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河北省衡水市阜城县阜城实验中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = | = 2 +

4 , ∈ ， = | =

4 +

4 , ∈ ，则( )
A. = B. C. D. ∩ =
2 +9 .已知 , 为正实数，且 + = 1，则 的最小值为( )
A. 12 B. 16 C. 18 D. 20
3 1.关于 的一元二次不等式 2 + + > 0 的解集为 1 < < 2 ，则下列不正确的是( )
A. < 0
B. + = 0
C.关于 的一元二次不等式 2 + ≥ 0 的解集为 = 1
D.关于 的一元二次不等式 2 + < 0 1的解集为 < 2或 > 1
3
4 .函数 = 2+2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.下列求导运算正确的是( )
A. ln2 ′ = 12 B. 3
+ ′ 3 = 3 + ln3
′ ′
C. = D. ln = 1 2ln 2 2 3
6.将函数 = tan2 的图象向左平移 ( > 0)个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则 的最小值为( )
A. 12 B.
C. D. 6 4 2
7.已知函数 = 3sin2 + 2 2 1 ，将函数 的图象向右平移6个单位长度可得到函数 的图象，
则下列结论正确的是( )
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A.函数 的最小正周期为2 B.函数 的最大值为 3
C. 函数 是奇函数 D.函数 在区间 0, 3 上单调递增
8.若函数 = ( )( ∈ )满足 ( + 2) = ( )且 ∈ [ 1,1]时， ( ) = 1 2；函数 ( ) = lg| |，则 ( ) =
( ) ( )， ∈ [ 5,5]零点的个数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A.当 > 0 > 时， ∈ , 2 + + > 0
B. , ∈ , 2 + 2 4 + 2 + 5 = 0
C.“ 5 > 5”的充要条件是“ > ”
D.“ > ”是“ > + 1”的必要不充分条件
10.下列结论正确的是( )
A.函数 = 2 + 1 是对数函数
B.函数 = 3 在 0, + ∞ 上单调递增
2
C.若 lg > lg ，则 3 > 3
D.函数 = +1 + 2( > 0 且 ≠ 1)的图象必过定点( 1,3)
11.已知定义域为 的函数 ( )，对任意实数 , 都有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，且 (2) = 1，则以
下结论一定正确的有( )
A. (0) = 1 B. ( )是奇函数
C. ( )关于(1,0)中心对称 D. (1) + (2) + + (2025) = 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
2
12 4.已知集合 = { |关于 的方程2 = 1 有唯一解}，用列举法表示 = ．
13.若曲线 = + 2 在点 1,3 处的切线也是曲线 = ln + + 的切线，则 = ．
14.已知函数 = 3 + ln 2+ 2 ,且满足 + 2 1 > 0,则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 = 2 + 2 ( 为常数， ∈ ).
(1)当 取何值时，函数 为奇函数；
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(2)当 = 1 时，若方程 2 = 3 在 ∈ 0,1 上有实根，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
3
已知关于 的不等式 2 2 + 8 < 0．
(1) 3若不等式 2 2 + 8 < 0 恒成立，求实数 的取值范围．
(2)在(1)的条件下，解关于 的不等式 2 2 + < 0．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 = 22 ln +
3, ∈ ．
(1)当 = 1 时，求曲线 = 在点 2, 2 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且 ≥ 2 3 2，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设函数 = 2 ln , ∈ ．
(1)若 = 1，求函数 的单调区间；
(2)若 ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2
已知函数 = 3ln ．
(1)证明： ∈ 0, + ∞ , < 0．
(2) 1若 在 4 , + ∞ 上只有一个零点，求 的取值范围．
(3)设 1, 2是 的两个零点，证明： 1 + 2 + 6ln3 > 2 + 6 + 6ln2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5,4, 4
13.2
14. 13 ,
3
2
15.(1)若 为奇函数，则 + = 0，
即2 + 2 + 2 + 2 = + 1 2 + 2 = 0，
∵ 2 > 0，2 > 0，∴ + 1 = 0，解得： = 1．
(2)当 = 1 时， = 2 + 2 ， 2 = 22 + 2 2 = 2 + 2 2 2，
∴ 2 = 2 2，
当 ∈ 0,1 1时，2 ∈ 1,2 ，又 = + 在 1,2 上单调递增，
∴当 ∈ 0,1 时， = 2 + 2 = 2 + 12 ∈ 2,
5
2 ，
令 = ，则方程 2 2 = 3 在 ∈ 2, 52 上有实根，
2
∴ = 5 =
5
在 ∈ 2,
5 5 5
2 上有实根，又 = 在 2, 2 上单调递增，
∴ 5 ∈
1 , 1 ∴ ∈ 1 12 2 ， 2 , 2 ．
16.(1)关于 3的不等式 2 2 + 8 < 0 恒成立，
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则当 = 0 3时，原不等式为 8 < 0 恒成立；
≠ 0 2 < 0当 时， = 2 + 3 < 0，解得 3 < < 0，
所以 的取值范围为 | 3 < ≤ 0 ．
(2)不等式 2 2 + < 0 化为( )[ (1 )] < 0，
由(1)知， 3 < ≤ 0，则 1 > 0 ≥ ，解得 < < 1 ，
所以原不等式的解集为{ | < < 1 }．
17.(1) 1因为 = 1，所以 = 22 ln + 1，
求导得 ′ = 1
1 3
所以 ′ 2 = 2 2 = 2，
又因为 2 = 3 ln2，
故曲线 = 在点 2, 2 3处的切线方程为 = 2 ln2．
(2)由函数 = 12
2 ln + 3, ∈ 可知， > 0．
2
求导得： ′ = =

