资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第22章 二次函数
一．选择题（共4小题）
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
B．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
C．a+b+c＜0
D．当x＞﹣3时，y随着x的增大而增大
2．若点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）都在二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
3．关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣2
C．其最小值为5
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
4．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝2（x+1）2+2 B．y＝2（x﹣3）2+4
C．y＝2（x+1）2+4 D．y＝2（x﹣3）2+2
二．填空题（共7小题）
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（m，0），点B（3，0），与y轴交于点C．则下列四个结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当﹣2＜x＜2时，a（x+1）2+b（x+1）+c＞0；
④点D（t，p），E（t+1，q）在抛物线上，当时，总有p＞q，则．
其中一定正确的是 　 　 ．（填写正确序号）．
6．如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣3）、（1，3），点C在抛物线yx2+bx的图象上，则b的值为 　 　 ．
7．如图，这是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，且过点A（3，0），图象的对称轴是直线x＝1．下列结论：①b2＞4ac；②ac＞0；③a﹣b+c＞0；④4a+2b+c＜0．其中错误的结论有 　 　 ．
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9），将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以x轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为　 　 ．
9．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 　 　 ．
10．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）和C（4，y3）都在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　 （用“＞”连接）．
11．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣36，烟花可以达到的最大高度是 　 　 米．
三．解答题（共7小题）
12．在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x米．
（1）如果花园的面积为5平方米，求x的值；
（2）如果在点P处有一棵树到墙CD，AD的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），直接写出花园面积的最大值．
13．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A，B两点（点B在x轴正半轴），与y轴交于点C，连接BC，AB＝4，∠BCO＝45°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在点B，C之间的抛物线上运动（不与点B，C重合），连接OD交BC于点E，连接CD．记△CDE，△COE的面积分别为S1，S2，求的最大值；
（3）已知抛物线的顶点的为G，过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线l′：交于点F，过点F作l′的垂线，交抛物线于点Q，过PQ的中点M作MN⊥l′于点N．求证：．
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N．
①若a＝1，t＝4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
15．如图，x轴上依次有A，B，C，D，E，F六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝2，从点A处向右上方沿抛物线y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求抛物线顶点坐标，并在图中补画出y轴；
（2）若抛物线上点P（m，n），若0＜m＜6，直接写出n的取值范围为 　 　 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）当a＝2时，求抛物线顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当0≤x≤3时，求新的二次函数的最大值与最小值；
（3）已知P（x1，y1）和Q（x2，y2），是抛物线上两点，若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2，求a的取值范围．
17．公路隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事放等方面起到重要的作用．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，如图1，其最高点P距离地面的高度为4米，宽度OM为8米．现以O为坐标原点，以OM所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在隧道修建过程中，维工队需要搭建矩形支架BA﹣AD﹣DC（由三段组成）对隧道进行装饰，如图2，其中A，D在抛物线上，B，C在地面OM上，请你帮施工队计算一下这个支架总长的最大值．
18．某租赁公司提供某种设备的租赁服务，每台设备的月租金定价x（单位：千元）与租出设备数量y（单位：台）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象（其中5≤x≤25），且每台设备的月维护成本为10千元．
（1）求y关于x的函数解析式（也称关系式）；
（2）当每台设备月租金定为多少千元时，租赁公司可获得最大利润？最大利润是多少千元？
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
B．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
C．a+b+c＜0
