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2025-2026学年山西省吕梁市汾阳中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+ .复数 = 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
2.如图，在平行四边形 中，连结 ，下列运算正确的是( )
A. + =
B. + =
C. =
D. =
3.已知 = 1，则 cos( + 4 ) =( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 0 或 1
4.水平放置的△ 的斜二测直观图如图所示，已知 ′ ′ = 4， ′ ′ = 3，则△ 的面积是( )
A. 6
B. 10
C. 12
D. 24
5.在△ 中， ， ， 分别为三个内角 ， ， 所对的边，设向量 = ( , )， = ( , + )，若 ⊥ ，
则角 的大小为( )
A. 6 B.
2
3 C. 2 D. 3
6.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为线段 1 1的中点，则异面直线 与 1 所成角的大小为( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
7.投掷一枚均匀的骰子，事件 ：点数大于 2；事件 ：点数小于 4；事件 ：点数为偶数.则下列关于事件描
述正确的是( )
A. 与 是互斥事件 B. 与 是对立事件 C. 与 是独立事件 D. 与 是独立事件
8.已知圆台 1 2的上、下底面面积分别为 4 ，36 ，其外接球球心 满足 1 = 3 2，则圆台 1 2的外接
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球体积与圆台 1 2的体积之比为( )
A. 20 5 B. 10 10 C. 10 5 D. 1013 13 13 13
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. ， 是两条异面直线， ， 在直线 上， ， 在直线 上， 、 、 、 四点互不相同，则下列结论一定
不成立的是( )
A. A、 、 、 四点共面 B. / /
C. 与 相交 D. =
10 ( ) = 1.已知事件 ， ， 两两互斥，若 4， ( ∪ ) =
3
4， ( ∪ ) =
5
12，则( )
A. ( ∩ ) = 16 B. ( ) =
1 C. ( ) = 12 3 D. ( ∪ ) =
2
3
11 .为了得到函数 ( ) = 2 (3 + 3 )的图象，只需( )
A. 将函数 = 2 3 的图象向左平移9个单位长度
B.将函数 = 2 3 的图象向左平移3个单位长度
C. 5 将函数 = 2 3 的图象向左平移18个单位长度
D.将函数 = 2 3 7 的图象向右平移18个单位长度
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 3 4.甲、乙两人向同一目标各射击 1 次，已知甲、乙命中目标的概率分别为4，5，则目标至少被击中 1 次的
概率为______．
13.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 60°， + = 6， = 2 3，则△ 的面积为
______．
14.已知 是△ 的重心， = 2， = 1，∠ = 60°，则 = ______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、
杀球以及半场计时往返跑)考核，满分 100 分.参加考核的学生有 40 人，考核得分的频率分布直方图如图所
示．
(1)由频率分布直方图，求出图中 的值，并估计考核得分的第 60 百分位数；
(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，
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从得分在[70,90)内的学生中抽取 5 人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70,80)和[80,90)
的概率；
(3)现已知直方图中考核得分在[70,80)内的平均数为 75，方差为 6.25，在[80,90)内的平均数为 85，方差为
0.5，求得分在[70,90)内的平均数和方差．
16.(本小题 15 分)
(1)已知点 、 、 的坐标分别是(0, 1)、( 5,1)、(7,2)，且 // ， ⊥ ，求点 的坐标；
(2)已知向量 = ( 2,3)，点 (2, 1)，若向量 与 平行，且| | = 2 13，求向量 的坐标．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 13 +1， ( ) = ( )
1
2．
(1)证明：函数 ( )是奇函数；
(2)解不等式 ( 2 2 ) + (2 2 1) < 0．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 对应的边分别是 、 、 ，且 + = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2， △ = 3 3，求 ；
(3)若△ 为锐角三角形，求 + 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，
(1)求证： 1 1//平面 1 ；
(2)求： 1与平面 1 所成的角大小；
(3)求钝二面角 1 的大小．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1920
13.2 3
14. 89
15.解：(1)由题意得：10 × (0.01 + 0.015 + 0.020 + + 0.025) = 1，
解得 = 0.03，
设第 60 百分位数为 ，
则 0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.02 × 10 + 0.03 × ( 80) = 0.6，
解得 = 85，
即第 60 百分位数为 85；
(2) 8由题意知，抽出的 5 位同学中，得分在[70,80)的有 5 × 20 = 2 人，设为 、 ，
12
在[80.90)的有 5 × 20 = 3 人，设为 、 、 ，
则样本空间为 = {( , )，( , )，( , )，( , )，( 、 )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}， ( ) = 10，
设事件 =“ 两人分别来自[70,80)和[80,90)”，
则 = ( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}， ( ) = 6，
( ) = ( ) = 6 = 3因此 ( ) 10 5，
3
所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为5；
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(3)考核得分在[70,80)内的人数为 0.02 × 10 × 40 = 8 人，在[80,90)内的人数为 0.03 × 10 × 40 = 12 人，
8
所以得分在[70,90)内的平均数为8+12 × 75 +
12
8+12 × 85 = 81，
8 2 12方差为 28+12 × [6.25 + (75 81) ] + 8+12 × [0.5 + (85 81) ] = 26.8．
16.解：(1)设 ( , )，
则 = ( 7, 2), = ( 5,2), = ( + 5, 1)，
因为 // ， ⊥ ，
所以 2( 7) + 5( 2) = 0，
因为 ⊥ ，
所以 5( + 5) + 2( 1) = 0，
解得 = 3， = 6，
所以点 的坐标为( 3,6)；
(2)设 = ( , )，
则 = ( 2, + 1)，
因为向量 与 平行，
所以 3( 2) + 2( + 1) = 0，
又| | = 2 13，
所以( 2)2 + ( + 1)2 = 52，
= 2 = 6
解得 = 5 或 = 7，
所以 的坐标为( 2,5)或(6, 7)．
17.解：(1)证明：由函数 ( ) = 1 13 +1 , ( ) = ( ) 2，
( ) = ( ) 1 = 1 1 = 1 3

