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2024-2025 学年三门峡市渑池第二高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平行四边形 中， + 等于( )
A. B. C. D.
2.与向量 = ( 3,4)反向的单位向量是( )
A. = ( 3 , 45 5 ) B.
= ( 3 , 45 5 ) C.
= ( 45 ,
3 4 3
5 ) D. = ( 5 , 5 )
3.设复数 满足(1 + ) = 4 ，则| | =( )
A. 22 B. 2 2 C. 2 D. 2 2
4.设平面向量 = ( 1,2)， = (2,1)，则| | =( )
A. 5 B. 10 C. 13 D. 3 5
5.下列命题正确的是( )
A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面
C.两条直线确定一个平面 D.梯形可确定一个平面
6.已知 = (2,1)， = (3,5)，则 在 上的投影向量为( )
A. ( 1 , 2 ) B. ( 4 25 5 5 , 5 ) C. (
8 4
5 , 5 ) D. (
12 6
5 , 5 )
7.△ 的内角 ， 2 ， 的对边分别为 ， ， .已知 3 = 5 ， = 3，则 =( )
A. 3 3 310 B. 10 C.
3 2 3
5 D. 5
8.已知正方体的内切球的体积为 4 3 ，则该正方体的外接球的表面积为( )
A. 12 B. 36 C. 9 3 D. 12 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量 = (2,0)， = (1, 3)，则( )
A. | | = 2 B. = 2 C. 在 1上的投影向量为2 D. 与
的夹角为6
10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有( )
A. //
B. 与 异面
C. 与 异面
D. //
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11.已知复数 = 5 4 ，以下说法正确的是( )
A. 的实部是 5 B. | | = 41

C. = 5 + 4 D. 在复平面内对应的点在第一象限
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( , 2)， = (3, 1)，若 // ，则 = ______．
13.已知圆锥的母线长为 6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ．
14.已知向量 = ( , 1)， = ( , 16 )， ≠ 0，且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______(用区间表
示)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设 ∈ ，向量 = (1,2)， = ( , 1)
(Ⅰ)当 + 2 与 2 平行时，求 ；
(Ⅱ)当 + 2 与 2 垂直时，求| + |.
16.(本小题 15 分)
如图，已知 ， ， ， 分别是空间四边形 的边 ， ， ， 的中点， = .求证：
(1)四边形 是菱形；
(2) //平面 ．
17.(本小题 15 分)
已知△ 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 2 + 2 + = 2．
(1)求 ；
(2)若 = 3 ， 是 的中点，且 = 7，求△ 的面积．
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18.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， ⊥底面 ， = ，点 在棱
上， //平面 ．
(1)试确定点 的位置，并说明理由；
(2)求四棱锥 的表面积．
19.(本小题 12 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 3 (2 ) = 0 2，且 = 3 ．
(1)求 的大小；
(2)若 边上的中线 = 2 7，求△ 的周长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 20
13.9 3
14.( ∞, 1 116 ) ∪ ( 16 , 0) ∪ (16, + ∞)．
15.解：(Ⅰ) ∵ + 2 = (1，2) + 2( ，1) = (1 + 2 ，4)，2 = 2(1,2) ( , 1) = (2 , 3)，
又 + 2 与 2 平行，∴ 4(2 ) 3(1 + 2 ) = 0，化为 2 = 1 1，解得 = 2．
(Ⅱ) ∵ ⊥ ，∴ (1 + 2 )(2 ) + 12 = 0，
化为 2 2 3 14 = 0，
7
解得 = 2或 = 2，
当 = 2 时， = ( 2,1)， + = ( 1,3)，∴ | + | = ( 1)2 + 32 = 10．
当 = 7 72时，
= ( 2 , 1)，∴ +
= ( 92 , 3)，∴ | +
| = ( 92 )
2 + 32 = 3 132 ．
∴ | + | = 10 3 13或 2 ．
16.证明：(1)由题意得 ， ， ， 分别是空间四边形 的边 ， ， ， 的中点，
则 是△ 的中位线， 是△ 的中位线，
由中位线定理得 // 1， // 且 = = 2 ，
同理可得 = 12 ， // ，
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因为 = ，
所以 = ，
因为 // ， // ，
所以 // ，
故四边形 为平行四边形，
因为 = ，
所以四边形 是菱形，得证；
(2)由(1)可得 // ，
而 平面 ，且 平面 ，
得到 //平面 ，
故 AC//平面 ，得证．
17.解：(1)在△ 中，因为 2 + 2 + = 2，即 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得： 2 + 2 2 = 2 ，
可得 = 12，
因为 ∈ (0, )，
= 2 所以 3；
(2)因为 是 的中点，所以 2 = + ，
2 2 2
可得 4 = + + 2
2 2 = + + 2| | | | ， = 7， = 3 ，
即 4 × 7 = 2 + 9 2 + 2 × × 3 × ( 12 )，
解得 = 2， = 3 = 6，
所以△ 1 1的面积为 = 2 = 2 × 6 × 2 ×
3
2 = 3 3．
18.解：(1)设 ∩ = ，则 是 的中点，
设点 为 中点，
∵在△ 中， // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
故当点 为 中点时， //平面 ．
(2) ∵四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， ⊥底面 ， = ，
∴四棱锥 的表面积= 1 × 1 + 2 × 12 × 1 × 1 + 2 ×
1
2 × 1 × 2 = 2 + 2．
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19. 2解：(1)因为 3 (2 ) = 0，且 = 3 ，
由正弦定理可得： 3 (2 ) = 0
又 ≠ 0，所以 3 2 + = 0，
即 sin( + 6 ) = =
3
2 ，
∈ (0, ) + ∈ ( , 又因为 3 ， 6 6 2 )，
+ 所以 6 = 3，即 = 6，
可得 = 6；
(2)由(1)得 = = 6，则△ 是以 为顶角的等腰三角形，
设 = > 0，则 = = 2 ，
在△ 中，由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 = 4 2 + 2 + 2 2 = 28，
解得 = 2，
即 = = 4，
4
由正弦定理可得 = ，即 3 = 1，
2 2
可得 = 4 3，
所以 △ = 4 + 4 + 4 3 = 8 + 4 3．
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