D．当x＞﹣3时，y随着x的增大而增大
【答案】B
【分析】根据题意，求出二次函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
将（﹣5，4），（﹣4，0），（0，4）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得，
所以二次函数得解析式为，
则抛物线的对称轴为直线x，
所以A选项不符合题意；
将x＝0代入二次函数解析式得，y＝4，
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，4），
所以B选项符合题意；
因为a+b+c＝1+5+4＝10＞0，
所以C选项不符合题意；
因为抛物线的对称轴为直线x，且开口向上，
所以当x时，y随x的增大而增大，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
2．若点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）都在二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】由y＝ax2（a＜0），可知对称轴为y轴，当x＜0时，y随着x的增大而增大，由题意知，（1，y3）关于y轴对称的点坐标为（﹣1，y3），由﹣3＜﹣2＜﹣1，可得y1＜y2＜y3．
【解答】解：由条件可知抛物线对称轴为y轴，当x＜0时，y随着x的增大而增大，
（1，y3）关于y轴对称的点坐标为（﹣1，y3），
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．关于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴为直线x＝﹣2
C．其最小值为5
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【解答】解：根据题目中的函数解析式逐项分析判断如下：
A、该函数的图象开口向下，不符合题意；
B、对称轴是直线x＝2，不符合题意；
C、当x＝2时y取得最大值5，不符合题意；
D、当x＜2时，y随x的增大而增大，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
4．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝2（x+1）2+2 B．y＝2（x﹣3）2+4
C．y＝2（x+1）2+4 D．y＝2（x﹣3）2+2
【答案】A
【分析】先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+3先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为y＝2（x﹣1+2）2+3﹣1，即y＝2（x+1）2+2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握其性质是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（m，0），点B（3，0），与y轴交于点C．则下列四个结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当﹣2＜x＜2时，a（x+1）2+b（x+1）+c＞0；
④点D（t，p），E（t+1，q）在抛物线上，当时，总有p＞q，则．
其中一定正确的是 　②③④　 ．（填写正确序号）．
【答案】②③④．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故错误；
②由题意对称轴为直线x1，得2a＜﹣b，
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∵a﹣b+c＞0，
∴3a﹣3b+3c＞0．
又∵9a+3b+c＝0，
∴3a﹣3b+3c+（9a+3b+c）＞0，即12a+4c＞0，
化简得3a+c＞0．
故正确．
③∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（m，0），点B（3，0），
∴二次函数y＝a（x+1）2+b（x+1）+c（a＞0）的图象与x轴交于点（m﹣1，0），（2，0），
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣3＜m﹣1＜﹣2，
∴当﹣2＜x＜2时，a（x+1）2+b（x+1）+c＞0，
故正确．
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（m，0），点B（3，0），
∴am2+bm+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴a（m2﹣9）+b（m﹣3）＝0，
∵m≠3，
∴a（m+3）+b＝0，
∴b＝﹣a（m+3），
∵点D（t，p），E（t+1，q）在抛物线上，总有p＞q，
∴p﹣q＝at2+bt+c﹣[a（t+1）2+b（t+1）+c]＞0，
∴﹣2at﹣a﹣b＞0，
∴﹣2at﹣a+a（m+3）＞0，
∴a（m+3）＞2at+a，
∵a＜0，
∴m+3＜2t+1，
∴t，
∵，
∴，
故正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
6．如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣3）、（1，3），点C在抛物线yx2+bx的图象上，则b的值为 　　 ．
【答案】．
【分析】作MN⊥x轴，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N，利用三角形全等的即可得出C点坐标，进而求解．
【解答】解：作MN⊥x轴，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝DC，
∴∠BCM+∠DCN＝90°＝∠BCM+∠CBM，
∴∠DCN＝∠CBM，
∵∠BMC＝∠CND＝90°，
∴△CBM≌△DCN（AAS），
∴CN＝BM，DN＝CM，
设C（a，b），
∵点B、D的坐标分别是（﹣1，﹣3）、（1，3），
则a+1＝3﹣b且a﹣1＝b+3，
解得：a＝3，b＝﹣1，
∴C（3，﹣1），
∵点C在抛物线yx2+bx的图象上，
∴﹣19+3b，
∴b，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特点，得出D点坐标是解题关键．
7．如图，这是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，且过点A（3，0），图象的对称轴是直线x＝1．下列结论：①b2＞4ac；②ac＞0；③a﹣b+c＞0；④4a+2b+c＜0．其中错误的结论有 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】②③④
