资源简介

山东省青岛第二中 2025 届学高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 2}， = { |lg ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. [ 1,1] B. [1,2] C. (0,2] D. (0,1]
2 i.若 = 1+2i，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设向量 = (4,0)， = 1, 3 ，则 在 上的投影为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
4 π 3 7π.已知 tan + 8 = 2 ，则 tan 2 + 12 =( )
A. 5 3 3 3 5 3 3 311 B. 5 C. 11 D. 5
5.在 中， = 1, = 2.以斜边 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积
为( )
A. 2π3 B.
8 2π 32π 4π
3 C. 81 D. 81
6.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + 3)为奇函数， (2 )为偶函数，记 ( )的导函数为 ′( )，则下列
函数为奇函数的是( )
A. ( 1) B. ′( + 3) C. ( + 2) D. ( )
7 π π 1.已知函数 ( ) = cos 4 cos 4 + + 2 sin + 2的最大值为 4，则正实数 的值为( )
A. 3 B. 2 C. 2 或 2 D. 2 或 3
1
8 ( ) = + + 2 , < 0.已知函数 ，若存在实数 ，使得方程 ( ) = 有 4 个不同的实数根
1
、 2、 3、 4，
5 2 , ≥ 0
< < < + 且 1 2 3 4，则 1 22 的取值范围为( )5 4 3
A. 2, 43 B.
4 1
3 , 1 C. 1, 3 D.
1
3 , 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(2 1)10 = 0 + 1( 1) + 2( 1)2 + + ( 1)1010 ，则下列说法正确的是( )
A. 0 = 1 B. 4 = 6
C. 1 + 2 2 + 3 3 + + 10 10 = 20 × 39 D.
1 + 22 22 +
3
23 + +
10
210 = 1024
第 1页，共 8页
2 , 为奇数,
10.记 为数列 的前 项和，已知 = 则( )
2 + 1, 为偶数,
A. 2025 是数列 中的项 B.数列 2 1 是公比为 2 的等比数列
C. = 51 D. 1 16 若 = 2 ，则数列 的前 项和小于 +1 2
11.已知点 在圆 : ( 2)2 + 2 = 1 上， ( 2,0)，动点 满足：在 中，tan∠ = sin∠ .则( )
A. π记 的轨迹方程为轨迹： 2 = 8 ( ≠ 0) B. ∠ 的最大值为3
C. | | 2| |的最小值是 2 D. | | + 4| |(点 为坐标原点)的最小值为 7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 是 ( )定义域的子集，对 1, 2 ∈ ，将 1 2 的最大值称为 ( )在 上的振幅，记作swg ( ).

若曲线 ( ) = e + ( > 0, > 0)在点 1, (1) 处的切线斜率为 3，且swg ( ) = 2，则 = ．
[0,1]
2
13 : +
2
.如图，椭圆 1 2 2 = 1( > > 0)的右顶点 是抛物线 2:
2 = 2 的焦点，过 作 轴的垂线交 于
2
点 ，线段 与 1交于点 ， 是 1焦点, // ,则 1的离心率 = ．
14.三名运动员练习射击，甲、乙、丙三人的中靶概率分别为 0.8，0.4，0.5，若三人各射击一次，则甲、乙、
丙三人都中靶的概率为 ；至少有两人中靶的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知向量 = 3sin 4 , 1 , = cos , cos
2
4 4 ．
(1)求 2 + 2的取值范围；
(2)记 ( ) = ，在 中，角 , , 的对边分别为 , , 且满足(2 )cos = cos ，求函数 ( )的
值域．
16.(本小题 15 分)
第 2页，共 8页
在三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 ⊥平面 ．
(1)证明： 1 ⊥平面 1．
(2)已知 = 2， = 1 = 2 3． 1 1上是否存在一点 ，使得平面 1 和平面 1 1 夹角的正切值为
12？若存在，确定 位置；若不存在，说明理由．
17.(本小题 15 分)
已知定义在 R 上的函数 ( )满足 ( ) ( ) = 0，且 ( ) = log 2 2 + 1 ， ( ) = ( ) + ．
(1)若不等式 4 2 + 2 > ( 2)恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 ( ) = 4 + ln 2 + 1，若对任意的 1 ∈ [0,3]，存在 ∈ e, e22 ，使得 1 ≥ 2 ，求实数
的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 5，右焦点 与点 0,2 5 的连线与其一条渐近线平行．
(1)求双曲线 的方程；
(2)经过点 的直线 与双曲线 的右支交于点 ，试问是否存在一定点 ，使∠ = ∠ 恒成立，若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
数列 、 满足： 是等比数列， 1 = 1 = 2， 2 = 4，且 1 1 + 2 2 + + = 2 3 + 8 ∈
N+ ．
(1)求数列 、 的通项公式．
(2)求集合 = = 0, ≤ 100, ∈ N+ 中所有元素的和．
(3)对数列 ，若存在互不相等的正整数 1, 2, ( ≥ 2)，使得 1 + 2 + + 也是数列 中的项，
则称数列 是“和稳定数列”.试判断数列 、 是否是“和稳定数列”，并说明理由．
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 e
13. 2 1
14.0.16/ 4 325 ；0.6/5
15.解：(1)因为 = 3sin 4 , 1 , = cos

