资源简介

2025-2026学年安徽省太和中学高二上学期 10月月考模拟练习
数学试卷二
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过 1, 2 3 ， 2, 3 两点的直线的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.设 , ∈ ，向量 = ( , 1,1), = (1, , 1), = (2, 4,2)，且 ⊥ , // ，则| + |等于( )
A. 2 2 B. 10 C. 3 D. 4
3.已知平面 的一个法向量为 = 3, 2,1 ，点 ( 1,2,1)在平面 内．若点 的坐标为( 1,1,1)，则直
线 与平面 所成的角为( )
A. π6 B.
π
4 C.
π D. 5π3 12
4.如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ，且 = 3 ，则 在 方向上的投影向量为( )
A. 3 2 4 B. 3 C.
3 D. 2 4 3
5.设 ( 2,3), (1,2)，若点 ( , )在线段 +1上，则 的取值范围是( )
A. [ 2,3] B. ( 2,3)
C. ∞, 2 ∪ 3, + ∞ D. ( ∞, 2) ∪ (3, + ∞)
6.如图，二面角 等于150 ， 、 是棱 上两点， 、 分别在半平面 、 内， ⊥ ， ⊥ ，
且 = = 2， = 3，则 =( )
A. 2 3 B. 2 2 C. 17 D. 5
7.下列命题正确的是( )
第 1页，共 11页
A.若直线 的方向向量为 = (1,0,3) 2，平面 的法向量为 = 2,0, 3 ，则直线 /\ !/
→ →
B.若 /\ !/ ，则存在唯一的实数 ，使 =
C. 1 1若空间向量 = 1， = 2，且 与 夹角的余弦值为 3，则 在
上的投影向量为 6
D.若向量 = (2, 1,3)， = ( 4,2, ) 10的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 ∞, 3
8.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1 1上动点(包括端点)．
①当点 为 1
π
1中点时，异面直线 1 与 所成角为2
2 3
②三棱锥 1 中，点 到面 1 的距离为定值 3
③过点 且平行于面 1 的平面被正方体 1 1 1 1截得的多边形的面积为 2 3
④直线 1与面 1
3 6
所成角的正弦值的范围为 3 , 3
以上命题为真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A.两条不重合直线 1， 2的方向向量分别是 = (2,3, 1)， = ( 2, 3,1)，则 1// 2
B.两个不同的平面 ， 的法向量分别是 = (2,2, 1)， = ( 3,4,2)，则 ⊥
C.直线 的方向向量 = (1, 1,2)，平面 的法向量是 = (6,4, 1)，则 //
D.直线 的方向向量 = (0,3,0)，平面 的法向量是 = (0, 5,0)，则 //
10.下面四个结论正确的是( )
A. 1 1 1若 ， ， 三点不共线，平面 外任一点 ，有 = + + 3 3 3 ，则 ， ， ， 四点共面
B.有两个不同的平面 ， 的法向量分别为 ， ，且 = (1,2, 2)， = ( 2, 4, 4)，则 //
C.已知向量 = (1,1, ) 3， = ( 3, , 9)，若 < 10，则 ,
为钝角
D.已知 2 π为平面 的一个法向量， 为直线 的一个方向向量，若 , = 3π，则 与 所成角为6
第 2页，共 11页
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1， = 1， = 1，其中 ∈ [0,1]， ∈ [0,1]，则下列
说法中正确的有( )
A.若 平面 1 ，则 + =
1
3 B.若 //平面 ，则 = =
1
2
C.存在 ， 3，使得| | = 5 D.存在 ，使得对于任意的 ，都有 ⊥
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若直线 的斜率 ∈ 1, 3 ，则直线 的倾斜角的取值范围是__ ______．
→ →
13.已知空间直角坐标系中，点 ( 1,1,2)， ( 3,0,4)，若 = 6， /\ !/ ，则 = ．
14.在三棱锥 中， = = 2， = 2 2， ⊥平面 ，点 ， 分别为 ， 的中点， = 6，