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．由对称性可求得抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），容易判断①②③，再由x＝2时y＞0可判断④，可得出答案．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，故③错误；
∵开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4 a c，故①正确；
∵当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，故④错误；
综上可知错误的是②③④，
故答案为：②③④．
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9），将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以x轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数解析式为　y＝﹣2x2+8x﹣9　 ．
【答案】y＝﹣2x2+8x﹣9．
【分析】根据旋转的性质，折叠后的函数图象的顶点坐标是（2，﹣1），且图象与y轴交于点（0，﹣9），设折叠后得到的函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将（0，﹣9）代入得a＝﹣2，即可得到答案．
【解答】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9），
∴折叠后的函数图象的顶点坐标是（2，﹣1），且图象与y轴交于点（0，﹣9），
∴设折叠后得到的函数解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
将（0，﹣9）代入得，﹣9＝a（0﹣2）2﹣1，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2x2+8x﹣9，
故答案为：y＝﹣2x2+8x﹣9．
【点评】本题考查了二次函数的几何变换、对称的性质的知识．熟练掌握以上知识点是关键．
9．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是 　8　 ．
【答案】8．
【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．
【解答】解：由条件可知：图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答．
10．已知点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2）和C（4，y3）都在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y2＞y1＞y3　 （用“＞”连接）．
【答案】y2＞y1＞y3．
【分析】根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为x＝﹣1，根据二次函数增减性即可求解．
【解答】解：由条件可知二次函数图象开口向下，对称轴直线为x＝﹣1，
当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随x的增大而减小，
∴离对称轴直线越远，值越小，
∵4﹣（﹣1）＝5，﹣1﹣（﹣3）＝2，﹣1﹣（﹣2）＝1，5＞2＞1，
∴y2＞y1＞y3，
故答案为：y2＞y1＞y3．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，对称性，增减性是解题的关键．
11．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣36，烟花可以达到的最大高度是 　14　 米．
【答案】14．
【分析】将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣36得y＝﹣0.5x2+10x﹣36＝﹣0.5（x﹣10）2+14，
即y＝﹣0.5（x﹣10）2+14．
∵a＝﹣0.5＜0，
∴当x＝10时，烟花可以达到的最大高度是14米，
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
12．在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x米．
（1）如果花园的面积为5平方米，求x的值；
（2）如果在点P处有一棵树到墙CD，AD的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），直接写出花园面积的最大值．
【答案】（1）1或5；
（2）8平方米．
【分析】（1）根据AB＝x米可知BC＝（6﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；
（2）根据题意列出s和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值．
【解答】解：（1）设AB＝x米，可知BC＝（6﹣x）米，
x（6﹣x）＝5．
x1＝1，x2＝5，
答：x的值为1或5；
（2）设周围的矩形面积为s，
则s＝x（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+9，
∴，
∴1≤x≤2．
∵当x＜3时，s随x的增大而增大，
∴当x＝2时，s有最大值为﹣（2﹣3）2+9＝8，
∴最大值是8平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键．
13．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A，B两点（点B在x轴正半轴），与y轴交于点C，连接BC，AB＝4，∠BCO＝45°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在点B，C之间的抛物线上运动（不与点B，C重合），连接OD交BC于点E，连接CD．记△CDE，△COE的面积分别为S1，S2，求的最大值；
（3）已知抛物线的顶点的为G，过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线l′：交于点F，过点F作l′的垂线，交抛物线于点Q，过PQ的中点M作MN⊥l′于点N．求证：．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）；
（3）见解析．
【分析】（1）根据抛物线解析式可得C（0，﹣3），根据等角对等边推得B（3，0），A（﹣1，0），待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点E作EM⊥OC于点M，点D作DN⊥OC于点N，根据三角形的面积公式可推得，待定系数法求直线BC的解析式为y＝x﹣3，设E（a，a﹣3），求得直线OE的解析式为，设D（b，b2﹣2b﹣3），求得直线OD的解析式为，根据，推得，根据二次函数的性质可得当时，有最大值为，即可求得；
