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2025-2026学年河北省衡水市高二上学期一调考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.下列说法错误的是( )
A. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
B. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称
C. 若直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
D. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点在平面外，，则点到平面的距离为
4.中，，则( )
A. 是等腰三角形 B. 是直角三角形
C. 是等腰三角形或直角三角形 D. 是等腰直角三角形
5.现要完成下列项抽样调查：
从种疫苗中抽取种检测是否合格．
某科研院所共有名科研人员，其中具有高级职称的有名，具有中级职称的有名，具有初级职称的有名．为了解该科研院所科研人员的创新能力，拟抽取一个样本容量为的样本．
在中秋节前，某食品监督局从某品牌的盒月饼中随机抽取盒进行食品卫生检查．
较为合理的抽样方法是( )
A. 简单随机抽样，分层抽样 B. 简单随机抽样，分层抽样
C. 简单随机抽样，分层抽样 D. 简单随机抽样，分层抽样
6.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为，则( )
A. B.
C. D.
7.关于的方程的两个实数根，满足，则常数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在缀术提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．”例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分称之为“球冠”的几何体的体积是半球体积的( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有人的某工厂举行知识竞赛，为了了解竞赛成绩满分分，分及以上为优秀，从中抽取人的成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是( )
A. B. 估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为
C. 估计该工厂竞赛成绩的中位数为 D. 估计该工厂竞赛成绩的平均数大于
10.已知事件，，两两互斥，若，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点含端点，则下列结论正确的有( )
A. 存在点，使得直线平面
B. 过三点的平面截正方体所得的截面的面积为
C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 用坐标表示
13.甲、乙、丙三人一同下棋无平局，甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲的概率分别为，，第一局由甲、乙二人先下，丙旁观，规则为负者在下一局旁观，胜者与丙比赛依次类推若其中有一人累计胜两局，则结束比赛，胜两局者最终获胜，则甲最终获胜的概率是 ．
14.已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角所对的边分别为．
若，求的面积；
若角的平分线与的交点为，求的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点．
求证：直线平面；
求直线到平面的距离．
17.本小题分
某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第组，第组，第组的频数之比为：：，请根据下面尚未完成的频率分布直方图如图所示解决下列问题：
若根据这次成绩，年级准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理
李老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：已知这个分数的平均数标准差若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差；
从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取名同学，再从这名同学中随机选出人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面是棱的中点，．
证明：平面．
求点到平面的距离．
若点在棱上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值．
19.本小题分
函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
若函数的对称中心为，求函数的解析式．
由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次多项式方程有个复数根重根按重数计如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系．
若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值；
若，函数的零点分别为，求的值．
参考答案
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14.
15.解：由
，
得，
由正弦定理得 ，
所以，
因为，所以，
在中，，
由余弦定理，
得，解得，
所以，
即的面积为；
因为为角平分线，，所以，
在中，，
所以，
由，得，所以，
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为．

16.证明：连接，并交于点，
底面为正方形，为中点，
又是的中点，是的中位线，
，又平面，平面，
平面；
解：直线到平面的距离即点到平面的距离，
侧棱底面，底面，底面，
，，
又，，，、平面，
平面，
又平面，
．
，，，
在中，由余弦定理可得，
则，，
设点到平面的距离为，由得，
解得，
直线到平面的距离为．

17.第组，第组，第组的频数之比为：：，所以，
设晋级分数线为分，则，
得，
所以晋级分数划为分合理；
由条件可知，这个数据的，，
设剩下个数据的平均数为，
剩下个数的方差为
因为分数在，这两组的频率比为，
所以抽取的人中，抽取人，抽取人，
这组的人编号为，这组人编号为，
人中所有抽取人的组合包含，，，，，，，，，，，，，，，共种情况
其中人恰来自同一组包含，，，，，，，共种情况，
所以两人恰好来自于同一小组的概率．

18.因为平面，且平面，所以，
因为，且，所以，
且，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，是棱的中点，所以，
因为，平面，且，所以平面．
以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，，，，
则，
因为点在棱中点上，所以的坐标为，
设平面的法向量为，
则，令，得，
以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以，
则，
因为点在棱上，所以，
则，故，
设平面的法向量为，
则
令，得，
由知平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
因为，所以，
所以，
即，
故平面与平面夹角的余弦值的最小值为．

19.由为奇函数，则恒成立．
即，
整理得：恒成立，故，解得，
故．
若，则，由题有的三个实根为．
设，
展开得，
故，
则，
又，故，
综上：当时，的最大值为；
时，，由有，
同时除以得，令，，，
由题知是方程的三个根，
则，
展开得，，
则．

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