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2024-2025 学年宁夏育才中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某书架的第一层放有 7 本不同的历史书，第二层放有 6 本不同的地理书.从这些书中任取 1 本历史书和 1
本地理书，不同的取法有( )
A. 13 种 B. 42 种 C. 67种 D. 76种
2.已知函数 ( ) = 2 1，若 ′( 0) = 2，则 0 =( )
A. 1 B. 32 C. 3 D. 2
3.已知C 2 2 412 = C12 ，则 的值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 或 6
4.下列函数求导正确的是( )
A. cos ′ = sin B. ln2 ′ = 12 C.
4 ′ = 3 D. 2 ′ = 2 ln2
5.现某酒店要从 3 名男厨师和 2 名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有 1 名女厨师被选
中的不同选法有( )
A. 14 种 B. 18 种 C. 12 种 D. 7 种
6.已知函数 = ′( )的图象如图所示(其中 ′( )是函数 ( )的导函数)，则下面四个图象中， = ( )的
图象大致是( )
A. B. C. D.
7 ln2 1 2ln3.已知 = 2 ， = e (e = 2.718. . .为自然对数的底数)， = 9 ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在 ， 两个箱子中． 箱中有 4 道代数题和 2 道几何
题， 箱中有 3 道代数题和 3 道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次
抽取 2 道题(不放回)作答．若乙同学选择 箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了 箱，接着
丙同学选择从 箱抽取题目，则丙抽取的 2 道题中至少有一道代数题的概率为( )
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A. 1114 B.
4 25 86
15 C. 28 D. 105
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 的分布列为
1 2 3
1 5
6 12
下列结论正确的是( )
A. = 5 912 B. ( ) = 4 C. ( + 2) =
17
4 D. (2 ) = 9
10.下列命题中的真命题有( )
A.一组数据 148，149，154，155，155，156，157，158，159，161 的第 75 百分位数为 158
B.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 2 个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对
立的事件
C.若 3 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的盒子，则恰有两个空盒的放法共有 12 种
D.已知 ( ) = 0.12，若 ( | ) = 0.2，则 ( ) = 0.6
11.设(2 1)7 = 0 + 1 + 2 2 + + 6 + 76 7 ，则下列结论正确的是( )
A. 2 + 5 = 588 B. 1 + 2 + + 7 = 1
7
C. 1 + 3 + 5 + =
1+3 7
7 2 D. 1 + 2 + + 7 = 3 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 ( ) = ln + 2在 = 1 处有极值，则 = ．
13.(2 + )6展开式中的第五项的系数为 ．
14.已知函数 ( ) = 2 2
( ), < 0,
， ( ) = ( 1), ≥ 0,且函数 = ( ) 恰有 3 个不同的零点，则实数
的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 1 3 23 3 + 5 + 1．
(1)求 ( )单调区间及极值；
(2)求 ( )在区间[ 1,2]上的最大值与最小值．
16.(本小题 15 分)
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新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，
箱中放有 7 折、7.5 折、8 折的奖券各 2 张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取 2 张奖
券，最终超市将在结账时按照 2 张奖券中最优惠的折扣进行结算．
(1)求一位消费者抽到的 2 张奖券的折扣相同的概率；
(2)若某位消费者购买了 300 元(折扣前)的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为 ，求 的分布列及
数学期望 ( )．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln , ∈ ．
(1)讨论 = ( )的单调性；
(2)当 > 0 1时，求证： ( ) ≤ 2．
18.(本小题 17 分)
驾驶证考试规定需依次按科目一(理论)、科目二(场内)、科目三(场外)进行，只有当上一科目考试合格才可
以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证．若某人
3 1
已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为5，科目三考试合格的概率为2，且每次考试或补
考合格与否互不影响．
(1)求丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率；
(2)若丁某不放弃所有考试机会，记 为参加考试的次数，求 的分布列与数学期望．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e ln sin ，
(1)当 = e 时，求 = ( )在 0, (0) 处的切线方程；
(2)若 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≥ 0 恒成立，求 的范围；
(3)若 ( )在 0, π π内有两个不同零点 1、 2，求证：2 < 1 + 2 < π．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.60
14.[ 1,0)
15. 1解：(1)函数 ( ) = 33 3
2 + 5 + 1 的定义域为 ，求导得 ′( ) = 2 6 + 5 = ( 5)( 1)，
当 < 1 或 > 5 时， ′( ) > 0，当 1 < < 5 时， ′( ) < 0，
因此函数 ( )在( ∞,1), (5, + ∞)上单调递增，在(1,5)上单调递减，
= 1 10当 时，函数 ( )取得极大值 (1) = 3，当 = 5 时， ( )取得极小值 (5) =
22
3，
所以函数 ( )的递增区间是( ∞,1), (5, + ∞) 10 22，递减区间是(1,5)，极大值 3，极小值 3．
(2)由(1)知，函数 ( )在[ 1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，而 ( 1) = 223 , (2) =
5
3，
因此 ( )max = (1) =
10
3， ( )min = ( 1) =
22
3，
所以函数 ( )在[ 1,2] 10 22上的最大值为 3，最小值为 3．
16.解：(1)每位消费者从 7 折、7.5 折、8 折的奖券各 2 张中任意抽取 2 张奖券，有C26 = 15 种方法，
2 3 3 = 1而“抽到的 张奖券的折扣相同”的情况有 种，故其概率为：15 5；
(2)依题意，消费金额 的可能的值有：210，225 和 240 共三个．
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( = 210) = C
2
2+C
1 1 1 1
2C2+C2C2 = 9 32 = ，C6 15 5
2 1 1
( = 225) = C2+C2C2 5 1
C2
=
6 15
= 3，
2
( = 240) = C2 = 1．
C26 15
则 的分布列为：

