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2025-2026学年福建省福州三中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2+x-3=0的常数项是（　　）
A. 1 B. -1 C. 3 D. -3
3.如图，将△ABC绕点A旋转后得△AEF，则下列结论中，不正确的是（　　）
A. AC=AF
B. ∠FAB=∠EAB
C. EF=BC
D. ∠EAB=∠FAC
4.下列关于平行四边形的说法正确的是（　　）
A. 平行四边形对角线相等 B. 平行四边形邻边相等
C. 平行四边形是中心对称图形 D. 平行四边形是轴对称图形
5.将抛物线y=（x-2）2-1平移，使它平移后图象的顶点为（2，4），则需将该抛物线（　　）
A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位
6.如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行的最长时间为（　　）
A. 243秒 B. 486秒 C. 18秒 D. 36秒
7.如图，在一块长30m,宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2.设道路的宽为x m,可列方程是（　　）
A. （30-x）（20-2x）=468
B. 20×30-30x-2×20x+2x2=468
C. （30-2x）（20-x）=468
D. 20×30-30x-20x=468
8.一次函数y=kx+k与二次函数y=ax2的图象如图所示，那么二次函数y=ax2-kx-k的图象可能为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接CE，则CE等于（　　）

A. 2+2 B. 2+2 C. 5 D. 6
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac-b2＞8a；④；⑤b＞c.其中含所有正确结论的选项是（　　）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在平面直角坐标系中，点A（5，1）关于原点对称的点的坐标是 .
12.“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班48名同学的视力检查数据如表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 2 3 6 9 12 8 5 3
则48名同学视力的众数是 .
13.如图，在矩形ABCD中，AC=10，E，F分别是BC，CD的中点，则EF= .
14.已知点A（-3，y1）和B（1，y2）都在抛物线y=2（x-1）2-2上，那么y1和y2的大小关系为y1 ______y2（填“＞”或“＜”或“=”）.
15.已知m、n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，那么m3+n3= .
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF长度的范围为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
（1）（2x+3）2-25=0；
（2）x2-2x-7=0.
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F.点E落在BA上，连接AF.若∠BAC=36°，求∠BAF的度数.
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0.
（1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值.
（2）如果方程有实数根，求m的取值范围.
20.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）.
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积.
21.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-（a+4）x+3经过点（2，-3）.
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）当1＜x＜5时，写出y的取值范围.
22.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，点E为BD上一点.
（1）在边BC的下方求作一点F，使得EF∥CD且EF=CD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE、BF、CF.若∠ABE+∠BFC=180°，求证：四边形ABFE是菱形.
23.(本小题10分)
某商家销售一种糕点，每盒进价为40元，在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价x（元） … 60 65 70 …
周销量y（盒） … 240 210 180 …
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
（3）若规定销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得多少利润.
24.(本小题11分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A.
（1）当m=-1时，求A的坐标；
（2）当m变化时，点A始终在抛物线C2上，C2的顶点为B，点O关于点B的对称点为E，经过点E且平行于x轴的直线为l,AM⊥l于点M.
①求证：AO=AM；
②当m=1时，若P（x0，y0）是抛物线C1上的动点，在直线x=1上是否存在定点F，使得y0-PF为定值？若存在，求出点F的坐标及该定值；若不存在，说明理由.
25.(本小题14分)
在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，将直角三角形ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），点B，C的对应点分别为点B'，C'，连接BB'，CC'，M，N分别为BB'，CC'的中点，连接AM，AN.
（1）如图1，当B'C'恰好经过点C时，求证：B'M∥AN.
（2）如图2，当BB′恰好经过点C时，试猜想B'M与AN的位置关系和数量关系，并说明理由.
（3）连接BC'，若AC=1，则线段BC'= ______.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】（-5，-1）
12.【答案】4.7
13.【答案】5
14.【答案】＞
15.【答案】14
16.【答案】0≤CF≤
17.【答案】解：（1）（2x+3）2-25=0，
（2x+3）2=25，
2x+3=±5，
所以x1=-4，x2=1；
（2）x2-2x-7=0，
x2-2x=7，
x2-2x+1=8，
（x-1）2=8，
x-1=±2，
所以x1=1+2，x2=1-2．
18.【答案】63°．
19.【答案】m=3；
m．
20.【答案】

21.【答案】直线；

22.【答案】见解析．
23.【答案】y=-6x+600；
当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元；
每周至少可获得3000元的利润
24.【答案】当m=-1时，顶点A的坐标为；
①见解析；
②直线x=1上存在点F（1，1），使得y0-PF为定值；理由见解答过程．
25.【答案】在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
∵将直角三角形ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），点B，C的对应点分别为点B'，C'，B'C'恰好经过点C，
∴∠BAB'=∠CAC'，∠AB'C'=∠ABC=30°，∠C'=∠ACB=60°，AC'=AC，AB'=AB，
∴△AC'C是等边三角形，
∴∠BAB'=∠CAC'=60°，
∵点M，N分别为 BB'，CC'的中点，
∴AM⊥BB'，∠B'AM=∠BAB'=30°，AN⊥B'C'，
∴∠AMB'=∠ANB'=90°，
∴∠NAB'=90°-∠AB'N=90°-30°=60°，
∴∠MAN=∠MAB'+∠NAB'=30°+60°=90°，
∴四边形MANB'是矩形，
∴B′M∥AN；
B′M∥AN，B′M=3AN．
理由：由旋转的性质，得AC′=AC，AB′=AB，∠CAC′=∠BAB′，∠B′AC′=∠BAC=90°．
∴∠AB′B=∠ABC=30°，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，
∵M，N分别为BB′，CC′的中点，
∴AM⊥BB′，AN⊥CC′，∠CAN=∠B′AM=∠BAM=60°．
∴∠MAC=30°，∠AMC=∠ANC=90°．
∴∠MAN=∠MAC+∠CAN=90°．
∴∠B′AN=∠MAN-∠B′AM=30°．
∴四边形ANCM是矩形．
∴B′M∥AN，AN=CM．
∵∠CAB′=∠CAN-∠B′AN=30°，
∴∠BB′A=∠CAB′．
∴B′C=AC．
在Rt△ACN中，B'C=AC==2AN．
∴B′M=CM+B′C=3AN．

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