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2024-2025学年江西省上饶市部分学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若b=4a,则=（　　）
A. B. C. D.
2.下面说法正确的是（　　）
A. 5条直线最多能产生15个交点
B. 菱形的面积等于对角线的乘积
C. a3-b3=（a+b）（a2-ab+b2）
D. 若a,c均为正整数，a+c=6，则ac最大值为9
3.小姜，小徐，小林正在玩射击游戏，小姜同学四次成绩分别为9.5环、9.7环、10.5环、10.3环；小徐同学的四次成绩分别为9.6环、9.7环、10.7环、10.0环；小林同学四次成绩分别为9.8环、9.5环、10.6环、10.1环，则他们成绩较为稳定的是（　　）
A. 小姜同学 B. 小徐同学 C. 小林同学 D. 一样稳定
4.三角形的三条边分别为a,b,c且满足a4-3a2+b4-3b2+2a2b2-4=0，c=2，则三角形ABC的形状为（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
5.如图，在Rt△ABC中，M为AB上一点，且∠BCM=∠BAC，过C作CE⊥AC，且满足CE=CM.若BM=1，AE=6，则AM=（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6.在平面直角坐标系内，，B（-2，0），C（2，0），O1为△ABC的内心，On+1为△OnBnCn的内心（n=1，2，3，4，5，…），且OnCn∥AC，OnBn∥AB则OnCn解析式为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知数据1，2，4，4，6，x的平均数为4，则这组数据的方差为 .
8.若一次函数y=（m2-1）x+5-m不经过第二象限，则m的取值范围为______.
9.若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为 .
10.在平面直角坐标系内，直线AB的解析式为且交y轴于点M，直线CD上任意一点到直线AB距离均为2且交y轴于点N，一次函数分别交直线AB，CD于点E、F，则四边形MNEF的面积为 .
11.如图，在等边三角形ABC中，E为AB反向延长线上一点且AE=1，F为线段BC上一点且CF=2，∠AFB=2∠E，则F到直线AB和直线AC距离之和为 .
12.如图，在平行四边形ABCD内，∠C=60°，AB=3，BC=1，P为线段CD上一点，若△ABP为等腰三角形，则CP= ______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算或化简：
（1）.
（2）.
14.(本小题6分)
若y=|2x-1|+|x-2|.
（1）画出该函数的图象.
（2）若正比例函数y=kx与该函数图象存在交点，求k的取值范围.
15.(本小题6分)
如图，四边形ABCH和四边形CDEF均为正方形，B、C、D在同一条直线上，F在CH上，连接EB，将EB绕点E顺时针旋转90°得到EB′，K为AC中点，AB=4.
（1）若F为CH中点，求证：B′H=2CD.
（2）在（1）条件下，N为B′H中点，过E作EM⊥BB′，垂足为M，连接MN，MK，NK，求△MNK的周长.
16.(本小题6分)
在平面直角坐标系内，O为坐标原点，一次函数y=x+2与x轴，y轴交点分别为A，B，C（0，-4），D（4，0），M为AB中点，E为OD中点，按要求完成下列作图（无尺规作图）.
（1）以AB为边作一个正方形.
（2）在y轴正半轴作一点H使得DC=DH.
17.(本小题6分)
设p,q为两个正整数，若p,q最大公约数为1，则p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为T（n），例如T（5）不超过5且与5互素的正整数个数，易知T（5）=4.
（1）求T（15）+T（21）.
（2）①判断T（m）×T（n）=T（mn）是否一定成立（m,n均为正整数）.
②设p为素数，k为正整数，使用p,k表示.
18.(本小题8分)
在平面直角坐标系内，一次函数y1=x+2与x轴，y轴交点分别为A、B，一次函数y2=（2+k）x-k,x轴，y轴交点分别为C、D，且两一次函数的交点为M，四边形EFGH为正方形，E（4，0），F（5，0），G（5，1），H（4，1）.
（1）求一次函数y2=（2+k）x-k经过的定点N，并求当k=2时，三角形AMN的面积.
（2）当k为负数时，若一次函数y2=（k+2）x-k与正方形EFGH恒有交点，求△COD面积的取值范围（O为坐标原点）.
19.(本小题8分)
经过长达两年的学习，我们在初中阶段已经学过很多数学公式了，如下为一些常用的公式，现让我们进行复习和应用并完成下列题目.
①am×an=am+n
②（am）n=amn
③（a+b）2=a2+2ab+b2
④（a+b）（a-b）=a2-b2
⑤
（1）求.
（2）3k×9k×27k×3=18，试化简.