210 225 240
3 1 1
5 3 15
故数学期望 ( ) = 210 × 3 1 15 + 225 × 3 + 240 × 15 = 217．
17.解：(1)函数 ( ) = ln 中， > 0，求导得 ′( ) = 1 ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0, ( )在(0, + ∞)上单调递增；
1 1
当 > 0 时， ∈ (0, )时， ′ ( ) > 0, ∈ ( , + ∞)时，
′( ) < 0，
1 1
函数 ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
所以当 ≤ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
1 1
当 > 0 时，函数 ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减．
(2) 1 1证明：由(1)知，当 > 0 时， ( )max = ( ) = ln 1，
设 ( ) = ln + 1, > 0，求导得 ′( ) = 1 1，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0；当 > 1 时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减， ( ) ≤ (1) = 0，
因此 ln + 1 ≤ 0 ln ≤ 1 ln 1 ≤ 2 1 1，则 ln 1 ≤ 2，
1
所以 ( ) ≤ 2．
18.解：(1)设丁某参加科目二考试合格和补考为事件 1、 2，参加科目三考试合格和补考合格为事件 1、 2，
事件 1、 2、 1、 2，互为独立
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设事件 =“丁某不需要补考就可获得驾驶证”，
则 ( ) = 1 1 =
3 1 3
1 1 = 5 × 2 = 10，
3
所以丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率为10；
(2) 的取值可能为 2，3，4，则；
( = 2) = 3 1 21 1 + 1 2 = 5 × 2 + 5 ×
2 = 235 50；
( = 3) = 1 1 2 + 1 2 1 + 1 1 2 =
3 1 1 2 3 1 3 1 1 21
5 × 2 × 2 + 5 × 5 × 2 + 5 × 2 × 2 = 50；
( = 4) = 1 2 1 =
2 3 1 6 3
5 × 5 × 2 = 50 = 25；
所以，随机变量的分布列为

2 3 4
23 21 3
50 50 25
所以 ( ) = 2 × 23 21 3 13350+ 3 × 50 + 4 × 25 = 50．
19.解：(1)当 = e 时， ( ) = e 1 sin ，则 ′( ) = e 1 cos ，
所以， ′(0) = e 1 1， (0) = e 1．
故切线方程为 e 1 = e 1 1 ，即 = e 1 1 + e 1，
(2) e

因为 ( ) = e ln sin = sin ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
e
进而 ≥ sin
1 ≥ sin ，即 e ．
sin cos sin 2sin +
3π
令 ( ) = e ，其中 > 0，则
′( ) = 4e = e ，
当 ∈ 0, π 3π 3π4 时， 4 < + 4 < π，则
′( ) > 0，此时，函数 ( )单调递增，
∈ π , 5π π < + 3π当 4 4 时， 4 < 2π，则
′( ) < 0，此时，函数 ( )单调递减，
当 > 5π 1 π 2 1 π4 时， ( ) < 2π，因为 4 = π > 5π，因此 ( )max = ，e 4 2e4 e 44
1 2 π
所以， ≥ π，故 0 < ≤ 2e4，2e4
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π
因此，实数 的取值范围是 0, 2e4 ．
(3)因为函数 ( )在 0, π 内有两个不同零点 1、 2，
1
则方程 ( ) = 在 0, π 内有两个根 1、 2，即
1
1 = 2 = ，
由(2)知，当 ∈ 0, π 时，函数 ( )在 0, π π4 单调递增， 4 , π 单调递减．
故 0 < 1 <
π
4 < 2 < π，欲证 1 + 2 < π，即证 2 < π 1，
π2 >
由于 4π且函数 ( )
π
在 4 , π 单调递减．所以只需证明 2 > π 1 ，π 1 > 4
即证 > π ，欲证 > π sin ，即证 1 sin π 1 1 11 1 1 1 e 1 > eπ 1 ，即e 1 > eπ 1，
即证eπ 1 > e 1 < π，即证 1 2，而该式显然成立，
欲证 1 + >
π π π π π π
2 2，即证 2 > 2 1，且2 1 ∈ 4 , 2 ，即证 2 < 2 1 ，
sin π π
即证 1 <
π sin 2 1 ，即证
1
e <
2 1
π ，即证 tan 1 < e
2 1 2，
e2 1
令 ( ) = tan π，只需证 ( ) < 1，
e2 2
1 2 π 2 πe 2 2tan e 2 1 2tan
( ) = cos2 = cos2 2 π ，
2 π e2 e 2 2
令 ( ) = 1cos2 2tan =
1 sin
cos2 2 cos =
1 sin2
cos2 ≥ 0，
所以 ′( ) ≥ 0，即函数 ( ) 0, π π在 4 上单调递增，所以， ( ) < 4 = 1，故原不等式得证．
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