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2024-2025学年山西省晋中市左权县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A. 0.1，0.1，0.2 B. 2，3，4 C. 13，5，12 D. 32，42，52
3.春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸；而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.如图，在平面直角坐标系中，A，B两处灯笼的位置关于y轴对称，若点A的坐标为（-1，2），则点B的坐标为（　　）
A. （1，-2）
B. （-1，2）
C. （-1，-2）
D. （1，2）
4.2024年左权县11月25日至12月1日的最高气温（℃）如下表：
日期 25日 26日 27日 28日 29日 30日 1日
最高气温/℃ 0 -3 1 3 8 8 10
则这7天最高气温的众数、中位数分别是（　　）
A. 3℃，3℃ B. 8℃，3℃ C. 8℃，1℃ D. 3℃，8℃
5.如果x，y满足方程组，那么x-2y的值是（　　）
A. -4 B. 2 C. 6 D. 8
6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点.若∠2=25°，∠3=60°，则∠1的度数为（　　）
A. 125° B. 130° C. 135° D. 145°
7.在同一平面直角坐标系中，直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P（3，n），则关于x,y的方程组的解为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m.如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2m,那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　）
A.
B. 1m
C. 2m
D.
9.将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b,则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　）
A. 经过第一、二、四象限
B. 若A（x1，y1），B（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
C. y随x的增大而减小
D. 与x轴的交点坐标为（-1，0）
10.阅读下面的数学问题：
如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点P，AQ平分∠CAE，CQ平分∠ACD.
甲、乙两人经过研究，分别得到如下结论：
甲：∠APC+∠ABC=180°；
乙：.
其中判断正确的是（　　）
A. 甲、乙两人的结论都正确 B. 甲、乙两人的结论都错误
C. 甲的结论错误，乙的结论正确 D. 甲的结论正确，乙的结论错误
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.的立方根是 ．
12.若点P（m-3，m+2）在x轴上，则点P的坐标为______.
13.2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行，俱乐部准备从四名短道速滑运动员中选一名运动员参加，他们最近几次训练成绩如下表：
甲 乙 丙 丁
平均时间（s） 51.2 50.2 50.1 50.1
方差 0.8 1.3 0.8 1.3
则应派出的队员是 .
14.游泳池完成换水需要经过“排水一清洗一注水”三个过程.如图，图中折线表示的是该游泳池在换水过程中池中的水量y（m3）与时间t（min）之间的关系，则该游泳池排水所用的时间为 min.
15.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC：BC=4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形，…，按此规律，如果图①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
（1）计算：；
（2）计算；
（3）解方程组
17.(本小题6分)
如图，有如下三个论断：
①AB∥CD；②∠1=∠2；③BE∥CF，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明.
18.(本小题6分)
中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州，“忻州——中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业、广交流、共发展”的新道路.某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台.已知A，B两种型号播种机的单价分别为1600元，1480元，求：购进A，B两种型号的播种机各多少台？
19.(本小题7分)
为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛.各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀.
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图.
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a= ______，b= ______，c= ______；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好.小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）.
20.(本小题10分)
我们把一只手掌的大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的指距d（cm）和身高h（cm）成某种关系.数学综合与实践小组从函数角度对指距d（cm）与身高h（cm）的关系进行了如下探究：
【观察测量】数学综合与实践小组通过观察测量，得到下表：
指距d（cm） 19 20 21 22 23
身高h（cm） 151 160 169 178 187
【探究发现】
（1）小组建立了如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距d（cm），纵轴表示身高h（cm），描出以表格中所有数据为坐标的各点；
（2）观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是______（填写函数类型），该函数的表达式为______；
【结论应用】
（3）应用上述发现的规律推测：李老师的身高为173.5cm,则他的指距约为______cm.
21.(本小题8分)
某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告.
