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2025-2026学年湖南省郴州市永兴县树德中学九年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列命题中真命题的是（　　）
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3.“深度求索”的英语单词“DeepSeek”中，字母“e”出现的频率是（　　）
A. B. C. D.
4.如图，在△MBC中，∠C=30°，MN⊥MB于M，MN=2cm,MB=MC，则BC=（　　）
A. 7cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 8cm
5.下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A. ax2+bx+c=0 B. x+y2=0 C. x2+1=0 D. x-2y+1=0
6.在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+3和的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
7.强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（　　）m.
A. 12 B. 13 C. 17 D. 18
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若OE=3，菱形ABCD的面积是48，则菱形的边长等于（　　）
A. 16
B. 8
C. 6
D. 4
9.一客车从甲地开往距甲地40km的乙地，行驶20min到达丙地停留10min又行驶15min到达乙地.下列图象中，能大致描述客车行驶过程中距离乙地s（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系的是（　　）
A. B.
C. D.
10.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠ADC=60°，BC=2CD，则下列结论：①∠CAD=30°；②S ABCD=AB AC；③OB=AB；④BE=2OE.其中结论成立的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在平面直角坐标系中，函数中的自变量x的取值范围是______.
12.一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为______.
13.若是反比例函数，那么m的值是______．
14.若x=-1是关于x的方程x2-3x+m-5=0的一个根，则m的值为 .
15.已知点A的坐标为（3，-2），AB∥y轴且AB=4，则点B的坐标为 .
16.如图，函数y=-3x和y=kx+b的图象相交A（m,6），则关于x的不等式kx+b≤-3x的解集为______.
17.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在CD边上，将四边形ABCE沿直线AE翻折，得到四边形AFGE，点B，C的对应点分别为点F，G.当点D恰好在线段FG上时，线段CE的长为______.
18.如图，在平行四边形ABCD中，平行四边形ABCD的面积是32，BC=8，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH，点E，F分别是AH，GH的中点，则EF的最小值是 .
三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-6x-16=0；
（2）（x-2）（x-3）=x-2.
20.(本小题8分)
如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AD=10，BE=6，求AB的长.
21.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD=6，EB=4，求 ABCD的周长.
22.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系.已知△ABC的顶点A的坐标为（-1，4），顶点B的坐标为（-4，3），顶点C的坐标为（-3，1）.
（1）把△ABC向下平移4个单位长度，再以y轴为对称轴对称，得到△A′B′C′，请你画出△A′B′C′，并直接写出点A′，B′，C′的坐标；
（2）求△ABC的面积.
23.(本小题8分)
2024年12月4日是我国第24个“法制宣传日”，某校举行了主题为“学法，知法，懂法，守法”的普法知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如图所示两幅尚未完成的统计图表.
成绩x/分 频数 频率
60≤x＜70 15 0.1
70≤x＜80 a 0.2
80≤x＜90 45 b
90≤x＜100 60 0.4
（1）表中a= ______，b= ______.
（2）请补全频数分布直方图.
（3）若80分及其以上为优秀，该校现有1200名学生，则估计该校成绩优秀的学生有多少名？
24.(本小题8分)
《义务教育劳动课程标准》提出，将多种劳动技能纳入课程，发挥好劳动教育独特的育人价值.为让学生体验农耕劳动，某校计划购买甲、乙两种树苗种植.已知甲种树苗进价是乙种树苗进价的1.5倍，若用360元购进甲种树苗的数量比用320元购进乙种树苗的数量少8棵.
（1）甲、乙两种树苗的进价分别为每棵多少元？
（2）学校计划购买甲、乙两种树苗共120棵，设采购甲种树苗a棵，购买这120棵树的总费用为W元.但由于甲种树苗种植成本较高，项目预算要求：①甲种树苗不超过40棵，②甲种树苗的数量不小于乙种树苗的数量的三分之一.请设计采购方案，使得总费用W最小，并求出最小值.
25.(本小题10分)
如图，一次函数y=x+b与反比例函数的图象相交于A（m,2），B（-2，-1）两点，分别连接OA，OB.
（1）m,k,b；
（2）求△AOB的面积；
（3）若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标.
26.(本小题18分)
如图，正方形ABCD，点E、H分别在AB、BC上.
（1）如图1，当∠GOD=90°时.
①求证：DE=AH；
②平移图1中线段AH，使A点与D重合，H点在BC延长线上，连接EH，取EH中点P，连接PC，如图2，求证：；
（2）如图3，若点G在AD上，GH和DE相交于点O.当∠GOD=45°，边长AB=3，HG=，求DE的长.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x≠-3
12.【答案】六
13.【答案】-2
14.【答案】1
15.【答案】（3，2）或（3，-6）
16.【答案】x≤-2
17.【答案】1.5
18.【答案】2
19.【答案】x1=8，x2=-2；
x1=2，x2=4
20.【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，
∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°，
∴△BCE和△DCF是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）解：∵CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，
∴△ACE和△ACF是直角三角形，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）；
∴AE=AF，
由（1）知，Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF，
∵AD=10，BE=6，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AD+DF+BE=AD+2BE=22．
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴DF∥BE，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=6，
∵BE=4，
∴AB=AE+BE=10，
∴ ABCD的周长=2（AD+AB）=2（6+10）=32．
22.【答案】解：（1）如图所示：三角形A′B′C′即为所求；
A′（1，0）、B′（4，-1）、C′（3，-3）；
（2）三角形ABC的面积为：3×3-×1×3-1×2-2×3=3.5．
23.【答案】30，0.3；
补全频数分布直方图如图所示．
840名
24.【答案】15，10；
采购甲种树苗30棵、乙种树苗90棵，1350元．
25.【答案】m=1，k=2，b=1；
1.5；
（-3，-3）或（-1，1）或（3，3）．
26.【答案】（1）证明：①过点D作DF∥GH，交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD∥BC，
∵DF∥GH，
∴四边形DGHF是平行四边形，
∴GD=FH，HG=DF，
∴∠GOD=∠FDE=90°，
∴∠FDC+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠FDC=∠ADE，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF，
∵HG=DF，
∴DE=HG；
②在BC上截取BN=BE，如图2，
则△BEN是等腰直角三角形，EN=BE，
由（1）知，△ADE≌△CDH，
∴AE=CH，
∵BA=BC，BE=BN，
∴CN=AE=CH，
∵PE=PH，
∴PC=EN，
∴PC=BE，
即BE=PC；
（2）解：如图3，过点D作DN∥GH交BC于点N，
则四边形GHND是平行四边形，
∴DN=HG，GD=HN，
∵∠C=90°，HG=DN=，DC=AB=3，
∴CN===1，
∴BN=BC-CN=3-1=2，
作∠ADM=∠CDN，DM交BA延长线于M，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN（ASA），
∴AM=NC，DM=DN，
∵∠DOG=45°，
∴∠NDE=45°，
∴∠ADE+∠CDN=45°，
∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE，
在△NDE和△MDE中，
，
∴△NDE≌△MDE（SAS），
∴EM=EN，
∴AE+CN=EN，
设AE=x,则BE=3-x,
在Rt△BEN中，BN2+BE2=EN2，
∴22+（3-x）2=（x+1）2，
解得：x=，
∴DE===．
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