，
当 ≤ 0 时，因为 > 0，所以 ′ > 0，
此时 = 为单调递增函数，没有极小值，与题意不符；
当 > 0 时， ′ = = + ，
因为 > 0，所以当 ∈ 0, 时， ′ < 0，当 ∈ , + ∞ 时， ′ > 0，
所以函数 有极小值为 = 12 ln +
3 = 12
3
2 ln + ．
又 ≥ 2 3 3 2，所以 ≥ 2 2，即
3 + 2 ln ≤ 0，
因为 > 0，所以 2 2 + ln 2 ≤ 0．
1
设 = 2 2 + ln 2，则 ′ = 4 + > 0，
所以 = 2 2 + ln 2 在 0, + ∞ 上单调递增，
又 1 = 0，所以 2 2 + ln 2 ≤ 0 的解集为 0,1 ，即 的取值范围是 0,1 ．
18.(1)解：当 = 1 时，函数 = 2 ln + 1 ，其定义域为 1, + ∞ ，
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则 ′ = 2 1 2 +1 +1 = +1，
令 ′ = 0，解得 = 12，
当 ∈ 1, 12 时，
1
′ < 0，所以 在区间 1, 2 上单调递减，
1 1
当 ∈ 2 , + ∞ 时， ′ > 0，所以 在区间 2 , + ∞ 上单调递增，
所以函数 1 1的单调递减区间为 1, 2 ，单调递增区间为 2 , + ∞ ．
(2)解：由函数 = 2 ln ，可得 的定义域为 , + ∞ ，
1 2 2 1
1+
则 ′ = 2 = = 2 2 ，
1
因为2 + > ，
则当 ∈ , 1 12 + 时， ′ < 0， 在区间 , 2 + 上单调递减，
∈ 1 + , + ∞ 1当 2 时， ′ > 0， 在区间 2+ , + ∞ 上单调递增，
1 1
所以 在 = 2 + 处取得极小值，且极小值为 2+ = 1 + 2 + ln2，也是最小值，
要使得 ≥ 0 恒成立，则 1 + 2 + ln2 ≥ 0 1 ln2，解得 ≥ 2 ，
1 ln2所以 的取值范围为 2 , + ∞ ．
19.(1)证明： = 3ln 2 = 3ln
2
> 0 ．
设 = 3ln 2 3 2 2 3 ，则 ′ = + 2 = 2 ，
0 < < 2 2当 3时， ′ > 0, 单调递增，当 > 3时， ′ < 0， 单调递减，
所以 ( ) 2 2max = 3 = 3 ln 3 + 1 = 3ln
2
3 < 0，所以 < 0，
故 ∈ 0, + ∞ ， < 0．
(2) 2解：由 = 0，得 3ln = ，
设 = 3ln 2 1 2 ，则 ′ = 2 ，
1
当4 ≤ < 1 或 > 2 时， ′ > 0, 单调递增，当 1 < < 2 时， ′ < 0, 单调递减，
所以 在 = 1 处取得极大值，且极大值为 1， 在 = 2 处取得极小值，且极小值为 1 3ln2，
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1 314 = 4 + 6ln2 < 1 3ln2，当 →+∞时， →+∞，
故 31的取值范围是 4 + 6ln2,1 3ln2 ∪ 1, + ∞ ．
(3) , 2 2证明：因为 1 2是 的两个零点，所以 1 3ln 1 = , 2 3ln 2 = ，1 2
则 1 + 2 3 ln
2 2
1 + ln 2 +1
= 2 ，
2
则 1 + 2 = 2 + 3ln
2 1+ 2
1 2 + ，1 2
因为 1 > 0, 2 > 0, 1 ≠ 2，所以 1 + 2 > 2 1 2，
4 4
所以 + > 2 + 3ln + 1 21 2 1 2 = 2 + 3ln 1 2 + ．1 2 1 2
设 1 2 = > 0， = 3ln 2 +
4 4 6 4 6 4
= 6ln + ，则 ′ = 2 = 2 ，
当 0 < < 23时， ′ < 0
2
，当 > 3时， ′ > 0，
所以 ( ) 2 2min = 3 = 6ln 3 + 6 = 6ln2 6ln3 + 6，
所以 1 + 2 > 2 + 3ln 1
4
2 + > 2 + 6ln2 6ln3 + 6，1 2
即 1 + 2 + 6ln3 > 2 + 6 + 6ln2．
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