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2025-2026学年广西壮族自治区高二上学期 9月入学摸底大联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∣ < 2 且 ∈ }, = 2 > 14 ，则 ∩ =( )
A. 1,1 B. 1,0,1 C. 0 D. 2, 1,0,1,2
2 = 2+ .已知复数 1 ，其中 为虚数单位，则复数 的虚部为( )
A. 32 B.
3 3 3
2 C. 2 D. 2
3.已知 , ∈ ，则“ + > 0”是“ + ≥ 2 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 5π.已知角 终边上一点 (3, 4)，则 sin 6 + =( )
A. 1 32 B. 2 C.
3+2 3
5 D.
3+4 3
10
5.在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，且 2 + 2 2 = ， = 4，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
6 1.如图，在四面体 中， 是棱 的中点， 是棱 上一点，且 = ，则 3 =( )
A. 1 2 + 1 B. 1 22 3 3 2 + 3
1 3
C. 1 2 1 D. 1 + 2 + 1 2 3 3 2 3 3
7.已知函数 ( ) = log2 2 + ( 2) +
3
4 ，若定义域为 ，则实数 的取值范围为( )
A. 7 33 , 7+ 33 7 332 2 B. 0, 2
C. 7+ 332 , + ∞ D. ( ∞, + ∞)
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8.在正方体 1 1
2
1 1中，棱长为 ， ， 分别为 1 和 上的点， 1 = = 3 ，则 与平
面 1 1 的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是( )
A.设有一大批产品，已知其次品率为 0.1，则从中任取 100 件，必有 10 件是次品
B.做 7 3次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是7
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过 10000，所估计出的概率也不
一定很准确．
10.下列说法正确的是( )
A.若函数 3 的定义域为 1,3 ，则函数 的定义域为 3,9
B.若函数 = 过定点 0,1 ，则函数 = + 1 + 2 经过定点 1,3
C.函数 = 13 在 ∞,0 上单调递减 2
D. = 2 1 +2图象关于原点成中心对称
11.在长方体 1 1 1 1中，已知 = 2 3， = 1 = 2， 、 分别为 1 1、 1 1的中点，则( )
A. = 2
B. 1异面直线 与 所成角的余弦值为2
C. 19若点 为长方形 内一点(包括边界)，且 1 //平面 ，则 1 长的最小值为 2
D.过点 ， ， 的平面截长方体 1 1 1 1所得的截面周长为 2 + 31 + 13
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知弧长为 2 的弧所对的圆心角为6，则这条弧所在的扇形面积为 ．
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13.某水平放置的平面图形 的斜二测直观图是梯形 ′ ′ ′ ′(如图所示)，已知 ，
∠ ′ ′
1
′ = 45°， ′ ′ = ′ ′ = ′ ′2 = 1，将该平面图形绕其直角腰 边旋转一周得到一个圆台，
则该圆台的侧面积为 . ( = π ′圆台侧 + ，其中 ′， 分别是上、下底面圆的半径， 是母线长. )
14.若一组数据 1， 2， 3，…， 的方差为 4，则 3 1 1，3 2 1，3 3 1，…，3 1 的标准差为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知空间内三点 (0,2,3)， ( 2,1,6)， (1, 1,5)．
(1)求∠ 的余弦值；
(2)求以向量 ， 为一组邻边的平行四边形的面积 ．
16.(本小题 15 分)
的内角 , , 的对边分别为 , , ，cos + 3sin = 0, = 2 7, = 2 3.
(1)求 ；
(2)设 为 边上一点，且 ⊥ ，求 的面积．
17.(本小题 15 分)
某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取 1000 件，测得产品质量差(质量差=生产的产品质量 标准
质量，单位 mg)的样本数据统计如下：
(1)求样本数据的 70%分位数；(精确到 0.01)
(2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在 , + 范围内的产品为一等品，其余为
二等品．其中 ， 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 ≈ 10(同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表)．
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①若产品的质量差为 78mg，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3 件一等品和 2 件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出 2 件产品
进行检验，求摸出 2 件产品中至少有 1 件一等品的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 2 + 2 3sin cos ．
(1) 当 ∈ 2 , 时，求 的取值范围；
(2)若关于 的方程 = 在区间 0, 2 上恰有两个不同的实数根，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知 , △ 均为等腰直角三角形，且 = = ，平面 ⊥平面 .平面四边形 中，
平面 ，点 为 的中点，连接 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求二面角 的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12 2
13.3 5π
14.6
15.解：(1) = (2,1, 3)、 = (3, 2, 1)，
cos∠ =

