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2024-2025 学年福建省莆田市锦江中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .已知复数 满足1+ = 2 + ，则复数 的共轭复数为( )
A. 1 + 3 B. 1 3 C. 3 D. 3 3
2.(1 5 )(4 + 3 )在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 , 满足| | = 1, ( 2 ) = 2，则 =( )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 32 2 2 2
4.已知向量 = (1,0)， = (1,1)，若( + ) ⊥ ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
5.已知平面四边形 用斜二测画法画出的直观图是边长为 1 的正方形
′ ′ ′ ′，则原图形 中的 =( )
A. 2 B. 2 2
C. 3 D. 2
6.设 ， ， 是三条不同直线， ， ， 是三个不同平面，若 ∩ = ，则
下列命题为真命题的是( )
A.若 ， ，则 // B.若 ， ，则 ， 异面
C.若 ， ， ∩ = ，则 ∈ D.若 ∩ = ， // ，则 //
7.折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图 1).
图 2 是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧 ， 所在圆的半径分别是 3 和 6，且∠ =
120°，则该圆台的体积为( )
A. 50 23 B. 9 C. 7 D.
14 2
3
8.记△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2 6, ( ) + 2 3 = ，
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则 边上的中线 长度的最小值为( )
A. 1 22 B. 2 C. 2 D. 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，则下列说法中正确的是( )
A.复数 = 2 的虚部为
B. + 2 + 3 + 4 = 0
C. | |2 = 2
D.复数 满足| | = 1，则| 2 |的最大值为 5 + 1
10.下列说法中正确的有( )
A.两个非零向量 ， ，若| | = | | + | |，则 与 共线且反向
B.向量 = (2, 3)， = ( 12 ,
3
4 )能作为平面内的一组基底
C.已知向量 = (2,1)， = ( 3,1)，则向量 10在向量 上的投影向量是 2
D.若非零向量 ， 满足：| | = | | = | |，则 与 + 的夹角为 30°
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是 ， 1的中点，点 是底面 内一动点，
则下列结论正确的为( )
A.不存在点 ，使得 //平面 1 1
B.过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C.三棱锥 1 1 1 的体积为 4
D.三棱锥 的外接球表面积为 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 、 满足| | = 1，| | = 2 3， (2 + ) = 18，则 与 的夹角等于______．
13 = 1 .若复数 1+ + 2 为纯虚数，则实数 = ______．
14.某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体
′ ′ ′ ′，挖去一个四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方
体 ′ ′ ′ ′的中心， ， ， ， 分别为所在棱的中点， =
= 8， ′ = 6，那么该模型的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
= (1 )
2+2(5+ )
已知复数 2+ ．
(1)计算复数 ，并求| |；
(2)若复数 满足 ( + ) = 8 ，求实数 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且(2 ) = ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 7， + = 13 且 > ，求 ， 的值．
17.(本小题 15 分)
如图：在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点．
(1)求证： 1//平面 ；
(2)若 为 1的中点，求证：平面 //平面 1．
18.(本小题 17 分)
如图，在△ 中，点 满足 = 2 , 是线段 的中点，过点 的直线与边 ， 分别交于点 ， ．
(1)若 = + ，求 和 的值；
(2)若 = ( > 0), = ( > 0) 1 2，求 + 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图， 是圆柱的直径且 = 2， 是圆柱的母线且 = 3，点 是圆柱底面圆周上的点．
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(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)若 = 1， 是 的中点，点 在线段 上，求 + 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13.5
14.288 + 8 34
2
15. (1) = (1 ) +2(5+ ) = 1 2 +
2+10+2
解： 因为 2+ 2+ =
10 = 10(2 )2+ (2+ )(2 ) = 4 2 ，
所以| | = 42 + ( 2)2 = 2 5．
(2)由 ( + ) = 8 ，得(4 2 )(4 + 2 ) = 8 ，
化简得 16 + 4 8 8 2 + 4 2 = 8 ，
即 12 + 4 (16 + 2 ) = 8 ，
12 + 4 =
所以 16 + 2 = 8，解得 = 4， = 4．
16.解：(1)因为(2 ) = ，
由正弦定理整理可得 2 = + = sin( + )，
在△ 中，sin( + ) = ，且 > 0，
1
可得 = 2，
又因为 ∈ (0, )，
= 所以 3；
(2) = 7， + = 13 且 > ，
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由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
即 49 = 2 + 2 = ( + )2 3 = 169 3 ，
解得 = 40，
+ = 13
联立 = 40 ，
>
解得 = 8， = 5
所以 ， 的值分别为 8，5．
17.证明：(1)设 ∩ = ，连接 ，
∵在正方体 1 1 1 1中，四边形 是正方形，
∴ 是 中点，∵ 是 1的中点，
∴ // 1，
∵ 1 平面 ， 平面 ，
∴ 1//平面 ；
(2) ∵ 为 1的中点， 为 1的中点，
∴ // 1 ，
∴ = 1 ，
∴四边形 1 为平行四边形，
∴ 1 // ，
又∵ 平面 ，
∵ 1 平面 ，
∴ 1 //平面 ，
由(1)知 1//平面 ，
∵ 1 ∩ 1 = 1， 1 平面 1， 1 平面 1，
∴平面 //平面 1．
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18.解：(1)由 = 2 ，得 = + = 3 ，可得 = 1 3 ，
1
所以 = + = + 3
= + 1 ( 3
) = 23
+ 1 3 ，
由点 是线段 1的中点，可得 = 2
= 1 ( 2 1 1 1 2 3 + 3 ) = 3 + 6 ，
1 1
又因为 = + ，且 、 不共线，所以根据平面向量基本定理，得 = 3 , = 6；
(2)因为 = + = + = (1 + ) ， = + = + = (1 + ) ，
(1) 1 1 1 1+ 1+ 由 得 = = + ，可知 = + 2 3 6 3 6 ，
1+ 1+ 根据 、 、 三点共线，得 3 + 6 = 1，即 2 + = 3，
1 2 1 1 2 1
所以 + = 3 (2 + )( + ) = 3 (4 +

+
4
)
由 > 0， > 0 + 4 4 ，得 ≥ 2 = 4，
1 (4 + 4 1 8 1 2所以3 + ) ≥ 3 (4 + 2 4) = 3，即 + ≥
8
3，
3 3 1 2 8
当且仅当 = 2 ，即 = 4 , = 2时取等号，可知 + 的最小值为3．
19.解：已知 是圆柱的直径且 = 2， 是圆柱的母线且 = 3，点
是圆柱底面圆周上的点，
(1) 1圆柱的底面半径 = 2 = 1，高 = = 3，
圆柱的侧面积 侧 = 2 × 1 × 3 = 6 ，
圆柱的体积 = × 12 × 3 = 3 ．
(2)三棱锥 的高 = 3，底面三角形 中， = 2，
则当点 到 的最大值等于底面圆的半径 1，
1 1 1
所以三棱锥 体积的最大值 = 3 △ = 3 × 2 × 2 × 1 × 3 = 1．
(3)将△ 绕着 旋转到 ′使 ′在 的反向延长线上，
∵ = 2， = 3，∴ = 2 + 2 = 13，
∴ cos∠ = 2 , = 1 = 1313 2 2 , ′ = + ′ = 3，
∴ ′ = ′ 2 + 2 2 ′ cos∠ ，
= 32 + ( 13 )22 2 × 3 ×
13 2 5
2 × 13 = 2，
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即 + 5的最小值为 ′ 等于2．
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