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2025-2026学年江西省赣州市赣县实验学校高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 2 8 ≥ 0}， = { 3, 1,2,4,5}，则 ∩ =( )
A. { 3, 1,4,5} B. { 3, 1,4} C. { 1,4,5} D. { 3,4,5}
2 = 2019 + |3+4 |

.若复数 3 4 ，则 的虚部为( )
A. 1 1 1 15 B. 5 C. 5 D. 5
3.已知 的终边在第四象限，若 = 45，则 sin( +

4 ) =( )
A. 2 B. 2 C. 7 2 D. 7 210 10 10 10
4.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3， 2 + 9 = 2 + 3 ，则 =( )
A. 6 B.
C. D. 2 4 3 3
5.在△ 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点，若 = + ( , ∈ )，则 + =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
6 1.若函数 ( ) = ( ) ( + )3 在区间(0,2)单调递增，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,4] B. [4, + ∞) C. [ 4, + ∞) D. ( ∞, 4]
7.“ > 2 或 < 3”是“定点 (1,2)在圆 2 + 2 + + 2 + 2 15 = 0 的外部”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若正数 ， 满足 + = ，则 + 2 的最小值是( )
A. 6 B. 3 + 2 2 C. 2 + 3 2 D. 2 + 2 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ， 都是实数，下列命题是真命题的是( )
A.若 > 0， = 2，则 0 + 2 = 4
B. = 1若 3， = 27，则log3 + log3 = 2
C.若( 1 ) > ( 1 ) 2 3 ，则 >
D.若 > > 0， < 0 ，则 >
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10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 2 若直线倾斜角 ∈ [ 4 , 3 ]，则斜率 的取值范围是( ∞, 3] ∪ [1, + ∞)
B.直线(3 + ) + 4 3 + 3 = 0( ∈ )恒过定点( 3, 3)
C.若直线 1： + (1 ) = 3 与 2：( 1) + (2 + 3) = 2 互相垂直，则 = 3
D.若直线 1： 2 + 3 = 0 与 2：2 + 2 = 0
4 5
平行，则 1与 2的距离为 5
11 .已知函数 ( ) = sin(2 + 6 )，则( )
A. ( )的最小正周期为 2
B. ( ) 1图象的一条对称轴方程为 = 6
C. ( ) 4在区间(1, 3 )上先单调递增后单调递减
D. ( )在区间(0, 5 4 )上恰有 8 个零点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的 9 个球，其中有 4 个红球和 5 个白球，从袋子中随机摸出一
个球，摸出的球是红球的概率是______
13.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，且|2 | = 2，则| + | =______．
14.直线 ： + + 2 = 0 被圆 ： 2 + 2 = 4 截得的弦 的长为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知方程( 2 2 3) + (2 2 + 1) + 6 2 = 0( ∈ )．
(1)求该方程表示一条直线的条件．
(2)当 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程．
(3)已知方程表示的直线 在 轴上的截距为 3，求实数 的值．
(4)若方程表示的直线 的倾斜角是 45°，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
2
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 sin ， ， ， 为锐角，且 = +2 2 ．
(1)求 ；
(2)设 为 的中点，若 = ，且 + = 10，求△ 的面积．
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17.(本小题 15 分)
某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，
从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组(50 ≤ < 60,60 ≤ <
70,70 ≤ < 80,80 ≤ < 90,90 ≤ ≤ 100)，其中第二组的频数是第五组的频数的 8 倍，请根据下面尚未
完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题．
(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰 90%的学生，仅留 10%的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多
少合理？

(2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数： 1， 2， 3， ， 10.已知这 10 个分数的平均数 = 90，
标准差 = 5，若剔除其中的 96 和 84 这 2 个分数，求剩余 8 个分数的平均数与方差．
(3)从样本数据在 50 ≤ < 60，80 ≤ < 90，90 ≤ ≤ 100 这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取
7 名学生，再从这 7 名学生中随机选出 2 人，求选出的 2 人来自不同组的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，底面 是直角梯形， // ，∠ = 90°，且 =
= 2， = = 1， = 5， 为 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求二面角 的余弦值．
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19.(本小题 17 分)
( ) = + 1 2函数 1 2是定义在( 1,1)上的奇函数，且 ( 2 ) = 5．
(1)求 ( )的解析式；
(2)证明 ( )在( 1,1)上为增函数；
(3)解不等式 ( 1) + ( ) < 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.49
13. 7
14.2 2
15.解：(1)当 ， 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令 2 2 3 = 0，解得 = 1， = 3；
令 2 2 + 1 = 0，解得 = 1， = 12；
∴方程表示一条直线的条件是： ∈ ，且 ≠ 1．
(2) 1由(1)易知，当 = 2时，方程表示的直线的斜率不存在，
4
此时的方程为： = 3，它表示一条垂直于 轴的直线．
(3) 2 6依题意，有 2 2 3 = 3，
∴ 3 2 4 15 = 0，
= 3 = 5解得 或 3，由(1)
5
易知，所求 = 3；
(4) ∵直线 的倾斜角是 45°，
∴其斜率为 1，
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2
∴ 2 3 42 2+ 1 = 1，解得 = 3或 = 1(舍去)．
∴ 4直线 的倾斜角是 45°时， = 3．
16.(1) = sin
2 sin2
由 +2 2 ，得 = +2 2 ，
整理得 = + 2 2 ，所以 cos( + ) = 2 2A.
所以 cos( ) = 2 2 ，即 = 2 2A.
1
又 为锐角， ≠ 0.所以 = 2，故 = 3．
2
(2)在△ 中由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，即 2 = 2 + 4 2，
在△ 中由余弦定理得 2 = 2 + 2 ，
得 3 2 = 2 3，即 = 2 ．
因为 + = 10，所以 = 6， = 4，
1 1 3
所以 △ = 2 = 2 × 6 × 4 × 2 = 6 3．
17.(1)由题意知，第二组的频数是第五组的频数的 8 倍，所以 = 8 ，
又(0.008 + 0.016 + + 0.04 + ) × 10 = 1，所以 = 0.032， = 0.004，
因为[50,80)内的频率为 0.16 + 0.32 + 0.40 = 0.88，
在[50,90)内的频率为 0.16 + 0.32 + 0.40 + 0.08 = 0.96，
90 [80,90) 80 + 0.9 0.88所以第 百分位数在 内，且为 0.008 = 82.5，
所以晋级分数线划为 82.5 分合理；