（3）根据抛物线的性质可求得顶点G（1，﹣4），连接QN和PN，过点P作PH⊥l′与点H，待定系数法求直线PG的解析式为：yPG＝k（x﹣1）﹣4，求得直线PG与直线l′的交点坐标为，求得，根据直线PG与抛物线交于P，G两点，求得P（1+k，k2﹣4），，，根据平行线分线段成比例公理可求得，根据正切的定义推得∠QNF＝∠NPH，根据等角的余角相等可得∠FQN＝∠HNP，推得∠QNP＝90°，根据中线的判定可得MN是Rt△PNQ斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A，B两点（点B在x轴正半轴），与y轴交于点C，连接BC，
∴C（0，﹣3），
∵∠BCO＝45°，
∴OC＝OB，
∴B（3，0），
∵AB＝4，
∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过点E作EM⊥OC于点M，点D作DN⊥OC于点N，如图：
△COE的面积为S2，，
△CDE的面积为S1，，
∴，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设E（a，a﹣3），则直线OE的解析式为，
设D（b，b2﹣2b﹣3），则直线OD的解析式为，
即，
整理得：，
则，
∵，
故当时，有最大值为，
即的最大值是．
（3）抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
整理得：y＝（x﹣1）2﹣4，
故顶点G（1，﹣4）；
连接QN和PN，过点P作PH⊥l′与点H，如图：
设直线PG的解析式为：yPG＝kx+b，将G（1，﹣4）代入求得：b＝﹣4﹣k，
故直线PG的解析式为：yPG＝k（x﹣1）﹣4；
∵直线PG与直线l′：交于点F，
∴将点F的纵坐标代入yPG＝k（x﹣1）﹣4，
得：，
解得：，
故，
则点Q的横坐标，故，
∴；
∵直线PG与抛物线交于P，G两点，
则x2﹣2x﹣3＝k（x﹣1）﹣4，
整理得：x2﹣（2+k）x+1+k＝0，
故x1+x2＝2+k，
∵x1＝1，
∴x2＝1+k，
即点P的横坐标xP＝1+k，故，
∴P（1+k，k2﹣4）；
∴，
，
∵QF∥MN∥PH，M为PQ的中点，
∴，
即，
∵，
∴；
在Rt△QNF中，，
在Rt△NPH中，，
即tan∠QNF＝tan∠NPH，
∴∠QNF＝∠NPH，
又∵∠QFN＝∠NHP＝90°，
∴∠FQN＝∠HNP，
∴∠QNF+∠PNH＝90°，
故∠QNP＝90°，
即△PNQ为直角三角形，
又∵M为PQ的中点，
∴MN是Rt△PNQ斜边上的中线，
∴．
【点评】本题考查了等角对等边，待定系数法求抛物线解析式，三角形的面积公式，求一次函数解析式，二次函数的性质，平行线分线段成比例公理，正切的定义，余角的性质，中线的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，根据正切的定义推得∠QNF＝∠NPH是解题的关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N．
①若a＝1，t＝4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】（1）c＝0，b＝﹣2a；（2）①4；②0＜a或a＜0．
【分析】（1）分别将O（0，0），O（0，0）代入抛物线解析式，即可获得答案；
（2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案；
②首先确定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0两种情况分析求解即可．
【解答】解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c，
可得c＝0，
∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx，
将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx，
可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a；
（2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析分别为y＝x2﹣2x，y＝x，
当t＝4时，可有点P（4，0），如下图，
∵PM⊥x轴，
∴xM＝xN＝4，
将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8），
将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4），
∴MN＝8﹣4＝4；
②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，
∵PM⊥x轴，P（t，0），
∴xM＝xN＝t，
将x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at），
将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at），
∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|，
令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3，
若a＞0，可有2a＞0，即点P在y轴右侧，如下图，
当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线，
若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则，
解得，
当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意；
若a＜0，可有2a＜0，即点P在y轴左侧，如下图，
当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线，
若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大，
则，解得，
∴a＜0，
综上所述，a的取值范围为0＜a或a＜0．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
15．如图，x轴上依次有A，B，C，D，E，F六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝2，从点A处向右上方沿抛物线y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P．
（1）求抛物线顶点坐标，并在图中补画出y轴；
（2）若抛物线上点P（m，n），若0＜m＜6，直接写出n的取值范围为 　0＜n≤16　 ．
【答案】（1）顶点为（2，6），作图见解析；（2）0＜n≤16．
【分析】（1）依据题意，由抛物线为y＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16，进而可以判断得解；又令y＝0，可得x＝﹣2或x＝6，进而可以作图；
