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人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A． B．s=2t2-2t+1
C．y=ax2+bx+c D．y=（x-1）2-x2
2．抛物线y=x2-2x-3与y轴交点的坐标是（　　）
A．（0，3） B．（3，0） C．（-1，O） D．（0，-3）
3．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-9=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的正实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
4．用配方法将二次函数y=x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式为（　　）
A．y=（x-2）2-7 B．y=（x-2）2-1 C．y=（x-2）2-3 D．y=（x-2）2-4
5．若抛物线y=kx2-2x-1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞-1 B．k≥-1 C．k＞-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
6．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=2（x-1）2-3 B．y=2（x-1）2+3
C．y=2（x+1）2-3 D．y=2（x+1）2+3
7．已知二次函数y=mx2+nx（m≠0），经过点A（c,4）．当y≥-2时，x的取值范围为x≤3t-6或x≥-2-3t,则如下四个值中有可能为c的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列4个结论：
①abc＜0，
②2a+b=0，
③4a+2b+c＜0，
④3a+c＞0．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知二次函数y=ax2+bx+b和一次函数y=ax+b,则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
10．物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②h与t之间的函数关系式为；
③小球的运动时间为6s；
④小球的高度h=20m时，t=1.5s.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，2），B（2，1），若抛物线y=ax2-2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）
A．或a≥1 B．a≥-或a＜-
C．-≤a≤1且a≠0 D．a≤-或a≥1
12．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=8时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
A．5 B．2 C．8 D．6
二．填空题（共5小题）
13．若抛物线y=（m-1）x2-2的开口向上，则m的取值范围是 ______．
14．若函数y=x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ______．
15．我们把a、b两个数的较大数记作Z{a,b}，一次函数y=-x+m与函数y=Z{x+2，x2}的图象有且只有2个交点，则m的取值或范围为______．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为边AD上的动点，连接CE，以CE为边作正方形ECGF，连接DG，EG，则△DEG面积的最大值为______．
17．如图，O为坐标原点，A，B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接AB，过点O作OC⊥AB于点C，当点A的横坐标为-1时，AB与y轴交点的坐标为 ______；在AB运动过程中，点C到y轴距离的最大值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=2x2-4ax+a2+2a+2（a为常数）．
（1）若a=1，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若a＞0，该二次函数在-1≤x≤2时有最小值2，求a的值；
（3）将二次函数y=2x2-4ax+a2+2a+2的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：y1=2（x-h）2．若2≤x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值．
19．2024年5月7日11时21分，我国成功发射长征六号丙运载火箭，在技术上取得了突破，也为我国商业航天发射市场的发展注入了新的活力．在一次火箭竖直向上发射中，它的高度h（m）与时间t（s）的关系式为h=-5t2+bt+c.经测量，发射2s时，火箭高度达到290m；发射4s时，火箭高度达到530m.
（1）求h与t的函数关系式；
（2）经过多长时间，火箭达到它的最高点？最高点的高度是多少？
（3）在火箭上升过程中，发射多长时间它离地面的高度是635m？
20．已知抛物线L：y=ax2-6ax+5（ay=0）．
（1）求抛物线L的对称轴；
（2）若点（2，m），（4，n），（5，p）均在抛物线上，m、n、p只有一个为正数．
①求a的取值范围；
②直接写出符合①条件的一个x的取值范围，使得y随x的增大而减小；
（3）若a=1，将抛物线L向左平移m个单位（m＞0），得到抛物线L1，点P为抛物线L1上一点，且P横坐标为0，过点P作PE∥x轴交抛物线L与点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE=4，求m的值．
21．已知二次函数，（b,c为常数）的图象分别记为C1、C2，C1的对称轴在C2的对称轴的右侧，且C1的顶点纵坐标比C2的顶点纵坐标小3．
（1）求b的值；
（2）当y1＜y2，且y1随x的增大而减小时，直接写出此时自变量x的取值范围；
（3）若点A（m,p）在C1上，点B（n,q）在C2上．
①当n=2m+3时，求p-q的最大值；
②当n=m+t时，无论m取何实数，始终都有p-q=3t成立，求t的值．
22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（4，0）和C（0，2），一次函数y=mx+n过点B，C．点P是直线BC上方二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）直接写出二次函数和一次函数的解析式；
（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）连接AC，连接AP交BC于点M，记△ACM面积为S1，△PCM面积为S2，在点P运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、D 4、A 5、C 6、C 7、A 8、B 9、C 10、A 11、A 12、B
二．填空题（共5小题）
13、m＞1； 14、2； 15、m＞0； 16、； 17、（0，1）；；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵a=1，
∴y=2x2-4x+5（a为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是直线x=1；
（2）∵y=2x2-4ax+a2+2a+2=2（x-a）2-a2+2a+2，
∴二次函数的对称轴是直线x=a,
当0＜a≤2时，x=a函数有最小值．即-a2+2a+2=2，解得：a=0（舍去）或a=2；
当a＞2时，x=2函数有最小值．即8-8a+a2+2a+2=2解得：a=2（舍去）或a=4，
综上，a=2或a=4；
（3）如图，令y2=x设其图象与原抛物线C交点的横坐标为x0和x1，x0＜x1，
观察图象，随着抛物线C的向右不断平移x0和x1的值不断增大，
当2≤x≤m时，y1≤x恒成立，即x0=2时，m的最大值为x1，
∴2（2-h）2=2得h=1（舍去）或3，
∴2（x-3）2=x得x=2或，
∴m的最大值为．
19、解：（1）由题意得：，
解得：，
∴h=-5t2+150t+10；
（2）∵h=-5t2+150t+10，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线t=15，
∴当t=15时，h最大，h最大=1135，
答：经过15秒，火箭达到它的最高点，最高点的高度是1135；
（3）635=-5t2+150t+10，
t2-30t+125=0，
（t-5）（t-25）=0，
解得：t1=5，t2=25，
∵在火箭上升过程中，
∴t=5．
答：在火箭上升过程中，发射5秒它离地面的高度是635m.
