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2025-2026学年黑龙江省鸡西市文成中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 3 + 4 ，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = (1,2)， // ，那么向量 可以是( )
A. (2,1) B. ( 1,2) C. ( 1, 2) D. ( 2,1)
3.在△ 中， = 1， = 2，∠ = 45°，则 边上的中线长为( )
A. 1 B. 22 C. 3 D. 2
4.甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率 0.4，乙命中目标的概率为 0.5.假设甲乙两人命中
率互不影响，求目标被命中的概率为( )
A. 35 B.
6
7 C.
7 4
10 D. 5
5 △ 2 2. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 3 ， + = 2，则△ 的外接圆的
面积为( )
A. 4 B. 8 C. 9 D. 36
6.在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 120°， = = 3， 1 = 2，则这个直三棱柱的外接球的表
面积为( )
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
7.下列说法不正确的是( )
A. 8 个数据的平均数为 5，另 3 7 11 61个数据的平均数为 ，则这 个数据的平均数是11
B.用抽签法从含有 20 个个体的总体中抽取一个容量为 4 的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为 0.2
C.一组数据 4，3，2，6，5，8 的 60%分位数为 6
D.若样本数据 1， 2… 10的平均数为 2，则数据 2 1 1，2 2 1，…2 10 1 的平均数为 3
8.一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，
看见一灯塔在船的南偏西 60°，另一灯塔在船的南偏西 75°，则这艘船的速度是每小时( )
A. 5 海里 B. 5 3海里 C. 10 海里 D. 10 3海里
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件 表示“两枚骰子的点数之和为 5”，事件 表示“红色骰子的
点数是偶数”，事件 表示“两枚骰子的点数相同”，事件 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则( )

A. 与 互斥 B. 与 对立 C. 与 相互独立 D. 与 相互独立
10.下列关于平面向量的说法中错误的是( )
A.设 ， 为非零向量，若| + | = | |，则 ⊥
B.设 ， 为非零向量，若 > 0，则 ， 的夹角为锐角
C.设 ， ， 为非零向量，则( ) = ( )
D.若点 为△ 的外心，则 + + = 0
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为线段 1 1的中点， 为线段 1上的动点.则下列结论正确的是
( )
A.若 为 1中点，则 //平面 1 1
B.若 为 1中点，则 ⊥平面 1 1
C.不存在点 ，使得 ⊥
D. 6 6与平面 1 1所成角的正弦值的取值范围为[ 6 , 3 ]
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这 50 名学生成绩的平
均分数为______分.
13.已知向量 ， 满足| | = 2， = (3,0) 1，则向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为( 2 , 0)，则|
| =
______．
14.如图，四棱锥 的所有棱长都等于 2，点 为线段 的中点，过 ， ，
三点的平面与 交于点 ，则四边形 的周长为 ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = (1,0)， = (2,1)．
(1)若 = 2 + 3 ， = + ，且 、 、 三点共线，求 的值．
(2)当 为何值时， 与 + 2 垂直．
16.(本小题 15 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中，点 为 1的中点．
(1)求证： 1//平面 ；
(2)若 = 2，从正方体中截去三棱锥 后，求剩下的几何体的体积．
17.(本小题 15 分)
杭州亚运会期同，某大学有 200 名学生参加体育成绩测评，将他们的分数(单位：分)按照[50,60)，[60,70)，
[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值及这组数据的第 60 百分位数；
(2)按分层陆机抽样的方法从分数在[50,60)和[90,100]内的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中任选 2 人，求这
2 人成绩之差的绝对值大于 10 分的概率．
18.(本小题 17 分)
如图，多面体 中，四边形 为矩形，二面角 为 45°， // ， ⊥ ， = 2，
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= 3， = 4， = 5．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
19.(本小题 17 分)
甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升
降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一
定.设甲每次购买这种物品的数量为 ，乙每次购买这种物品所花的钱数为 ．
(1)若两次购买这种物品的价格分别为 6 元，4 元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品
平均价格分别为多少；
(2)设两次购买这种物品的价格分别为 1元， 2元( 1 > 0, 2 > 0，且 1 ≠ 2)，甲两次购物的平均价格记为
1，乙两次购物的平均价格记为 2.通过比较 1， 2的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.76.2
13. 10
14.3 + 2 3
15.解：(1) ∵ = (1,0), = (2,1)，
∴

= 2 + 3 = (8,3)， = + = (2 + 1, )，
∵ ， ， 三点共线，∴ 与 共线，

设 = ，即(8,3) = (2 + 1, )，
∴ 8 = (2 + 1)，
3 =
3
解得 = 2；

(2) = ( 2, 1)， + 2 = (5,2)，
∵ 与 + 2 垂直，
∴ ( 2) × 5 + ( 1) × 2 = 0，
12
解得 = 5．
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16.证明：如图，设 ∩ = ，连接 ，
则 为 中点，又 为 1的中点，
所以 1// ，又 1 平面 ， 平面 ，
所以 1//平面 ；
22
3
17.解：(1)由频率分布直方图可知，10 × (0.01 + 0.015 + + 0.025 + 0.03) = 1，
解得 = 0.02，
因为 0.1 + 0.15 + 0.25 = 0.5 < 0.6，0.1 + 0.15 + 0.25 + 0.3 = 0.8 > 0.6，
所以这组数据的第 60 百分位数位于[80,90)，设其为 ，
则 0.5 + ( 80) × 0.03 = 0.6，
解得 = 2503 ；
(2) 0.1由题可知，从分数在[50,60)内的学生中抽取 6 × 0.1+0.2 = 2 人，记为 ， ，
则分数在[90,100]内的人数为 4，记为 ， ， ， ，
从中任选 2 人，样本空间 = {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，
这 2 人成绩之差的绝对值大于 10 分的情况有：{( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，
8
故所求的概率 = 15．
18.(1)证明：∵四边形 是矩形，∴ // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，∵ // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
∩ = ，∴平面 //平面 ，∵ 平面 ，∴ //平面 ；
(2)解：∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ 即为二面角 的平面角，∠ = 45°，
又 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，作 ⊥ 于 ，因为 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，连结 ，
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所以直线 与平面 所成角为∠ ， = 13， = 2 2 26，所以 sin∠ = = ， 13 = 13
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 26；
13

(3)解：由(2)得 ⊥平面 ，又 △ = ，所以距离 = ，△
= 15又由已知可得 △ 2， △ = 3， = 2
5
，所以 = 2 2．
19.解：(1)若两次购买这种物品的价格分别为 6 元，4 元，
6 +4
则甲两次购买这种物品的平均价格为： + = 5，
2 24
乙两次购买这种物品的平均价格为：
6+
=
4 5
．
(2)由题意可知，甲两次购物总花费为 1 + 2 ，购物总量为 2 ，
+ +
则平均价格 = 1 2 1 21 2 = 2 ，
乙两次购物总花费为 2 ，购物总量为 + ，1 2
则平均价格 2 =
2
+ =
2 1 2
1+
，
2
1 2
∵ 1 ≠ 2，
2
∴ 1+ 2 2 1 2 ( 1 2)1 2 = 2 + =1 2 2( 1+ 2)
> 0，
∴ 1 > 2，
故第二种购物方式比较划算．
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