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2025-2026学年江苏省宿迁市第一高级中学高一上学期 9月阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |0 < < 3}， = { | 4 < < 2}，则 ∪ =( )
A. (0,3) B. ( 4,3) C. ( 4,2) D. (0,2)
2.“ = 0”是“ ≠ 0”( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.关于 的方程 2 + + = 0，有下列四个命题：甲： = 3 是该方程的根；乙： = 1 是该方程的根；丙：
该方程两根之和为 2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.已知集合 = ∈ 43 ≥ 1 ，则 的非空真子集个数为( )
A. 6 B. 7 C. 14 D. 15
5.已知 > 0, > 0, > 0，且 < < ，那么( )
A. < B. =
C. > D. 与 的大小随 变化而变化
6.设集合 = | = 2 +
1
4 , ∈ Z , = | = 4+
1
2 , ∈ Z ，则( )
A. = B. C. D. ∩ =
7.已知正实数 , 满足 + + 2 = 6，则 + 2 的最小值是( )
A. 2 2 + 2 B. 4 C. 5 D. 2 3
8.关于 的不等式 2 2 + 1 + 4 ≤ 0 的解集中恰有 4 个正整数，则实数 的取值范围是( )
A. 5 , 3 B. 52 2 , 3
C. 1, 1 1 52 D. 1, 2 ∪ 2 , 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 = 2 7 + 12 = 0 ， = 1 = 0 ，若 ∩ = ，则实数 的值可以是( )
A. 0 B. 13 C.
1
4 D. 3
10.已知实数 ， 满足 3 < + 2 < 2， 1 < 2 < 4，则( )
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A. 的取值范围为( 1,2) B. 的取值范围为( 2,1)
C. + 的取值范围为( 3,3) D. 的取值范围为( 1,3)
11.如图所示，四边形 为梯形，其中 = , = ， 为对角线的交点.有 4 条线段( 、 、 、 )
夹在两底之间． 表示平行于两底且于他们等距离的线段(即梯形的中位线)， 表示平行于两底且使梯形
与梯形 相似的线段， 表示平行与两底且过点 的线段， 表示平行于两底且将梯形 分
为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有( )
A.若 = 2, = 4，则 = 2 2． B. , ∈ R, ≠ ，使得 >
2 2C. = + 2 D. , ∈ R, ≠ ， < ．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.命题 :“ ∈ 1,3 ， 2 2 ≤ 0”是假命题，则 的取值范围是 ．
13.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、
化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4
人，则同时参加数学和化学小组的有 人．
14 1 1.已知正数 ， 满足(2 + ) + ( +4 ) = 1，则 的最大值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集 = ，集合 = { | 2 ≤ < 1}, = | 2 2 3 < 0 ．
(1)求 ∪ ；
(2)如图阴影部分所表示的集合 可以是 (把正确答案序号填到横线处)，并求图中阴影部分表示的集合 ；.
① ∩ ② ∪ ③ ∩ ④ ∪
16.(本小题 15 分)
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已知集合 = { | 2 + 3 + 10 ≥ 0, ∈ R}，集合 = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}，集合 = { |3 ≤ <
10, ∈ Z}．
(1)求 R ∩ 的子集的个数；
(2)若命题“ ∈ ∪ ，都有 ∈ ”是真命题，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知关于 的不等式 2 3 + 2 > 0 的解集为 < 1 或 > ．
(1)求 , 的值；
(2)当 > 0, > 0 且满足 +

= 1 时，有 2 + ≥
2 + + 3 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经
5 , 0 < ≤ 10,
调研，每件衣服的售价 (单位：元)与销量 (单位：万件)之间满足关系式 = 900 已知公司
2 , > 10.
