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2025-2026学年广西南宁市第八中学高二上学期开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量 = (4, 1)与 = (2, )共线，则 =( )
A. 1 B. 12 C.
1
2 D. 1
2 2+i.已知复数 = 1 i，其中 i 为虚数单位，则复数 的虚部为( )
A. 32 i B.
3 i C. 32 2 D.
3
2
3.高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在[50,100]内，估计所有参赛同学成绩的
第 75 百分位数为( )
A. 65 B. 75 C. 85 D. 95
4.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 4 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为( )
A. 2 3 B. 13 C. 15 D. 2 15
5.已知 = ( 1,0,1)为直线 的一个方向向量，点 (1,2, 1)， (2, 1,2)，则点 到直线 的距离为( )．
A. 4 B. 17 C. 3 2 D. 19
6.若直线 1:: ( 2) + + 1 = 0 与直线 2: 2 ( + 1) 2 = 0 互相平行，则实数 的值为( )
A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 或 1
7.已知直线 + 1 = 0 恒过点 ，则过点 并与直线 2 + 4 = 0 垂直的直线方程为( )
A. 2 + 3 = 0 B. 2 + + 1 = 0 C. 2 + 1 = 0 D. 2 + 3 = 0
8.已知 2 + 3 = 0，则( 2)2 + 2的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 : + 2 = 0，则( )
A. π的倾斜角为4 B. 在 轴上的截距为 2
C.原点到 的距离为 1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为 2
10.一个盒子中装有 5 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出 3 支，
则与事件“取出 1 支一等品和 2 支二等品”互斥的事件有( )
A.取出的 3 支笔中，至少 2 支一等品 B.取出的 3 支笔中，至多 1 支二等品
C.取出的 3 支笔中，既有一等品也有二等品 D.取出的 3 支笔中，没有二等品
11.已知向量 = (2, 1, 4)， = (4,2,0)， = ( 1,2, 1)，则下列说法正确的是( )．
A. = 2 3 B. ⊥
C. 是平面 的一个法向量 D. ⊥
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.过点 ( 2,1)且倾斜角为90 的直线方程为 ．
13.已知复数 = 2 + ，且 (1 + 2 )为纯虚数，则实数 = ．
14 1.小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为6，甲和乙两本书都买的概
1
率为2，则小王买乙书的概率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 的三个顶点是 (4,0)， (2,4)， (0,3)．
(1)求边 上的中线所在直线的一般式方程；
(2)过点 做直线 的垂线 ，求垂足 的坐标．
16.(本小题 15 分)
已知空间中三点 ( 1,1,1)， (0,2,1)， ( 2,1,3)．
(1)设 = 2 2，且 ，求 的坐标；
(2)求 的面积．
17.(本小题 15 分)
1
从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为2，
1 1
3，4．
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(1)记 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求 = 0， = 1 的概率；
(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，平面 ⊥平面 ， 是边长为 4 3的等边三角形， 为直角三角形，∠ = 90°， = 4，
(1)当 为 的中点时，求三棱锥 的体积；
(2)求二面角 的正弦值．
19.(本小题 17 分)
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 (2 cos ) = 3 sin ．
(1)求 ；
(2)若 = 2， 周长为 6，求 的面积；
(3)若 + 为锐角三角形，求 的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 2/ + 2 = 0
13.1
14.34/0.75
15.解：(1) 中点为(3,2) 3 0，由直线两点式方程2 3 = 3 0，
故边 上的中线所在直线的一般式方程为 + 3 9 = 0．
(2) 0 3 3 1 4由题意知， = 4 0 = 4，则垂线 的斜率 = = ， 3
故直线 3的方程为 = 4 ( 4)，即 3 + 4 12 = 0，
直线 4的方程为 4 = 3 ( 2)，即 4 3 + 4 = 0，
3 + 4 12 = 0 4 12
联立 和 方程， 4 3 + 4 = 0，解得垂足 5 , 5 ．
16.解：(1)由已知得 = (0,2,1) ( 1,1,1) = (1,1,0)．
因为 ，所以可设 = ，
所以 = | | = | | × 1 + 1 + 0 = 2| | = 2 2，解得 =± 2，
所以 = 2 = (2,2,0)或 = 2 = ( 2, 2,0)．
(2)由题可得 = (1,0, 2)， = (2,1, 2)，
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所以 = 12 + 0 + ( 2)2 = 5， = 22 + 12 + ( 2)2 = 3，