(2)因为 = 90，所以 1 + 2 + + 10 = 10 × 90 = 900，
所以 2 = 1 ( 2 210 1 + 2 + +
2
10) 902 = 52，所以 21 + 2 22 + + 10 = 81250，
剔除其中的 96 和 84 这 2 个分数，设剩余 8 个分数为 1， 2， 3， ， 8，

平均数与标准差分别为 0, 0，

8 = 1+ 2+ 3+ + 则剩余 个分数的平均数 8 = 900 96 840 8 8 = 90，
1
方差 2 = ( 20 8 1 +
2 2 2 1
2 + + 8) 90 = 8 (81250 96
2 842) 902 = 22.25；
(3)根据题意可知按分层抽样法，这三组应分别抽取 4 人，2 人，1 人，
分别记为 ， ， ， ； ， ； ，
则从这 7 名学生中随机选出 2 人所得样本空间为：
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= { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }，共 21 个样本点，
=“选出的 2 人来自于不同组”，则 = { , , , , , , , , , , , , , }，共 14 个
样本点，
所以 ( ) = 14 = 221 3．
18.(1)证明：在四棱锥 中，取 中点 ，连接 ， ，
为 的中点， 为 中点，
1
所以 // ，且 = 2 ，
又 // ， = 1， = 2 1， = 2 ，
所以有 // ，且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
则 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)底面 是直角梯形， // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
则点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
所以三棱锥 的体积 = = = ，
又 为 的中点，则点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离的一半，
1
所以 = 2 ，
又 = = 2， = = 1， = 2 + 2 = 22 + 12 = 5，
所以 2 + 2 = 2，故 AB⊥ ，
又∠ = 90°， // ，所以 ⊥ ，
平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
又 平面 ，所以 ⊥平面 ，
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1 1 1 1 1 1 1故 = 2 = 2 × 3 × △ × = 2 × 3 × 2 × 2 × 1 × 2 = 3．
(3)因为平面 ⊥平面 ，且其交线为 ，
又 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
取 的中点 ，连接 ，
在△ 中， ， 分别为 ， 的中点，
// = 1所以 ， 2 = 1
则 ⊥平面 ，
过 作 ⊥ 于 ，连接 ，则有 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
在直角梯形 中， = = 1，∠ = 90°，所以∠ = 45°，所以∠ = 45°，
= 1又 2 = 1，所以 =
2，
2
△ 在 中，tan∠ = = 2，所以 cos∠ =
3，
3
即二面角 的余弦值为 3．
3
19. + 解：(1)因为函数 ( ) = 1+ 2是定义在( 1,1)上的奇函数，
所以 (0) = = 0，
1 2
此时 ( ) = 1+ 2，又 ( 2 ) = 5，
1
1 2
所以 ( 22 ) = 1 = ，解得 = 1，1+(2)2 5
所以 ( ) =

1+ 2．
(2)证明：任取 1， 2 ∈ ( 1,1)，且 1 < 2，
则 ( 1) ( 2) =
1
2
2 = ( 1 2)(1 1 2)
1+ 1+ 21 2 (1+
2
1)(1+
2
2)
，
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因为 1， 2 ∈ ( 1,1)，所以(1 + 21)(1 + 22) > 0,1 1 2 > 0，
因为 1 < 2，所以 1 2 < 0，所以 ( 1) ( 2) < 0，
所以 ( )在( 1,1)上为增函数．
(3)函数 ( )是定义在( 1,1)上的奇函数，由 ( 1) + ( ) < 0，
得 ( 1) < ( ) = ( )，
又 ( )在( 1,1)上为增函数，
1 < 1 < 1
所以 1 < < 1, 解得 0 < < 1 12，即 ∈ (0, 2 ).
1 <
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