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2024-2025学年甘肃省张掖市山丹县大马营中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若x=α是一元二次方程x2-x-2024=0的一个根，则α2-α的值是（　　）
A. 2023 B. 2025 C. 2026 D. 2024
2.反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1，-3），则k的值为（　　）
A. -3 B. 3 C. D. -
3.如图，下列说法正确的是（　　）
A. 图①与图②的主视图形状相同
B. 图①与图②的左视图形状相同
C. 图①与图②的俯视图形状相同
D. 图①与图②各自的三视图形状都相同
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，，那么边AC的长是（　　）
A.
B. 1
C. 2
D.
5.如图，在平面直角坐标系中，已知△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（-3，1），B（-1，4）.以原点O为位似中心，将△OAB缩小得到△OA1B1（点A，B的对应点分别为点A1，B1），使得△OAB与△OA1B1的相似比为2：1，且点A1，B1在第四象限，则点A1的坐标是（　　）
A. （-3，1） B. C. （3，-1） D.
6.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC=24°，则∠A'BE等于（　　）
A. 24°
B. 57°
C. 33°
D. 66°
7.如图，AC为 ABCD的对角线，点E为AB的中点，点F在AD上，连接EF交AC于点G，过点E作EH∥AD交AC于点H，若△AFG与△HEG的面积比为4：9，则AF：BC等于（　　）
A. 1：3
B. 2：3
C. 1：4
D. 2：5
8.点A（m-1，y1），B（m,y2）都在抛物线y=（x-1）2+n上.若y1＜y2，则m的取值范围为（　　）
A. m＞2 B. C. m＜1 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.二次函数y=-x2+5的图象的顶点坐标为 .
10.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除了颜色外其他都相同，小红从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回布袋中，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，估计布袋中黄球的个数为 个.
11.如图，路灯的高度AB为4.8m,身高为1.6m的小明（用DE表示）站在D处时，他在路灯下的影长CD为2m,已知点B，C，D在一条直线上，点C，E，A在一条直线上，AB⊥BC，DE⊥BC，此时小明与电线杆的距离BD为 m.
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA和OC分别在y轴和x轴上，反比例函数的图象与矩形OABC的对角线OB交于点D，且OD=OB，若矩形OABC的面积为18，则k的值为 .
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC=60°，则OC的最大值是 .

三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：.
15.(本小题5分)
解方程：4（x-3）=x2-9.
16.(本小题5分)
已知反比例函数（k为常数，且k≠0）与一次函数y=2x-1的图象都过A（m,3）.求反比例函数的表达式.
17.(本小题5分)
如图，AC为四边形ABCD的对角线，且AB∥CD，用尺规作图法在AC上找一点E，使得△ABE∽△CDA.（保留作图痕迹，不写作法）
18.(本小题5分)
已知二次函数y=x2+2mx-3（m为常数）.
（1）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数；
（2）若点A（1，4）在二次函数的图象上，求二次函数的表达式.
19.(本小题5分)
某小商品批发市场的某件商品在今年9月份一共销售了3万件，销售量逐月增加，11月份一共销售了3.63万件，已知该商品月销售量的月平均增长率相同.求9月份到11月份该商品月销售量的月平均增长率.
20.(本小题5分)
将矩形ABCD和矩形BEFG按如图所示的方式交叉叠放在一起，BG交AD于点M，BC交EF于点N，点D在EF上，AB=BE，求证：四边形BNDM是菱形.
21.(本小题6分)
郑明老师口袋里装有九年级一班到四班的门锁的钥匙，这4把钥匙的外观相同，且一把钥匙只能开一个锁，将这四个班的这4把钥匙按顺序记作A1，A2，A3，A4.
（1）郑明老师从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开一班门锁的概率是______；
（2）郑明老师从口袋中随机摸出两把钥匙，请用画树状图或列表的方法求出郑明老师摸出的两把钥匙都不能打开二班门锁的概率.
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，点D在BC上，点E在AB上，过点E作EF⊥AB交AC边于点F，连接ED并延长交AC的延长线于点G，∠BED=∠AFE，且，求AC的长.
23.(本小题7分)
小洁和小芳利用课余时间完成了测量某塔AB的高度的实践活动.某一时刻，塔AB在阳光下的影子为AE，同一时刻，小洁来回调整自己的位置，刚好移动到C处时，小洁影子的顶端与塔AB影子的顶端重合于点E，此时测得小洁的影子CE=1米；然后小洁沿AC方向移动11米到达点F处（即CF=11米），小洁和小芳在点F处竖直立了一个高为1米的测倾器GF，测得塔顶部B的仰角为37°.已知小洁的身高CD为1.6米，点B，D，E在一条直线上，点A，C，E，F在一条直线上，AB⊥AF，CD⊥AF，GF⊥AF，图中所有的点都在同一平面内，请根据上述数据计算塔AB的高度.（参考数据：，
24.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，连接AE，AF，将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，EQ.
（1）求证：△AQB≌△AFD；
（2）若BE=4，DF=6，求QE的长.
25.(本小题8分)
为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为8m,拱门顶端最高处的高度为3m,小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.
（1）求拱门所在抛物线的函数表达式；
（2）为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为1.5m的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离.
26.(本小题10分)
【问题情境】已知矩形ABCD和矩形AEFG，点E在BC边上，矩形AEFG在BC边的上方，且，连接CF.
【特例发现】（1）如图1，当k=1时，那么的值为______；（提示：在AB边上取一点M，使得BM=BE，连接EM）
【拓展延伸】（2）如图2，当时，连接DG，DF.
①求证：△ABE∽△ADG；
②若，且DG=8，求DF的长.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】（0，5）
10.【答案】3
11.【答案】4
12.【答案】-8
13.【答案】+1
14.【答案】．
15.【答案】x1=3，x2=1．
16.【答案】．
17.【答案】
18.【答案】二次函数的图象与x轴有2个公共点；
y=x2+6x-3
19.【答案】10%．
20.【答案】∵四边形ABCD和四边形BEFG都是矩形，AB=BE，
∴AB=CD=BE，∠E=∠C=90°，DM∥BN，BM∥DN，
∴四边形BNDM是平行四边形．
在△BEN和△DCN中，
，
∴△BEN≌△DCN（AAS）．
∴BN=DN．
∴四边形BNDM是菱形．
21.【答案】；

22.【答案】4．
23.【答案】16米．
24.【答案】∵将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ=AF，∠QAF=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠QAF=∠BAD，
∴∠QAB=∠FAD=90°-∠BAF，
∴△AQB≌△AFD（SAS）；

25.【答案】或；

26.【答案】；
①∵∠BAE+∠EAD=90°，∠DAG+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，
∴AD=BC，AG=EF，
∵，
∴，
∴△ABE∽△ADG；②5
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