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21.3 实际问题与一元二次方程
一．选择题（共6小题）
1．如图，已知长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，分别在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖长方体盒子，则可列方程为（　　）
A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10﹣x）（8﹣x）＝24
C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝24
2．某科技公司研发的智能手环，今年1月份的用户激活量为800台，3月份的用户激活量达到1250台．若用户激活量每个月的平均增长率为x，则（　　）
A．800（1+x）2＝1250 B．800（1+2x）＝1250
C．800（1+x2）＝1250 D．800（1+x）3＝1250
3．某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为2.5万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到3.6万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（　　）
A．4.32 B．4.25 C．4.15 D．4.08
4．如图，矩形场地的长为40m，宽为30m，在这个场地中间修一条宽为x m的人行步道，其余的绿化面积为936m2，则人行步道的宽度x为（　　）
A．4 B．66 C．4或66 D．10
5．某校图书馆原有藏书5000册，经过两次扩增后，现在藏书量达到6050册．设每次平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．5000（1+x）＝6050
B．5000（1+x）2＝6050
C．5000+5000x+5000x2＝6050
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝6050
6．某药品原价每盒96元，连续两次降价后售价为54元，则该药品每次平均降价率为（　　）
A．10% B．20% C．25% D．50%
二．填空题（共8小题）
7．一个人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染多少人？设每轮传染中平均一个人传染x人，则列方程为　 　 ．
8．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动．设动点P运动时间为t（t＞0），当PQ＝BC时，则t的值为 　 　 ．
9．某赛季篮球职业联赛，采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为24场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为　 　 ．
10．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则可列出方程　 　 ．
11．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 　 　 ．
12．两年前某型号汽车的生产成本是14万元/辆，随着生产技术的进步，现在该型号汽车的生产成本为12万元/辆．设该型号汽车生产成本的年平均下降率为x，则可列方程为 　 　 ．
13．某学区房房价连续两次上涨，由原来的每平方米10000元涨至每平方米12100元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为 　 　 ．
14．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有　 　 人．
三．解答题（共5小题）
15．如图，OA＝OB＝60cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一小虫M由点A以3cm/s的速度向B爬行，同时另一小虫N由点O以1cm/s的速度沿OC爬行，小虫爬行的时间为t s．
（1）ON＝ 　 　 cm，OM＝ 　 　 cm（用含有t的代数式表示）．
（2）几秒时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2？
（3）若△OMN为等腰三角形，请直接写出t值．
16．“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．
17．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
（1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
19．今年六月份，某商场进行为期一周的促销活动，前六天的总营业额为45万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店这七天总营业额；
（2）今年，该商店3月份的营业额为35万元，4、5月份营业额的月增长率相同．六月份这七天的总营业额与5月份的营业额相等，求该商店今年4、5月份营业额的月增长率．
21.3 实际问题与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，已知长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，分别在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖长方体盒子，则可列方程为（　　）
A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10﹣x）（8﹣x）＝24
C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝24
【答案】A
【分析】（长方形的长﹣2x）（长方形的宽﹣2x）＝24cm2，即可求解．
【解答】解：根据（长方形的长﹣2x）（长方形的宽﹣2x）＝24cm2可得：
（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
2．某科技公司研发的智能手环，今年1月份的用户激活量为800台，3月份的用户激活量达到1250台．若用户激活量每个月的平均增长率为x，则（　　）
A．800（1+x）2＝1250 B．800（1+2x）＝1250
C．800（1+x2）＝1250 D．800（1+x）3＝1250
【答案】A
【分析】根据“今年1月份的用户激活量为800台，3月份的用户激活量达到1250台”即可列出方程．
【解答】解：根据题意得800（1+x）2＝1250．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确找出等量关系是解决问题的关键．
3．某城市2022年新能源汽车公共充电桩数量为2.5万个，该市通过两年建设，2024年底充电桩总数达到3.6万个，按相同的增长率，预计2025年底充电桩总数达到多少万个（　　）
A．4.32 B．4.25 C．4.15 D．4.08
【答案】A
【分析】本设每年的增长率为r，根据题意，2022年至2024年两年间充电桩数量从2.5万增长到3.6万，建立一元二次方程求解增长率，再按此增长率计算2025年的数量．
【解答】解：设每年的增长率为r，
两年间按相同增长率增长，可得方程：2.5×（1+r）2＝3.6，
即，
