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2025 年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试卷
一、单选题：本题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.集合 = 0,1,2,4,5 , = ∈ ∣ 1 < < 4.1 ，则 ∩ =( )
A. 0,1,2 B. 2,4 C. 0,2,4 D. 0,1,2,4
2.若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38.则该组数据的
第 41 百分位数为( )
A. 21 B. 24 C. 25 D. 27
3.在平行四边形 中， 为对角线的交点，则 2 =( )
A. B. C. D.
4.已知 是实数，则使得 2 2 < 0 成立的一个充分不必要条件是( )
A. 1 < < 0 B. 0 < < 3 C. 0 < < 1 D. 0 < < 2
5 .已知1+2i = i
7，则复数 的实部为( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
6.已知向量 = ( , 2 ), = (1, 1)，若 ⊥ ，则( )
A. = 5 B. = 3 C. = 1 D. = 1
7 π.函数 ( ) = 2cos 2 2 是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 2π的奇函数 D.最小正周期为 2π的偶函数
8.若 > ，则下列不等式一定成立的是( )
A. 1 > 1 B. 2 > 2 C. 2 > D. 3 > 2 +
9.log2 2 + lg2 + lg5 =( )
A. 1 B. 1 32 C. 2 D. 2
10.已知圆柱的高为 6，底面直径为 8，若圆柱的底面圆周恰好在球 的球面上，则球 的半径为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
11.若 2是正数，则 2 4 + 1 + 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
12.若奇函数 ( )在区间[1,5]上是增函数，且最小值为 3，则它在区间[ 5, 1]上是( )
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A.增函数且有最大值 3 B.增函数且有最小值 3
C.减函数且有最大值 3 D.减函数且有最小值 3
13 π.函数 ( ) = sin 6 在区间 0,3π 上的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
14.一个矩形的周长是 10，则矩形的长 关于宽 的函数解析式为( )(默认 > )
A. = 5 (0 < < 2.5) B. = 5 2 (0 < < 2.5)
C. = 10 (0 < < 5) D. = 10 2 (0 < < 5)
15 1 1.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为3 , 5，若甲、乙两人一起破译这份密
码，则密码不能被成功破译的概率为( )
A. 115 B.
1 8 2
3 C. 15 D. 3
16.函数 ( ) = 2 + 6 的零点为( )
A. = 1 B. = 2 C. = 3 D. = 4
17.已知 = log 0.0126, = log23.9, = 2 ，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
18.某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的 500 名学生成绩分为 6 组，绘制了如图所示的
频率分布直方图，则成绩在区间[75,80)内的学生有( )
A. 80 名 B. 100 名 C. 120 名 D. 140 名
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。
19.cos26°cos34° sin26°sin34° = ．
20.在正方体 1 1 1 1中， 是 的中点， 是 1 1的中点，则异面直线 1 和 1 所成角的余弦值
为 ．
21.已知 的内角 , , 的对边分别是 , , ，且 : : = 5: 12: 13，则 的形状是 三角形．
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22 W.人们用分贝( )来划分声音的等级，声音的等级 ( )(单位：dB)与声音强度 (单位：m2 )满足 ( ) = 10
lg 10 12 .一般两人正常交谈时，声音的等级约为 60 dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为 150 dB，若燃放烟

花爆竹时声音强度为 ，两人正常交谈时声音强度为 ，则 lg = ．
三、解答题：本题共 3 小题，共 34 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题 10 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中， 为 的中点．
(1)在棱 1 1上找一点 ，使得 //平面 1 ，请确定点 的位置；
(2)若 1 = 3, = 2，求直线 1与平面 1 1 所成的角的正弦值．
24.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 3sin π sin π2 cos
2( ) + 12．
(1) π π若 ∈ 3 , 6 ，求函数 ( )的值域；
(2)若函数 ( ) = 2 ( ) 1 在[0, ]上有且仅有两个零点，求 的取值范围．
25.(本小题 12 分)
已知在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，且 2 = 2 cos + 3 ．
(1)求角 ；
(2)若 + = 1 + 2 3, △ 3的面积为 2 ，求 ．
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参考答案
1.
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15.
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17.
18.
19.12/0.5
20.15/0.2
21.直角
22.9
23.解：(1)在正三棱柱 1 1 1中，取 1 1的中点为 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 = 1，且 /\ !/ 1，
所以四边形 1 为平行四边形，故 /\ !/ 1，
又因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 //平面 1 ，故 为 1 1中点．
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(2)设直线 1与平面 1 1 所成的角为 ，
在正三角形 中， = sin60° = 3，其中 为 中点．
则 ⊥ ， 1 = 2 + 21 = 13．
在正三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ，
又因为 ∩ 1 = ， 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，所以 ⊥ 1．
所以∠ 1 为直线 1与平面 1 1 所成的角；
3 39
则 sin = =1 13
= 13 ．
24.解：(1)化简函数 ( ) = 3sin π sin π2 cos
2( ) + 12，
π
利用恒等式 sin π = sin ，sin 2 = cos ，cos
2( ) = cos2 ，
得到：
( ) = 3sin cos cos2 + 1 = 32 2 sin2
1+cos2 + 12 2，
= 32 sin2
1
2 cos2 = sin 2
π
6
π π π
当 ∈ 3 , 6 时，2 6 ∈
5π , π sin ∈ 5π π 16 6 ， 在 6 , 6 的值域为 1, 2 ，
π π
所以若 ∈ 3 , 6 ，函数 ( )
1
的值域为 1, 2 ．
(2)令 ( ) = 2 ( ) 1 = 2sin 2 π6 1 = 0，解得 sin 2
π = 16 2，
π π π
则 2 6 = 6 + 2 π ∈ Z 或 2 6 =
5π
6 + 2 π ∈ Z ，
即 = π6 + π ∈ Z 或 =
π
2 + π ∈ Z ，
在区间[0, ] π π 7π 3π内，前两个非负解为 1 = 6， 2 = 2，后续解依次为 3 = 6， 4 = 2 等，
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为使 ( ) π 7π恰好有两个零点，需满足2 ≤ < 6，
π 7π
因此， 的取值范围为 2 , 6 ．
25.解：(1)因为 2 = 2 cos + 3 ，由正弦定理可得 2sin = 2cos sin + 3sin ，
所以， 3sin = 2sin( + ) 2cos sin = 2sin cos + 2cos sin 2cos sin
= 2sin cos ，
因为 、 ∈ 0, π ，则 sin > 0，可得 cos = 3 π2 ，故 = 6．
(2) 1 1 1 1因为 = 2 sin = 2 × 2 = 4 =
3
2 ，可得 = 2 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 2 × 3 = ( + )22 2 + 3
= 13 + 4 3 2 3 × 2 + 3 = 7，
因此， = 7．
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