可得 2 3 +1 2 2(3 +1)，且 ( )的定义域为 ，

因为 ( ) = 1 3 = (1 3 ) 3 = 3 12(3 +1) 2(3 +1) 3 2(1+3 ) = ( )，
所以函数 ( )是定义域 上的奇函数．
(2) 1 1根据指数函数的性质，可得 ( ) = 3 +1为减函数，则 ( ) = ( ) 2也为减函数，
所以函数 = ( )是奇函数且是减函数，
由不等式 ( 2 2 ) + (2 2 1) < 0，可得 ( 2 2 ) < (2 2 1) = (1 2 2)，
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所以 2 2 > 1 2 2，即 3 2 2 1 = ( 1)(3 + 1) > 0 < 1，解得 3或 > 1，
1
解得不等式的解集为{ | > 1 或 < 3 }．
18.(1)因为 + = 2 ，
2 2 2 2 2 2
法( )在△ 中，由余弦定理得 2 = + = + + 2 + 2 =
而 > 0 1，解得 = 2，而 0 < < =

，所以 3；
法( )由正弦定理可得 + = 2 ，
即 sin( + ) = 2 ，
在△ 中，sin( + ) = > 0，
所以 = 12，
而 0 < < ，所以 = 3；
(2) = 3 3 = 1 由 △ 及 3，得2 3 = 3 3，而 = 2，
可得 = 6，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 = 4 + 36 2 × 2 × 6 × 12 = 2 7，
(3) 2 由(1)知 + = 3，令 = 3 , = 3 + ，
0 < <
由△ 为锐角三角形， 3 2 ，0 < 3 + < 2
解得 6 < <
3
6，则 2 < ≤ 1，
因此 + = sin( 3 ) + sin(

3 + ) = 2

3 = 3 ∈ (
3
2 , 3],
3
所以 + 的取值范围是( 2 , 3]．
19.(1)证明：正方体 1 1 1 1中， 1 1// ，
又因为 1 1 平面 1 ，且 平面 1 ，
所以 1 1//平面 1 ；
(2)解：连接 1， 1 1，
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在正方体 1 1 1 1中，因为 ⊥平面 1 1 ，
1 平面 1 1 ，所以 ⊥ 1，
又因为 1 ⊥ 1 ，且 1 // 1 ，所以 1 ⊥ 1 ，
又因为 1 ∩ = ，且 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 ，
所以 1与平面 1 所成的角为∠ 1 1的余角，

又因为△ 1 1为等边三角形，所以∠ 1 1 = 3，
所以 1与平面 1

所成的角为2 3 = 6；
(3)连接 1 ，
因为 ⊥平面 1 1 ，所以 ⊥ 1 ，
又因为 1 ⊥ 1 ，且 1 // 1，所以 1 ⊥ 1 ，
因为 1 ∩ = ，且 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1 ⊥平面 1
(2) 又由 知 1 ⊥平面 1 ，且 1与 1所成角为3，
2
所以钝二面角 1 的大小为 3 = 3．
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