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2024-2025 学年广东省普宁市兴文中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = { ∣0 < ≤ 3}, = ∈ ≥ e.已知集合 4 ，则 ∩ =( )
A. 2,3 B. 1,2,3 C. 0,1,2 D. 1,2
2. ≠ 是 sin ≠ sin 的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
3.已知复数 满足 2 i i = 2( 为虚数单位)，则 的虚部为( )
A. 4 4 4 45 B. 5 C. 5 i D. 5 i
→ → → → →
4.已知向量 = (1,2), = (3,1)，向量 满足 ⊥ ， // + ，则 =( )
A. ( 2, 1) B. (2, 1) C. ( 2,1) D. (2,1)
5.在 中，若 sin = 3 cos ，且 sin = 2sin cos ，那么 一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
6.向量 = 2,2 3 在向量 = 3, 1 上的投影向量是( )
A. 3, 3 B. 3, 3 C. 3, 3 D. 3, 3
7.在正三棱锥 中，顶点 在底面 的射影为点 , = = 1，则 =( )
A. 2 B. 3 2 2 62 2 C. 3 D. 3
8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切
球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发
现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为( )
A. 1 3 42 B. 2 C. 2 D. 3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 0 =
1+ 32 2 i，其中 i 是虚数单位，下列判断中正确的是( )
A. 0 0 =
1
2
B. 0在复平面内对应的点在第一象限
C. 0是方程 2 + 1 = 0 的一个根
D.若复数 满足 0 = 1，则| |最大值为 2
10.设 ， ， 为三个平面， ， ， 为三条直线，则下列说法不正确的是( )
A.若 ， ，则
B.若 上有两点到 的距离相等，则
C. ， ， 两两相交于三条直线 ， ， ，若 ，则
D.若 ， ， ， ，则
11.已知 0 < < < π 4，且 cos = 5，sin( ) = 1，则( )
A. sin2 = 24 425 B. sin = 5 C. cos =
4
5 D. cos( + ) =
24
25
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形 的直观图是一个边长为 1 的正方形，则原图形
的面积为 ．
13.科学家研究发现，地震时释放出的能量 (单位：焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 ( ) = 104.8+2 ，
则根据以上信息可得里氏 9.0 级地震释放的能量是 8.0 级地震所释放能量的 倍.
14.已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，棱锥的底面是边长为 2 3的正三角形，侧棱长为
2 5，则球 的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (2, )， = (1 , 6)( ∈ )．
(1)若 + = ，求实数 的值；
(2)若 , 为钝角，求实数 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
已知复数 = 1 + i(i 是虚数单位， ∈ R)，且 (3 + i)为纯虚数( 是 的共轭复数)
(1)求实数 及| |；
i2023(2)设复数 1 = ，且复数 1对应的点在第二象限，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知直三棱柱 ′ ′ ′满足∠ = 90°， = = 12
′ = 2，点 ， 分别为 ′ ， ′ ′的中
点．
(1)求证： /\ !/平面 ′ ′；
(2)求证： ′ ⊥平面 ．
(3)求三棱锥 的体积．
18.(本小题 17 分)
e +
已知定义域为 的函数 ( ) = e +1 是奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)判断函数 = ( )的单调性，并证明；
(3)若不等式 ( 3 ) + (3 9 2) > 0 对任意的 ≥ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且 2 sin = (2 + )sin + (2 + )sin ．
(1)求 的大小；
(2)若 sin + sin = 1，试判断 的形状；
(3)若 = 2，求 周长的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13.100
14.25π
15.【详解】(1)由 + = ，则 = 0，
即 = 2(1 ) 6 = 0，
即 4 1 = 0 1，得 = 4．
(2) < 0若 , 为钝角，即
,
< 0且 , 不共线，
≠ 180°
即 = 2(1 ) 6 < 0 1，得 > 4，且 12 (1 ) ≠ 0，
得 ≠ 4 1且 ≠ 3，综上解得 > 4且 ≠ 4．
16.【详解】(1) ∵ = 1 + i，∴ = 1 i，
∴ (3 + i) = (1 i)(3 + i) = (3 + ) + (1 3 )i，
∵ (3 + i)为纯虚数，
∴ 3 + = 01 3 ≠ 0，解得 = 3，
故 = 1 3i，则| | = 12 + ( 3)2 = 10
(2) ∵ i2023 = i4×505+3 = i3 = i，
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∴ = i
2023
= +i = +i 1+3i = 3 3 +11 1 3i 1 3i 1+3i 10 + 10 i，
∵复数 1所对应的点在第二象限，
3
∴ 10
< 0 1
3 +1 ，解得 3 < < 3，
10 > 0
故实数 1的取值范围为 3 , 3 ．
17.【详解】(1)如图，
连接 ′， ′，
∵四边形 ′ ′为矩形， 为 ′ 的中点，
∴ ′与 ′ 交于点 ，且 为 ′的中点，
又点 为 ′ ′的中点，∴ // ′，
又 平面 ′ ′，且 ’ 平面 ′ ′，
∴ //平面 ′ ′．
(2)直三棱柱 ′ ′ ′满足∠ = 90 = ∠ ′ ′ ′， = = ′ ′ = ′ ′，
又点 为 ′ ′的中点，且 ′ ⊥面 ′ ′ ′， ′ 面 ′ ′ ′，
所以 ′ ⊥ ′ ′， ′ ⊥ ′ ，
又 ′ ′ ∩ ′ = ′, ′ ′, ′ 面 ，
∴ ′ ⊥平面 ．
(3)由图可知 = ，
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∵ ∠ = 90° 1， = = 2
′ = 2，∴ = 2 + 2 = 2 2，
又三棱柱 ′ ′ ′为直三棱柱，且 ′ = 4，
∴ =
1
2 × 2 2 × 4 = 4 2．
∵ ′ ′ = ′ ′ = 2，∠ ′ ′ ′ = 90°，点 为 ′ ′的中点，
所以 ′ = 2．
由(2)可知 ′ ⊥平面 ．
所以点 ′到平面 的距离为 2，
又点 为 ′ 的中点，
2
所以点 到平面 的距离为 2 ，
∴ 1 2 4 = = 3 × 4 2 × 2 = 3．
18.【详解】(1)由 ( )是定义在 上的奇函数，得 ( ) + ( ) = 0，