研究课题 空地绿化的合理预算
研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题
测量工具 测角仪、卷尺
研究方式 走访调研、实地勘察测量
研究方案及测量数据 测量示意图：
相关数据及说明：①在四边形ABCD中，∠ABC=90°；
②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示；
③测量示意图中1cm代表实际距离10m；
④每平方米的绿化费用为60元.
计算结果 ……
请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用.
22.(本小题13分)
如图，直线l1：y=kx+1与x轴交于点D，直线l2：y=-x+b与x轴交于点A，且经过定点B（-1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）求k、b和m的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题13分)
综合与实践
【问题情境】数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系.如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，P是线段DB上的一点，过点P作AB的垂线，垂足为E.
【特例分析】
（1）若∠BAC=50°，求∠ADC与∠DPE的度数；
【类比探究】
（2）善思小组在（1）的基础上，改变∠B的大小，经过探究，他们发现∠ADC与∠DPE之间存在特定的等量关系.请你猜想∠ADC与∠DPE之间的数量关系，并证明；
【拓展探究】
（3）如图②，敏学小组画出了点P，E分别在线段DB，AB延长线上时的情形，其余条件不变，画出∠DPE 的平分线，交AD的延长线于点F.请在图②中补全图形，写出∠AFP的度数，并说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】-
12.【答案】（-5，0）
13.【答案】丙
14.【答案】75
15.【答案】300
16.【答案】；
；

17.【答案】解：可以选①② ③．
即：若AB∥CD，∠1=∠2，则BE∥CF．
理由：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥FC．
18.【答案】购进A种型号的播种机10台，B种型号的播种机20台．
19.【答案】解：（1）a==7.5（分），
乙组出现次数最多的为7，b=7（分），
c=×100%=25%，
故答案为：7.5；7；25%．
（2）小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：①甲组成绩的优秀率为37.5%，高于乙组成绩的优秀率25%，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
20.【答案】
一次函数，h=9d-20；
21.5
21.【答案】解：连接AC，
∵AB=6cm,BC=8cm,∠ABC=90°，
∴AC==10（cm），
又∵AC=10cm,CD=24cm,AD=26cm,
∴AC2+CD2=AD2．
∴AC⊥CD，
∵图中1cm代表实际距离10m,
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=60×80+100×240=2400+12000=14400（m2），
∴绿化这块空地所需的费用为：14400×60=864000（元）．
22.【答案】解：（1）∵直线l2：y=-x+b与x轴交于点A，且经过定点B（-1，5），
∴5=1+b，
∴b=4，
∴直线l2：y=-x+4，
∵直线l2：y=-x+4经过点C（2，m），
∴m=-2+4=2，
∴C（2，2），
把C（2，2）代入y=kx+1，得到k=．
∴k=，b=4，m=2；
（2）对于直线l1：y=x+1，令y=0，得到x=-2，
∴D（-2，0），
∴OD=2，
对于直线l2：y=-x+4，令y=0，得到x=4，
∴A（4，0），
∴OA=4，AD=6，
∵C（2，2），
∴S△ADC=×6×2=6；
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．
∵B（-1，5），C（2，2）关于x轴的对称点是（2，-2），
则设经过（2，-2）和B（-1，5）的函数解析式是y=mx+n，
则，
解得：，
则直线的解析式是y=-x+．
令y=0，则-x+=0，解得：x=．
则E的坐标是（，0）．
∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E（，0）．
23.【答案】65°，130°；
∠ DPE=2∠ADC，
由 可知，∠DPE=90°+∠B，
．
∴∠DPE=2∠ADC．；
如图③，设PF交AE于点J，
∵PE⊥AE，∠C=90°，
∴∠ACD=∠E=90°．
∵∠ABC=∠PBE，
∴∠CAB=∠BPE．
∵AD、PF分别平分∠CAB，∠BPE，
∴，．
∴∠FAJ=∠EPJ．
∵∠AJF=∠PJE，
∴∠AFP=180°-∠FAJ-∠AJF=180°-∠EPJ-∠PJE=∠E=90°
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