（2）依据题意，由抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+16，从而当x＝2时，y取最大值为16，又当x＝0时，y＝12；当x＝6时，y＝0，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点为（2，6）．
又令y＝0，
∴0＝﹣x2+4x+12．
∴x＝﹣2或x＝6．
∴作图如下．
（2）由题意，∵抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+16，
∴当x＝2时，y取最大值为16．
又当x＝0时，y＝12；当x＝6时，y＝0，
∴抛物线上点P（m，n），若0＜m＜6，则0＜n≤16．
故答案为：0＜n≤16．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）当a＝2时，求抛物线顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当0≤x≤3时，求新的二次函数的最大值与最小值；
（3）已知P（x1，y1）和Q（x2，y2），是抛物线上两点，若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2，求a的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣8）；
（2）0，﹣8；
（3）0＜a＜1或．
【分析】（1）将a＝2代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值；
（3）先求出对称轴为：直线x＝a，再分a＞0和a＜0两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可．
【解答】（1）解：当a＝2时，抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x，
∵y＝2x2﹣8x＝2（x2﹣4x）＝2（x﹣2）2﹣8，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣8）；
（2）解：抛物线的解析式y＝2（x﹣2）2﹣8，
当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为y＝2（x﹣2+1）2﹣8，
即y＝2（x﹣1）2﹣8，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
当0≤x≤3时，
当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大．
x＝3时，二次函数有最大值，最大值为：y＝2×（3﹣1）2﹣8＝0，
x＝1时二次函数有最小值，最大值为：﹣8；
（3）抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴为：直线，
当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大，
若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2，
则4a＜4，
∴a＜1，
∴0＜a＜1；
当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵对称轴为：直线x＝a，
∴（4a，y1）在抛物线上的对称点为（﹣2a，y1），
若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2，
则﹣2a＞5，
∴
∴a的取值范围为：0＜a＜1或．
【点评】本题考查二次根式的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
17．公路隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事放等方面起到重要的作用．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，如图1，其最高点P距离地面的高度为4米，宽度OM为8米．现以O为坐标原点，以OM所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在隧道修建过程中，维工队需要搭建矩形支架BA﹣AD﹣DC（由三段组成）对隧道进行装饰，如图2，其中A，D在抛物线上，B，C在地面OM上，请你帮施工队计算一下这个支架总长的最大值．
【答案】（1）；
（2）这个支架总长的最大值是10米．
【分析】（1）先求出点M（8，0），顶点即（4，4），然后用待定系数法求解即可；
（2）设OB＝m米、则BC＝（8﹣2m）米，根据周长公式列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵OM为8米，最高点P距离地面的高度为4米，
∴点M（8，0），顶点即（4，4）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，把点M的坐标代入，得0＝42a+4，
解得．
∴；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
设OB＝m米，
米．
设支架总长为w，
则．
∵，
∴当时，
∴w有最大值，且最大值为，
答：这个支架总长的最大值是10米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答．
18．某租赁公司提供某种设备的租赁服务，每台设备的月租金定价x（单位：千元）与租出设备数量y（单位：台）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象（其中5≤x≤25），且每台设备的月维护成本为10千元．
（1）求y关于x的函数解析式（也称关系式）；
（2）当每台设备月租金定为多少千元时，租赁公司可获得最大利润？最大利润是多少千元？
【答案】（1）y＝﹣2x+60（5≤x≤25）
（2）当每台设备月租金定为 20 千元时，租赁公司每月出租该设备可获得最大利润，最大利润是 200 千元．
【分析】（1）由设y＝kx+b（k≠0），把（5，50），（25，10）代入，解方程组即可得到结论；
（2）设租赁公司每月出租该设备获得的利润为W千元，化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）由函数图象，可设y＝kx+b（k≠0），
把（5，50），（25，10）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y＝﹣2x+60（5≤x≤25）；
（2）设租赁公司每月出租该设备获得的利润为W千元，
则W＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600，
因此抛物线的开口向下，当 时，W有最大值为 200．
又因为5≤x≤25，
所以，当每台设备月租金定为 20 千元时，租赁公司每月出租该设备可获得最大利润，最大利润是 200 千元．
【点评】本题主要考查了求一次函数的关系式，二次函数的应用，求二次函数的最大值，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