所以 cos , = 6 2 5

=
5×3
= 5 ，
又 , ∈ 0, π ，所以 sin , = 1 cos2 , = 55 ，
1
所以 的面积 = 2 sin
, = 12 × 5 × 3 ×
5
5 =
3
2．
17. (1) ( = 0) = 1 1 × 1 1 × 1 1 = 1 ( = 1) = 1 × 1 1 1解： 由题意可知 2 3 4 4， 2 3 × 1 4 +
(1 1 × 1 1 1 1 1 112 3 × 1 4 + 1 2 × 1 3 × 4 = 24．
(2)设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
( + = 1) = ( = 0, = 1) + ( = 1, = 0) = ( = 0) ( = 1) + ( = 1) ( = 0)
= 1 11 11 1 114 × 24 + 24 × 4 = 48，
11
所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为48．
18.解：(1)如图，连接 ， ，作 的中点 ，连接 ，
是边长为 4 3的等边三角形， 是 的中点，所以 = 6， ⊥ ，
平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
根据面面垂直的性质定理知 ⊥平面 ，所以 是三棱锥 的高，
1 1 1 1由题意知： = 2 = 2 × 3 × 2 × 4 × 4 3 × 6 = 8 3，
故三棱锥 的体积为 8 3．
(2)连接 ，在 中， ⊥ ， // ，所以 ⊥ ，
结合(1)易知 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，如图，
∴ 2 3, 0,0 ， 2 3, 4,0 ， (0,0,6)， 2 3, 0,0 ，
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∴ = 2 3, 4, 6 ， = 2 3, 0, 6 ， = 2 3, 0, 6 ，
设 1 = 1, 1, 1 ， 2 = 2, 2, 2 分别是面 、面 的法向量，
1 = 2 3 1 + 4 则 1
6 1 = 0
1
，令 = 1，则 = 3, 3,1 ，
= 2 3 1 6 1 = 0
1 1
2 = 2 3 2 + 4 2 6 2 = 0，令 = 1，则 = 3, 0,1 ，
2 = 2 3 2 6 2 = 0
2 2
所以 1 2 = 2， 1 = 13， 2 = 2，
∴ 1与 2所成的角的余弦值为 cos =
2 13 2 39
2 13 = 13 ，正弦值为 sin = 13 ，
故二面角 2 39的正弦值为 13 ．
19.解：(1)在 中，由 (2 cos ) = 3 sin 及正弦定理，得 (2 cos ) = 3 sin ，
整理得 2 = 3sin + cos = 2sin( + π ) π6 ，即 sin( + 6 ) = 1，
π π 7π π π
而 0 < < π，即6 < + 6 < 6 ，于是 + 6 = 2，
π
所以 = 3．
(2)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，得 4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
由 周长为 6，得 + = 4，解得 = 4，
1
所以 的面积2 × sin =
1 π
2 × 4sin 3 = 3．
(3) π π π π π π π在锐角 中，由 = 3，得6 < < 2，12 < 2 < 4，则 tan 12 < tan 2 < tan 4 = 1，
tanπ tanπ
tan π12 = tan(
π π ) = 3 4 3 1 13 4 = 2 3 1 < < 2 + 31+tanπtanπ = 1+ 3 ，则 2 3 < tan < 1， ，3 4 2 tan 2
π 3 π
+ sin +sin sin
由正弦定理得 = = 3
+sin 2 +sin(3+ )
sin sin = sin
3
2 +
3
2 cos +
1
2sin
3
2 (1+ cos )
3
1 (1+ 2cos2

= 2 2
1) 1
sin = sin + 2 = +2sin cos 22 2
3cos 3
= 2 2 + 1 2 =
2 + 1 2 ∈ (
3+ 12 2 , 3 + 2)，sin2 tan2
+ 3 1
所以 的范围是( 2 + 2 , 3 + 2)．
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