每年固定成本为 10 万元，每生产 1 万件衣服需要再投入 4 万元.设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当
公司销售 8 万件衣服时，年利润为 990 万元;当公司销售 20 万件衣服时，年利润为 1145 万元．
(1)写出年利润 (万元)关于年销量 (万件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万件时，公司利润最大 并求出最大利润．
19.(本小题 17 分)
+ = 1 1+ 2 . 1+ 2 = 1+ 2 ( + ) = 1 + + 2 问题：正数 ，满足 ，求 的最小值其中一种解法是： + 2 ≥
3 + 2 2 2 ，当且仅当 = ，且 + = 1 时，即 = 2 1 且 = 2 2时取等号，学习上述解法并解决
下列问题：
(1)若正实数 ， 满足 = 3 + ，求 + 的最小值；
2 2
(2) 若正实数 ， ， ， 满足 2
2 2
2 = 1，且 > ，试比较 和( )
2的大小，并说明理由；
(3)若 > 0，利用(2)的结论，求代数式 = 3 5 2的最小值，并求出使得 最小的 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∞, 1
13.8
14.47
15.【详解】(1)因为 = | 2 2 3 < 0 = | 1 < < 3 ， = { | 2 ≤ < 1},
所以 ∪ = { | 2 ≤ < 3},
(2)根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合 为③： ∩ ，
= { | ≤ 1 或 ≥ 3}，所以 ∩ = { | 2 ≤ ≤ 1}．
16.【详解】(1)由 2 + 3 + 10 ≥ 0 可得 2 ≤ ≤ 5，即 = { | 2 ≤ ≤ 5}，所以 R = < 2
或 > 5 ，
因为 = { |3 ≤ < 10, ∈ Z} = 3,4,5,6,7,8,9 ，所以 R ∩ = 6,7,8,9 ，
所以 ∩ 的子集的个数为24R = 16．
(2)因为命题“ ∈ ∪ ，都有 ∈ ”是真命题，所以 ;
当 = 时， + 1 > 2 1，即 < 2，符合题意；
+ 1 ≤ 2 1
当 ≠ 时， + 1 ≥ 2，解得 2 ≤ ≤ 3；综上可得实数 的取值范围是 ≤ 3．
2 1 ≤ 5
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17.【详解】(1)由题意得 1, 为方程 2 3 + 2 = 0 的两个根，
1 + = 3则 , 1 =
2
，解得 = 1, = 2；
(2)由(1) 2得 +
1
= 1，
则 2 + = (2 + ) 2 +
1
= 4 + 1 +
2 + 2 ≥ 5+ 2 2 2 = 9，
2 2
当且仅当 = ，即 = = 3 时，等号成立，
要想 2 + ≥ 2 + + 3 恒成立，只需 9 ≥ 2 + + 3，解得 3 ≤ ≤ 2，
故实数 的取值范围是[ 3,2]．
18.解：(1)因为当销售 8 万件衣服时，年利润为 990 万元，所以( 5 × 8) × 8 10 4 × 8 = 990，解得
= 169，
20 900当销售 万件衣服时，年利润为 1145 万元，所以( 20 202 ) × 20 10 4 × 20 = 1145，解得 = 1280，
当 0 < ≤ 10 时， = (169 5 ) (4 + 10) = 5 2 + 165 10;
1280
当 > 10 时， = (
900
2 ) (4 + 10) =
900
4 + 1270，
5 2 + 165 10,0 < 10,
所以 =
900 4 + 1270, > 10.
(2) 0 < ≤ 10 33 5405当 时， = 5( 2 )
2 + 4 ，所以 max = (10) = 1140;
900
当 > 10 时， = 4 + 1270
900 900
，由于 + 4 ≥ 2 × 4 = 120，
900
当且仅当 = 4 ，即 = 15 ∈ (10, + ∞)时取等号，此时 取得最大值为 1150，
综上可知，当 = 15 时， 取得最大值为 1150 万元．
19. 1 3【详解】(1)解： > 0， > 0， = 3 + ，则 + = 1，
所以， + = ( + ) 1 3 3 + = 4 + + ≥ 4 + 2
3
× = 4 + 2 3，
3 = 当且仅当 ，即 = 3 + 1， = 3 + 3时取等号，
所以 + 的最小值是 4 + 2 3．
2 2 2 2 2 2
(2) 2 2 = 2 2 × 1 = 2 2 解： 2 2 =
2 + 2 2 + 2 ，
2 2 +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
又 2 2 ≥ 2 2 2 = 2| |，当且仅当 2 = 2 时等号成立，
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2 2 2 2
所以 2 + 2 2 2 2 + 2 ≤ + 2| | ≤
2 + 2 2 = ( )2，
2 2 2 2
所以 2 2 ≤ ( )2，当且仅当 2 =
2 2
2 ，即 = 同号时等号成立．
2 2
此时 ， 满足 2 2 = 1；
2 2
(3)解：令 = 3 5 ， = 2，构造 2 2 = 1，
2 2
所以 2 3 2 = 1 ，即 1 1 = 1
2 = 1 2 = 1，因此 ， 3，
3
= 3 5 2 = ≥ 2 2 = 1 1 = 6所以 3 3 ，
1
取等号时，3
2 = 3 2 6 6即 = 3 ，结合 2 3 2 = 1，解得 = 2 ， = 6 ，
即 3 5 = 62 ， =
13
6．
所以 = 13 66时， 取得最小值 3 ．
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