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2025-2026学年安徽省安庆市怀宁县部分学校联考九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A. 0.3，0.4，0.5 B. 32，42，52 C. 3，4，5 D.
3.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（　　）
A. x2+4x=5 B. 2x2-4x=5 C. x2-2x=5 D. x2+2x=5
4.下列关于分式的判断正确的是（　　）
A. 当x=2时，分式的值为0
B. 当x=3时，分式无意义
C. 无论x为何值，分式的值不可能得整数
D. 无论x为何值，分式的值总为正数
5.据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元.若全国旅游收入日平均增长率为x,则可以列出方程为（　　）
A. 207.9（1+x）2-207.9（1+x）=127.96
B. 207.9（1+x）2=127.96
C. 207.9（1+x）2-207.9x=127.96
D. 207.9（1+x）2+207.9（1+x）=127.96
6.某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示.则下列结论中，正确的是（　　）
A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0
7.四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值.第一四分位数，又称”较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字，第二四分位数就是中位数.如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数.九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：165、182、136、112、145、171、155、93.这组数据中第一四分位数是（　　）
A. 102.5 B. 168 C. 124 D. 150
8.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）
A. a＝c B. a＝b C. b＝c D. a＝b＝c
9.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B=45°，BC=2，则GH的最小值为（　　）

A. B. C. 2 D. 3
10.已知，如图，在△ABC中，点P在BC边上，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，且AM=AN，PQ∥AB交AC于点Q，下列结论：①PM=PN；②∠BPM+∠CPN=∠PQC；③PQ=PB，其中正确的是（　　）
A. ①②
B. ②③
C. ①
D. ①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.在△ABC中，∠A=2∠B=80°，则∠C= ______°.
12.如图，一次函数y=-x+m与y=nx+4n的图象交点横坐标为-2，则不等式-x+m＜nx+4n的解集为______.
13.一组数据3，4，x，7，8的平均数是6，这组数据的中位数为______．
14.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC'F，连接AC'，当BE= ______时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形.

三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
计算：40+．
16.(本小题10分)
解方程：x2=3x-1.
17.(本小题10分)
如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A、B均在格点上.
（1）在图1中画出以AB为边且周长为的平行四边形ABCD，且C点和D点均在格点上（画出一个即可）；
（2）在图2中画出以AB为对角线的菱形AEBF，且点E和点F均在格点上.
18.(本小题10分)
解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
19.(本小题10分)
观察下列各等式，其中反映了某种规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：______.
（2）请你用含n（n为正整数，且n≥2）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式.
20.(本小题10分)
发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2-7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因.
涵涵的作业：
解：x2-7x+10=0.
a=1，b=-7，c=10.
∵b2-4ac=9＞0，……………①
∴x==.……………②
∴x1=5，x2=2.……………③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2.……………④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5.……………⑤
（1）涵涵的作业错误的步骤是______（填序号），错误的原因是______.
（2）探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根.
①m=2时，求△ABC的周长；
②当△ABC为等边三角形时，求m的值.
21.(本小题10分)
“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动.该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件20元、乙种奖品的单价为每件10元，共购买50件.设甲种奖品购买x件，购买两种奖品的总费用为y元.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用.
22.(本小题10分)
已知平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使得DC=CE.连接AE，BC相交于点O.
（1）当∠EAD满足什么条件时，四边形ABEC为菱形？
（2）求证：当∠AOC=2∠D时，四边形ABEC为矩形.
23.(本小题10分)
正方形ABCD，E是BC的中点，F为射线CB上一点（不与点B，C重合），连接AF并延长到点G，使得AF=FG，连接CG.过点C作CG的垂线交直线AB于点H.
（1）如图①，当点F在线段CE上时，求证：CH=CG；
（2）如图②，当点F在线段BE上时，试说明BF，CF，BH之间的数量关系；
（3）如图③当点F在CE的延长线上时，直接写出线段BF，BH，CF之间的数量关系：______.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】60
12.【答案】x＞-2
13.【答案】7
14.【答案】或
15.【答案】解：40+
=4×-3+1+-1
=2-3+1+-1
=0．
16.【答案】，．
17.【答案】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求；
（2）如图2中，正方形AEBF即为所求．

18.【答案】解：解4（x+1）≤7x+13得：x≥-3，
解＞x-4得：x＜2，
不等式组的解集为：-3≤x＜2，
在数轴上表示：

19.【答案】=5
20.【答案】⑤ 2，2，5不能构成三角形
21.【答案】解：（1）∵总费用=甲种奖品的费用+乙种奖品的费用，
∴y=20x+10（50-x）
=10x+500．
（2）由题意，得50-x≤3x,
解得，
由（1），得y=10x+500，
∵k=10＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x为整数，
∴当x=13时，y最少=13×10+500=630，
乙：50-13=37（件），
答：甲种奖品购买13件，乙种奖品购买37件时，费用最少，最少为630元．
22.【答案】（1）解：当∠EAD=90°时，四边形ABEC为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
∵DC=CE，
∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠EOC=∠EAD=90°，
∴AE⊥BC，
∴平行四边形ABEC为菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE=∠D，
由（1）可知，四边形ABEC是平行四边形，
∴OA=OE，OB=OC，
∵∠AOC=∠OEC+∠BCE，∠AOC=2∠D，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OC=OE，
∴AE=BC，
∴平行四边形ABEC是矩形．
23.【答案】证明详见解答；
CF=BH+BF；
BH=CF+BF．
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