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2025-2026学年黑龙江省大庆市龙凤区靓湖学校九年级（上）期初数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是（　　）
A. a=4，b=6，c=5，d=10 B. a=1，b=2，c=3，d=4
C. a=2，b=3，c=4，d=5 D. a=2，b=，c=2，d=
2.如图1所示的某湿地公园湖面上的浮漂，它的形状是中间穿孔的球体，其俯视图如图2，那么它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，朝上的一面可能会出现：①都是正面；②一正一反；③都是反面.则两枚硬币出现一正一反结果的概率为（　　）
A. B. C. D. 1
4.已知反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A. 函数图象分别位于第二、第四象限 B. 当y=3时，x=-1
C. 在图象的每一支上，y随x的增大而减小 D. 若x＞1，则y＞3
5.某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是（　　）
A. 0.69（1+2x）=0.64 B. 0.64（1+2x）=0.69
C. 0.69（1+x）2=0.64 D. 0.64（1+x）2=0.69
6.在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒．
A. 125 B. 1250 C. 250 D. 2500
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a,b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y=bx2-ax的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
8.如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6，BC=12，则正方形MNPQ的边长为（　　）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
9.在平面直角坐标系中，直线y1=ax+b经过抛物线的顶点，其中ab≠0，下列四个结论，①6a+b=0；②当x＞-3时，y2随自变量x的增大而增大；③y1与y2的另一个交点的横坐标为-2；④当-3≤x≤-2时，y1≥y2.正确结论的个数（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE.下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG=S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2-CH2=GQ GD，正确的是（　　）
A. ①②③
B. ①③④
C. ①②④
D. ②③④
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.若函数是关于x的二次函数，则a的值为______.
12.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的所有侧面积之和为______。
13.如图，在一块边长为30cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10cm的圆形阴影区域，飞镖投向正方形游戏板的任何位置的机会均等，则飞镖落在阴影区域内的概率为______（结果保留π）．
14.若反比例函数的图象经过点A（3，-4）和点B（2，n），则n= ______.
15.在平面直角坐标系中，已知点E（-6，3），F（-2，-2），以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E'F'O'，其相似比为3：1，则点E对应点E'的坐标为______．
16.如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为 .
17.矩形的短边与长边的比等于黄金比（即，则该矩形叫黄金矩形.黄金矩形给我们以协调的美感.如图，黄金矩形ABCD的长边AB=4，则它的面积为 .
18.如图，抛物线y=x2-3kx+6k-5与x轴相交于A、B两点，当抛物线与x轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，k的值为______.
19.在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着坐标原点O顺时针旋转90°的对应点P1（m,n）落在一次函数y=-3x+1图象上，则代数式的值是______.
20.已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m的值是______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，连接AD.分别过点A，点C作AE∥BC，CE∥DA，交点为E.
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若∠B=60°，AB=6，求四边形AECD的面积.
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x与反比例函数y=（k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=-x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为，求直线BC的解析式．
23.(本小题8分)
近年来，哈尔滨冰雪大世界在网络上爆火，吸引了国内外许多游客前往游览，冰雪大世界主要景点有梦幻冰雪馆、四季游乐馆、冰雪秀场、雪花摩天轮（依次用A、B、C、D表示）等.为了了解游客更喜欢哪个景点，工作人员随机对现场的游客进行采访调查，要求只能选择一个自己最喜欢的景点.并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：
（1）本次统计共调查了______名游客，请将条形统计图补充完整；
（2）求出扇形统计图中喜欢“四季游乐馆”所对应的圆心角度数；
（3）景区工作人员准备向受访游客中的两男两女发放免费游览票2张，若要从4人中随机抽取2人发放免费游览票，请用树状图或列表法求恰好抽到1男1女的概率.
24.(本小题8分)
2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元.
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值.
25.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，延长AD到点E，连结CE，过点A作AH⊥CE，垂足为点H，AH交CD于点F，交BD于点G.
（1）求证：AF=CE；
（2）若，求的值.
26.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D，连接AD，若△ABD的面积为，求；
（3）在（2）的条件下，点F在y=2x+2图象上，点E是x轴上的一动点，是否存在以A、D、E、F为顶点的四边为平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请写出理由.
27.(本小题12分)
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-6
15.【答案】（-2，1）或（2，-1）
16.【答案】4
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】-1
20.【答案】-1.5或
21.【答案】解：（1）证明：∵AEBC，CEDA，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，
∴，
∴四边形AECD是菱形；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，则AFB=90°，如图：
B=，
∠BAF=90°-∠B=30°，
∵AB=6，
∴在RtABF中，，
根据勾股定理可得，，
在Rt△CAB中，∠BAC=90°，∠B=60°，∠ACB=90°-∠B=30°，AB=6，
BC=2AB=12，
D是BC的中点,
DC6，
=CDAF=63=18.

22.【答案】解：（1）∵直线y=-x过点A（m，1），
∴-m=1，解得m=-2，
∴A（-2，1）．
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（-2，1），
∴k=-2×1=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-；
（2）设直线BC的解析式为y=-x+b，
∵三角形ACO与三角形ABO面积相等，且△ABO的面积为，
∴△ACO的面积=OC 2=，
∴OC=，
∴b=，
∴直线BC的解析式为y=-x+．
23.【答案】400，作图见解析；
126°；
．
24.【答案】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品（400- m）个，
由题意得，40（400-m）+20m≤12000，
解得m≥200，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）由题意得，W=（a-40）[200-5（a-60）]
=（a-40）（200-5a+300）
=（a-40）（500-5a）
=500a-20000-5a2+200a
=-5（a-70）2+4500，
∵-5＜0，60≤a≤100，
∴当a-70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500．
25.【答案】证明见解答；
∴的值是
26.【答案】A（0，2），；
5；
存在以A、D、E、F为顶点的四边为平行四边形；点．理由见解答过程．
27.【答案】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），
=-2n2+9n-4，
=-2（n-）2+，
∵PC＞0，
∴当n=时，线段PC最大且为．
（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
如答图3-1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y=kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y=-x+3 ①
又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6 ②
联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P1（3，5）；
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2-8x+6=2（x-2）2-2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
如答图3-2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x=时，y=x+2=．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
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