则 = 6 2+3 1
4+1+9 9+4+1
= 2，
即∠ 1的余弦值为2；
(2) = ( 2, 1,3)， = (1, 3,2)，

cos∠ =
2+3+6 1
则 =
4+1+9 1+9+4
= 2，
2
则 sin∠ = 1 1 = 32 2 ，
则 = sin∠ = 4 + 1 + 9 1 + 9 + 4 32 = 7 3．
16.(1)解：由已知可得 tan = 3 5 3 ，因为 ∈ (0, )，所以 = 6．
在 中，由余弦定理得 28 = 12 + 2 4 3 cos 5 6，
即 2 + 6 16 = 0，
解得 = 8(舍去)， = 2．
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(2) 解：由题设可得∠ = 2，所以∠ = ∠ ∠ =

3．
1
= 2

= 2. = 1 × 2 × 2 3sin 5 故 又 = 3， 12 sin
2 6
3
所以 =
3
3 ．
17.解：(1)由于前 2 组的频率和为 0.3，前 3 组的频率和为 0.75，
所以可知 70%分位数一定位于第三组[66,76)内，
设 70%分位数为 ，则 0.3 + 0.045( 66) = 0.7，解得 ≈ 74.89
(2)①根据频率直方图计算样本平均数： = 51 × 0.1 + 61 × 0.2 + 71 × 0.45 + 81 × 0.2 + 91 × 0.05 = 70
因为样本标准差， ≈ 10，所以 , + = (60,80)，又 78 ∈ (60,80)，
则可知该产品属于一等品．
②记三件一等品为 , , ，两件二等品为 , ，
摸出两件产品总基本事件共 10 个，分别为：
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件 ，则 包含的基本事件共 9 个，分别是：
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
所以 ( ) = 910．
9
则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为10．
18.解：(1) ∵ = 2 2 + 2 3sin cos = 1 cos2 + 3sin2
= 1 + 2 32 sin2
1 cos2 = 2sin 2 2 6 + 1，
又∵ ∈ 2 , , ∴
5 ≤ 2 11 6 6 ≤ 6 , ∴ 1 ≤ sin 2
1
6 ≤ 2，
∴ 1 ≤ ≤ 2，故 的取值范围为 1,2 ;
(2) ∵ = , ∴ sin 2 16 = 2 ，

当 ∈ 0, 2 时，2 6 ∈

6 ,
5
6 ，
∵ sin 2 16 = 2 有两个不同的实数根，
又∵ = sin 在 6 ,
5 5 5 1
2 上单调递增，在 2 , 6 上单调递减，且当 = 6时 = sin 6 = 2，
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5
作出函数 = sin ∈ 6 , 6 的图象如图所示，
1 1
由正弦函数图象可知2 ≤ 2 < 1，解得 2 ≤ < 3，
故实数 的取值范围是 2,3 ．
19.解：(1)证明：∵△ , △ 均为等腰直角三角形，
且 = = , ∴ ⊥ , ⊥ ，
∴ ∠ 为二面角 的平面角．
又平面 ⊥平面 , ∴ ⊥ ．
又 ⊥ , ∩ = , 平面 , 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
，即 // ，
= 1 , = 1又 2 2 , ∴ = ，
∴四边形 是平行四边形， ．
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ．
(2)由(1)知 , , 两两垂直，
故以 为坐标原点，分别以 , ， 所在直线为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系：
不妨设 = = = 2，则 (2,0,0), (0,2,0), (0,2,1), (0,0,2)，
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= (0,0,1), = ( 2,2,1), = ( 2,0,2)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= = 0,
则 ，令 = 1，则 = (1,1,0)．
= 2 + 2 + = 0,
设平面 的法向量 = ( , , )，
= 2 + 2 = 0, = 1 1则 ，不妨令 ，则 = 1, = ，
= 2 + 2 + = 0, 2
所以平面 的法向量为 = 1, 12 , 1 ．
1+
1
cos , = = 2 = 2所以 ，
1 2
2
12+ 22 +1 × 2
2
故所求二面角 2 2的正弦值为 1 2 = 2 ．
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