（3）从公式③、④中挑选一个并采用数形结合法证明.
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，连接BD，O为BD中点，在BC延长线上取一点E使得CE=BD，且∠AEC=15°，在BC反向延长线上取一点F使得∠AFB=30°，连接DF，过点C作CH⊥DF.
（1）判断四边形ADBF的形状，并说明理由.
（2）若AB=2，求CH的长.
21.(本小题9分)
如图，赣南脐橙是赣州的一大特色，它被称为“橙中之王”，还荣获“中华名果”称号.现有一脐橙开发商，他从果园购进一斤小脐橙需要2元，一斤大脐橙需3元，现他将大脐橙、小脐橙分别以m元，n元售出，设一天的盈利额为y元，且一天能卖出x斤大脐橙，能卖出（2x+1）斤小脐橙.若购买3斤大脐橙和4斤小脐橙需要34元，购买2斤大脐橙和5斤小脐橙需要32元.
（1）求m,n的值.
（2）求y与x的函数表达式，并求出当x=20时当天的盈利额.
（3）该开发商为博得顾客眼球，推出了如下的活动：他选出1个大棕橙子，2个大黄橙子，3个小黄橙子放入盒子中，让顾客随机摸取两个（不放回），摸到大棕橙子6折，摸到一个大黄橙子8折，一个小黄橙子免1元（至少购买5斤脐橙才能参与活动）.
①若一名顾客买了5斤大脐橙，3斤小脐橙，若他参与该活动，用树状图法求该顾客支付32.6元的概率（考生A作答）.
②若一名顾客购买了6斤脐橙（小脐橙购买斤数多于大脐橙且数量为整数），若该名顾客参与活动，请直接写出所有他可能支付的钱数（考生B作答）.
22.(本小题9分)
在平面直角坐标系内，A，B（0，2），C，E（0，1），H，直线CF⊥BC，（F在A点下方）Q为EH中点，M为线段AB上动点，N为射线CF上动点.
（1）求直线AQ的解析式.
（2）求ME+MN最小值，并求当ME+MN最小时，直线MN与直线AQ的交点坐标.
23.(本小题12分)
如图，四边形ABCD中，已知∠BAC=∠BDC=90°，且AB=AC.
（1）记△ABD的面积为s1，△ACD的面积为s2，若，求K的值.
（2）过点B作BC的垂线，过点A作BC的平行线，且两直线相交于点M，延长BD至P，使得DP=CD，连接MP，当MP取得最大值时，求∠ABD.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】
8.【答案】m≥5
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2或
13.【答案】；
-9 a-6b
14.【答案】当时，y=1-2x+2-x=-3x+3，
当时，y=2x-1+2-x=x+1，
当x≥2时，y=2x-1+x-2=3x-3，
∴可画图象为：；
k＜-3或
15.【答案】∵四边形ABCH和四边形CDEF均为正方形，B、C、D在同一条直线上，AB=4，
∴BC=CH=AB=4，∠BCH=90°，EF=CF=CD=DE，∠BDE=∠CFE=90°=∠B′FE，
∵EB绕点E顺时针旋转90°得到EB′，
∴EB′=EB，∠BEB′=90°，
在Rt△B′FE和Rt△BDE中，
，
∴Rt△B′FE≌Rt△BDE（HL），
∴B′F=BD，
∵F为CH中点，
∴CH=2HF=2CF=2CD，
∵B′F=B′H+HF=B′H+CF=B′H+CD，
BD=BC+CD=CH+CD=2CF+CD=2CD+CD=3CD，
∴B′H+CD=3CD，
∴B′H=2CD；

16.【答案】；
在y轴正半轴上取点（0，4），连接DH，
∵C（0，-4），
∴OC=OH=4，
∴OD是CH的垂直平分线，
∴DH=DC，
∴点H即为所求
17.【答案】20；
①不一定，②pk-pk-1
18.【答案】；

19.【答案】；
；
对于公式③，
如图，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果相等，从而验证了完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2，
，
对于公式④
如图，从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），则图1中阴影部分的面积为a2-b2，图2中阴影部分的面积为（a+b）（a-b），则得到（a+b）（a-b）=a2-b2，
20.【答案】平行四边形，理由见解析；
．
21.【答案】；
y=7x+2，142元；
①；
②他可能支付的钱数为13.44，15.8，17.92，21.4，26，12.48，14.6，16.64，19.8，24
22.【答案】；
ME+MN最小值为，直线MN与直线AQ的交点坐标为
23.【答案】；
22.5°
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