解得：r＝0.2（负值舍去）；
即年增长率为20%；
2025年充电桩数量为2024年的基础上再增长一年，即：3.6×（1+0.2）＝4.32（万个）；
因此，2025年底充电桩总数预计达到4.32万个；
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用：增长率问题，理解题意，找到等量关系是解题的关键．
4．如图，矩形场地的长为40m，宽为30m，在这个场地中间修一条宽为x m的人行步道，其余的绿化面积为936m2，则人行步道的宽度x为（　　）
A．4 B．66 C．4或66 D．10
【答案】A
【分析】由题意得（40﹣x）（30﹣x）＝936，然后解方程并检验即可．
【解答】解：由题意列一元二次方程得：（40﹣x）（30﹣x）＝936，
整理得：x2﹣70x+264＝0，
解得x1＝4，x2＝66（不符合题意，舍去），
即人行步道的宽度x为4m，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
5．某校图书馆原有藏书5000册，经过两次扩增后，现在藏书量达到6050册．设每次平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．5000（1+x）＝6050
B．5000（1+x）2＝6050
C．5000+5000x+5000x2＝6050
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝6050
【答案】B
【分析】根据图书馆原有藏书5000册，每次平均增长率为x，则两次增长后藏书量达到5000（1+x）2，因为现在藏书量达到6050册，所以可得方程5000（1+x）2＝6050．
【解答】解：设每次平均增长率为x，根据题意可得：
5000（1+x）2＝6050．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是关键．
6．某药品原价每盒96元，连续两次降价后售价为54元，则该药品每次平均降价率为（　　）
A．10% B．20% C．25% D．50%
【答案】C
【分析】设该药品每次平均降价率为x，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设每次平均降价率为x，根据题意得：
96（1﹣x）2＝54，
（1﹣x）2，
1﹣x＝±，
解得x＝0.25＝25%或x＝1.75（舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
7．一个人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染多少人？设每轮传染中平均一个人传染x人，则列方程为　（1+x）2＝169　 ．
【答案】（1+x）2＝169．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，分别求出第一轮和第二轮传染后患流感的人数，即得方程．
【解答】解：由题意得，第一轮传染后患流感的人数为：1+x，第二轮传染后患流感的人数为：1+x+x（1+x）＝（1+x）2，经过两轮传染后共有169人患了流感，
∴可列方程为：（1+x）2＝169．
故答案为：（1+x）2＝169．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
8．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动．设动点P运动时间为t（t＞0），当PQ＝BC时，则t的值为 　10s　 ．
【答案】10s．
【分析】当运动时间为t（t＞0）时，CP＝2t cm，CQ＝|25﹣t|cm，利用勾股定理，结合PQ＝BC，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为t（t＞0）时，CP＝2t cm，CQ＝|25﹣t|cm，
根据题意得：PQ2＝CP2+CQ2，
即252＝（2t）2+（25﹣t）2，
整理得：t2﹣10t＝0，
解得：t1＝0（不符合题意，舍去），t2＝10，
∴t的值为10s．
故答案为：10s．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．某赛季篮球职业联赛，采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为24场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为　x（x﹣1）＝24　 ．
【答案】x（x﹣1）＝24．
【分析】由参赛队伍有x支，知每只参赛队伍参加（x﹣1）场比赛“根据采用单循环制，比赛总场数为24场”即可列出方程．
【解答】解：设参赛队伍有x支，则每只参赛队伍参加（x﹣1）场比赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝24．
故答案为：x（x﹣1）＝24．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程求解是解决问题的关键．
10．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则可列出方程　x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800．
【解答】解：设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800，
故答案为：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”是得出方程的关键．
11．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 　x2﹣38x+37＝0　 ．
【答案】x2﹣38x+37＝0．
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）米、宽（10﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）米、宽（10﹣x）米的矩形面积．
∵草坪的面积为243平方米，
∴（28﹣x）（10﹣x）＝243．
化为一般式为：x2﹣38x+37＝0．
故答案为：x2﹣38x+37＝0．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．两年前某型号汽车的生产成本是14万元/辆，随着生产技术的进步，现在该型号汽车的生产成本为12万元/辆．设该型号汽车生产成本的年平均下降率为x，则可列方程为 　14（1﹣x）2＝12　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用现在该型号汽车的生产成本＝两年前某型号汽车的生产成本×（1﹣该型号汽车生产成本的年平均下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：14（1﹣x）2＝12．
故答案为：14（1﹣x）2＝12．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．某学区房房价连续两次上涨，由原来的每平方米10000元涨至每平方米12100元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为 　10%　 ．
【答案】10%．
【分析】设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据该楼盘2016及2018年的房价，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，