为线段 上的点，使得异面直线 与 34所成的角的余弦值为 34 ，则 为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在矩形 和 中， = 4， = = 3 π，∠ = 3，
= ， = ，0 < < 1，
记 = ， = ， = ．
(1)将 用 , , 表示出来；
(2) = 1当 2时，求 与 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
如图，在五面体 中， ⊥平面 ，平面 是梯形， ⊥ ， // ， = 2 = 2 = 2，
平分 ．
第 3页，共 11页
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若二面角 6的余弦值为 3 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
如图，在五面体 中，底面 为正方形， = 4, = 1．
(1)求证： // ；
(2)若 为 的中点， 为 的中点， ⊥ , = 2 3，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作
为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： = ；
条件②： = 5．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
18.(本小题 17 分)
如图所示，直角梯形 中， // ， 垂直 ， = = 2 = 2，四边形 为矩形， = 3，
平面 ⊥平面 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 3所成角的正弦值为 4 ，若存在，求出线段 的长，若
不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
图 1 是直角梯形 ， // ，∠ = 90°，四边形 是边长为 4 的菱形，并且∠ = 60°，以
为折痕将 折起，使点 到达 1的位置，且 1 = 2 6，如图 2．
第 4页，共 11页
(1)求证：平面 1 ⊥平面 ；
(2)在棱 2 15 1上是否存在点 ，使得 到平面 1的距离为 5 ，若存在，则 的值；1
(3)在(2)的前提下，求出直线 与平面 1所成角的正弦值．
第 5页，共 11页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 0, π 3π3 ∪ 4 , π
13.( 4, 2,4)或(4,2, 4)
14.14/0.25
15.【详解】(1)由图知， = + + = +
= ( ) + ( + ) = ( 1) + = ( 1) + ；
(2)当 = 1时，由(1)知， = 1 2 2
+ 12 ，
= + ，
因| | = 4, | | = | | = 3, = = 0, = 3 × 3cos π = 93 2 ,
故| | = ( 1 2
+ 1 )2 = 1 2 2 32 2 | | 2 + | | = 2 ,
| | = ( + )2 = | |2 + 2 + | |2 = 5，
且 = 1 + 12 2 ( + )
1 1 1 1
= 2
2
+ 22 + 2 | |
= 1 × 9+ 1 × 9 = 92 2 2 4，
设 与 的夹角为 ，

· 9
则 cos = cos , = 4 3

= = ．
|·| 5×3 102
第 6页，共 11页
16.【详解】(1)由题意 = (2 1)2 + 12 = 2， = 12 + 12 = 2，∴ 2 + 2 = 2， ⊥ ，
⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∩ = ， , 平面 ，∴ ⊥平面 ，
平面 ，∴平面 ⊥平面 ；
(2)分别以 , , 为 , , 轴建立空间直角坐标系，如图，设 = ， > 0，
则 ( 2, 0,0)， (0, 2, 0) 2， (0,0, )， ( 2 , 0,

2 )，
= (0, 2, 0)， = ( 22 , 0,

2 )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则
= 2 +
，取 = 2，则 = ( , 0, 2)，
2 2 = 0
平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
cos , = 所以 = =
6
3 ，解得 = 2， 2+2
∴ = (0, 2, 2)，又 = ( 2,0, 2)，