则 ( ) + ( ) = e + e = e 1 + e = e 1+ ee +1 e +1 e +1 e +1 e +1 = 1 = 0，
所以 = 1．

(2)由(1)知 ( ) = 1 e 2e +1 = e +1 1，函数 ( )在 上是递减函数，

任取 1, 2 ∈
2 2 2(e 2 e 1)
，且 1 < 2， ( 1) ( 2) = e 1+1 e 2+1 = (e 1+1)(e 2+1)，
由 1 < 2，得 0 < e 1 < e 2，则e 2 e 1 > 0， ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，
所以 ( )是定义在 上的递减函数．
(3)由 ( 3 ) + (3 9 2) > 0，得 ( 3 ) > (3 9 2) = (9 3 + 2)，

由(2)知， ( )是 上的递减函数，则 3 < 9 3 + 2 < 9 3 +2，即 3 ，
依题意， < 3 + 23 1 对任意的 ≥ 0 恒成立，
而3 ≥ 1 2 2，则3 + 3 1 ≥ 2 3 3 1 = 2 2 1
2
，当且仅当3 = ，即3 3 = 2时取等号，
因此 < 2 2 1，所以实数 的取值范围是 < 2 2 1．
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19.【详解】(1)因为 2 sin = (2 + )sin + (2 + )sin ，
根据正弦定理得 2 2 = (2 + ) + (2 + ) ，整理得 2 + 2 2 =
2 2 2
由余弦定理可得 cos = + 2 =
1
2
又 ∈ (0, )，所以 = 2 3
(2) 2 由(1)知 = 3，又 sin + sin = 1

得 sin + sin 3 = 1，
即 sin + 32 cos
1
2 sin =
1
2 sin +
3
2 cos = sin +

3 = 1，
∈ 0, 因为 3 ，则3 < +
< 2 3 3，
∴ + 3 = 2，即 =

6， = 6，
则 为等腰钝角三角形；
2 2
(3) 2 由 = 2， = 3及余弦定理知
2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 ≥ ( + )2 ( + ) = 3( + )4 4
则( + )2 ≤ 16 ( + ) 4 3 2 33，知 max = 3 ，当且仅当 = = 3 时等号成立
所以 + + ≤ 2 + 4 33
4 3
因此 周长的最大值为 2 + 3 ．
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