根据题意得：10000（1+x）2＝12100．
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有　512　 人．
【答案】512．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中被感染了x个人，第二轮传染中被感染了x（1+x）人，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入64（1+x）中，即可求出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中被感染了x个人，第二轮传染中被感染了x（1+x）人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
即（1+x）2＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去），
∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512（人），
∴经过三轮传染后患流感的人数共有512人．
故答案为：512．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
15．如图，OA＝OB＝60cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一小虫M由点A以3cm/s的速度向B爬行，同时另一小虫N由点O以1cm/s的速度沿OC爬行，小虫爬行的时间为t s．
（1）ON＝ 　t　 cm，OM＝ 　　 cm（用含有t的代数式表示）．
（2）几秒时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2？
（3）若△OMN为等腰三角形，请直接写出t值．
【答案】（1）t，．
（2）t＝10或10+10时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2．
（3）当t＝15或30时，△OMN为等腰三角形．
【分析】（1）利用路程＝速度×时间，求解即可；
（2）分两种情形构建方程求解；
（3）分两种情形构建方程求解．
【解答】解：（1）ON＝t cm，OM．
故答案为：t，．
（2）由题意t×（60﹣3t）＝150，
解得t＝10；
或t×（3t﹣60）＝150，
解得t＝10﹣10舍去）或10+10，
综上所述，t＝10或10+10时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2．
（3）由题意t＝60﹣3t或t＝3t﹣60，
解得t＝15或30．
故当t＝15或30时，△OMN为等腰三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
16．“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率．
【答案】30%．
【分析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔8月份的销售量＝该品牌头盔6月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论．
【解答】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意列一元二次方程得：500（1+x）2＝845，
整理得，500x2+1000x﹣345＝0，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为30%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
（1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
【答案】（1）月平均增长率为20%；
（2）售价应降低20元．
【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可；
（2）设售价应降低y元，则可卖出（20+2y）件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答．
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，
由题意列一元二次方程得，5（1+x）2＝7.2，
整理得，5x2+10x﹣2.2＝0，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：月平均增长率为20%；
（2）设售价应降低y元，
由题意列一元二次方程得，（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得y1＝10，y2＝20，
∵尽量减少库存，
∴y＝20，
答：售价应降低20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到相等关系是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）不能，理由见解析．
【分析】（1）根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣3＜0可得出该方程没有实数根，进而可得出△PBQ的面积不能等于7cm2．
【解答】解：7÷2（s）．
当运动时间为t s（0≤t）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm．
（1）依题意得：2t×（5﹣t）＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：2t×（5﹣t）＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0．
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．今年六月份，某商场进行为期一周的促销活动，前六天的总营业额为45万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店这七天总营业额；
（2）今年，该商店3月份的营业额为35万元，4、5月份营业额的月增长率相同．六月份这七天的总营业额与5月份的营业额相等，求该商店今年4、5月份营业额的月增长率．
【答案】（1）该商店这七天总营业额为50.4万元；
（2）该商店今年4、5月份营业额的月增长率为20%．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）设该商店今年4、5月份营业额的月增长率为x，根据六月份这七天的总营业额与5月份的营业额相等，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，45+45×12%＝50.4（万元），
答：该商店这七天总营业额为50.4万元；
（2）设该商店今年4、5月份营业额的月增长率为x，
∵六月份这七天的总营业额与5月份的营业额相等，
∴35（1+x）2＝50.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店今年4、5月份营业额的月增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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