cos , = 2 2 2 = = ， 6× 6 3
∴直线 与平面 2所成角的正弦值 3 ．
17.【详解】(1)证明：底面 为正方形，则 // ，又 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ，又平面 ∩平面 = ， 平面 ，故 // ．
(2)选①，取 中点 ，连接 , ，因为 = ，所以 ⊥ ，
易知 为梯形 的中位线，则 ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，故 ⊥平面 ， 平面 ，
第 7页，共 11页
则 ⊥ , ⊥ , , 平面 ，且 , 必相交，故 ⊥平面 ，
延长 交 于 ，则 为中点，易得 // , = ，故 为矩形．
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 作 平行线为 轴，建立空间直角坐标系如图：
则 (3,2,0), (3, 2,0), ( 1, 2,0), 0,0,2 3 , 1,0,2 3 ，
则 = (0, 4,0)， = 3, 2,2 3 ， = 0,2,2 3 ，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0
4 = 0
，即 ，令 = 2 3，则 = 2 3, 0,3 ，
= 0 3 2 + 2 3 = 0
设直线 与平面 所成角为 , sin = cos , = 6 3 = 3 7 = 3 721 16 7×2 14 ．
选②：取 中点 ，连接 ，易知 为梯形 的中位线， = 3，
则 = 13，由题 = 5， = 2 3，则 2 = 2 + 2，故 ⊥ ,
又 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，故 ⊥平面 ，
延长 交 于 ，则 为中点，易得 // , = ，故 为矩形．
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 作 平行线为 轴，建立空间直角坐标系如图：
则 (3,2,0), (3, 2,0), ( 1, 2,0), 0,0,2 3 , 1,0,2 3 ，
则 = (0, 4,0)， = 3, 2,2 3 ， = 0,2,2 3 ，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0
4 = 0
，即 ，令 = 2 3，则 = 2 3, 0,3 ， = 0 3 2 + 2 3 = 0
6 3 3 7 3 7设直线 与平面 所成角为 , sin = cos , = 21 16 = 7×2 = 14 ．
．
第 8页，共 11页
18.【详解】(1)取 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于直线 的直线为 轴，
所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 (1,0,0)， (1,2,0)， 0,0, 3 ， 1,2, 3 ，
∴ = 1, 2, 3 ， = (0,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
∴ 2 + 3 = 0．
2 = 0
不妨设 = 3, = 0，则 = 1，
∴ = 3, 0,1 ．
又∵ = 1,2, 3 ，
∴ = 3 + 3 = 0，
∴ ⊥ ．
又∵ 平面 ，
∴ //平面 ；
(2) = 1, 2, 3 ， = 2,0, 3
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
∴ 2 + 3 = 0
2 + 3 = 0
不妨设 = 2 3，则 = 3， = 4，
∴ = 2 3, 3, 4 ．
设向量 与 的夹角为 ，
则 = | | | | cos ，
∴ cos = 3×2 3+0× 3+1×4 = 5 ，
2 2 2
2 3 + 3 +42 3 +02+12
31
∴ sin = 6 18631 = 31 ．
第 9页，共 11页
∴ 186平面 与平面 所成二面角的正弦值为 31 ；
(3)设 = = 1,2, 3 = , 2 , 3 , ∈ [0,1]，
则 , 2 , 3 ，所以 = 1,2 2, 3 ，
又平面 的一个法向量为 = 3, 0,1 ，
即直线 与平面 所成角为 ，

则 sin = cos < , > = = 3( 1)+ 3 = 3 ， × 2 4( 1)2+(2 2)2+ 3 ×2
整理得 8 2 6 + 1 = 0 1 1，解得 = 2或 = 4，
= 1 3 3当 2时，
= 2 , 1, 2 ，则 = 2；
当 = 1 5 3 34时， = 4 , 2 , 4 ，则
= 2；
综上 = 2，即在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 3所成角的正弦值为 4 ，此时线段 的长为
2．
19.【详解】(1)取 的中点 ，连接 ， 1 ，
因为四边形 是边长为 4 的菱形，并且∠ = 60°，
所以 , △ 1均为等边三角形，
故 ⊥ ， 1 ⊥ ，且 = 1 = 2 3，
因为 2 2 21 = 2 6，所以 + 1 = 1 ，
由勾股定理逆定理得： ⊥ 1 ，
又因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
因为 1 平面 1，
所以平面 1 ⊥平面 ；
第 10页，共 11页
(2)以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 1所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), 2 3, 0,0 , (0,2,0), 1 0,0,2 3 , 3, 3,0 , (0, 2,0)，
设 ( , , )， = 1， ∈ [0,1]，
即 3, + 3, = 3, 3,2 3 ，解得： = 3 3 , = 3 3, = 2 3 ，
故 3 3 , 3 3,2 3 ，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
则

= 2 3, 2,0 , 1 = 2 3, 0,2 3
= 2 3 + 2 = 0
，则 ,
1 = 2 3 + 2 3 = 0
令 = 1，则 = 3, = 1，故 = 1, 3, 1 ，
其中 1 = 3 3 , 3 3,2 3 2 3
1 = = 3 3 ,3 3,2 3 2 3 1, 3,1则 1+3+1 =
2 15
5 ，
解得： = 1 32或2 (舍去)，
2 15
所以存在点 ，使得 到平面 1的距离为 5 ，此时 = 1．1
(3) 3 3由(2)可得： = 2 , 2 , 3 (0, 2,0) =
3 , 12 2 , 3 ，
设直线 与平面 1所成角为 ，
3,1, 3 1, 3,1
则 sin = cos

, = 2 2 15 = = ， 3
4+
1
4+3× 1+3+1
5
15
所以直线 与平面 1所成角的正弦值为 5 ．
第 11页，共 11页

展开更多......

收起↑