20、解：（1）∵抛物线L：y=ax2-6ax+5（ay=0）．
∴对称轴为直线，
∴对称轴为直线x=3；
（2）①∵对称轴为直线x=3，
∴（2，m），（4，n）是对称点，
∴m=n,
∴m=4a-12a+5=-8a+5，
把（5，p）代入L得，
p=25a-30a+5=-5a+5，
∴m=n=-8a+5≤0，
p=-5a+5＞0，
∴；
②∵对称轴为直线x=3，
∴当x≤3时y随x的增大而减小，可以是x=2（答案不唯一）；
（3）解：若a=1，则L：y=x2-6x+5，
①如图
设L1与PE交于点Q，
∵L1的对称轴为x=3-m,
∴PQ=2（3-m），PE=2（3-m）+m=6-m,
∵6-m=4，
∴m=2；
②如图
PE=m=4，
∴m=4；
综上所述，m=2或4．
21、解：（1）二次函数y1其对称轴为直线，图象顶点的纵坐标为，
对于二次函数y2其对称轴为直线x=1其图象顶点的纵坐标为y2顶=c-1，
∵C1的顶点纵坐标比C2的顶点纵坐标小3，
∴，解得b1=4，b2=-4，
又∵C1的对称轴在C2的对称轴的右侧，
∴，
∴b＞2，
∴b=4；
（2）由（1）得b=4，
∴，
∵y1＜y2，
∴x2-4x+c＜x2-2x+c,
∴x＞0，
∵y1随x的增大而减小，
∴x≤2，
∴自变量x的取值范围为0＜x≤2；
（3）①∵点A（m,p）在C1上，
∴p=m2-4m+c,
∵点B（n,q）在C2上，
∴q=n2-2n+c,
∴p-q=（m2-4m+c）-（n2-2n+c）=m2-4m-n2+2n,
把n=2m+3代入得p-q=m2-4m-（2m+3）2+2（2m+3）=-3m2-12m-3=-3（m+2）2+9，
∵-3＜0，
∴当m=-2时，p-q有最大值为9；
②∵p=m2-4m+c,q=n2-2n+c,p-q=m2-4m-n2+2n,
把n=m+t代入上式得，p-q=m2-4m-（m+t）2+2（m+t）=-2m-2mt-t2+2t,
由条件可知-2m-2mt-t2+2t=3t,得-2m（1+t）-t2-t=0，
∴1+t=0，且-t2-t=0，
∴t=-1．
22、解：（1）由题意得：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），
则-4a=2，则a=-，
则抛物线的表达式为：y=-x2+x+2；
设直线BC的表达式为：y=mx+2，
将点B的坐标代入上式得：0=4m+2，则m=-，
则一次函数的表达式为：y=-x+2；
（2）设点P（x,-x2+x+2），则点E（x,-x+2），
∵△CEP是以PE为底边的等腰三角形，则点C在PE的中垂线上，
即2=（-x2+x+-x+2），解得：x=2，
即点P（2，3）；
（3）存在，理由：
设点P（x,-x2+x+2），则点E（x,-x+2），
则PE=-x2+2x,
作AN∥y轴交CB于点N，
则△ANM∽△PEM，则PM：AM=PE：AN，
当x=-1时，y=-x+2=，
∵S2：S1=PM：AM=PE：AN=（-x2+2x）=-（x-2）2+≤，
故S2：S1的最大值为．

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