4 , cos
2
4 ，
2 + 2 = 3sin2 可得 4 + 1 + cos
2 4
4+ cos 4 = 3 1 cos
2
4 + 1 + cos
2
4 + cos
4
4
= cos4 2cos2 + 4 = cos2
2
4 4 4 1 + 3，

因为cos2 4 ∈ [0,1]，所以
2 + 2 ∈ [3,4]．
(2) 解：由题意得 ( ) = = 3sin , 1 cos , cos2 4 4 4 = 3sin
2
4 cos 4 + cos 4
= 3 sin + 1 cos + 12 2 2 2 2 = sin

2 +
π
6 +
1
2，可得 ( ) = sin

2 +
π + 16 2，
因为(2 )cos = cos ，由正弦定理得 2sin sin cos = sin cos ，
所以 2sin cos cos sin = sin cos ，所以 2sin cos = sin( + )，
又因为 + + = π，则 sin( + ) = sin ，且 sin ≠ 0，所以 cos = 12，
因为 ∈ (0, π) π 2π π，所以 = 3，所以 0 < < 3，则6 <

2 +
π π
6 < 2，
1
则2 < sin
π 3
2 + 6 < 1，所以函数 ( )的值域是 1, 2 ．
第 4页，共 8页
16.解：(1)证明：已知 1 ⊥平面 ， 平面 ，∴ 1 ⊥ ．
∵ ⊥ ， ∩ 1 = ，∴ ⊥平面 1．
又 平面 1，∴平面 1 ⊥平面 1．
(2)过 作 的平行线作为 轴，以 所在直线为 轴，以 1所在直线为 轴( 为坐标原点， 为正方向)建
立如图所示的空间直角坐标系．
由 ⊥ ， = 2， = 2 3， = 2 + 2 = 4，即 1 1 = = 4，∠ = 30°
设 1 = 2 (0 ≤ ≤ 2)，
则 0, 2 3, 0 ， 1 2,0,2 3 ， 1 0,0,2 3 ， 2, 2 3, 0 ， , 3 , 2 3 ， (0,0,0)，
1 = 1 = 2,2 3, 2 3 ， = 0, 2 3, 0 ．

1 = 2 + 2 3 + 2 3 = 0设平面 1 1 的法向量为 = 1, 1, 1 1 11 ，则有 ，令 = 1， = 2 3 1 = 0
易得平面 1 1 的一个法向量为 = 3, 0,1 ．
平面 1 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
= , 3 , 2 3 ， 1 = 2,0,2 3 ，
= 2 + 3 2 + 2 3 = 0，令 = 1，
1 = 2 2 + 2 3 2 = 0
∴平面 1
2
的一个法向量为 = 3, 1 , 1 ．
cos , = =
4
．
2
2 4+ 1 2
设平面 1 和平面 1 1 夹角为 ，则由平面 1
1
和平面 1 1 夹角的正切值为2，
即 tan = 1 1 22 sin = 2 cos ，又sin + cos
2 = 1 4，解得cos2 = 5，
2
∴ cos2 = 45 =
4
，解得 = 1，即 是 1 1的中点．
2
2 4+ 1 2
第 5页，共 8页
17.解：(1)由题意知，log 2 2 + 1 + log 2 2 + 1 + = 0，
2 即 2 = log2 2 + 1 log
+1 1
2 2 + 1 = log2 2 +1 = log2 2 = ，
所以 = 12，
1
故 ( ) = log 2 2 + 1 2 ，
∴ ( ) = ( ) + = log 2 2 + 1 +
1
2 ，
因为函数 = 2 + 1 为增函数，函数 = log2 在其定义域上单调递增，
所以 = log 2 2 + 1
1
单调递增，又 = 2 为增函数，
所以函数 ( )在 上单调递增，
所以不等式 4 2 + 2 > ( 2)恒成立等价于4 2 + 2 > 2，
< 4
+4
即 2 恒成立，
2
设 = 2 4 +4 +4 4，则 > 0， 2 = = + ≥ 4，当且仅当 = 2，即 = 1 时取等号，
所以 < 4，
故实数 的取值范围是( ∞,4)；
(2)因为对任意的 1 ∈ [0,3]，存在 2 ∈ e, e2 ，使得 1 ≥ 2 ，
所以 ( )在[0,3]上的最小值不小于 ( )在 e, e2 上的最小值，
( ) = log 2 + 1 + 1因为 2 2 在[0,3]上单调递增，
所以当 ∈ [0,3]时， ( )min = (0) = 1，
∴ ( ) = 4 + ln 2 + 1 ≤ 1 1 1，即存在 ∈ e, e2 ，使 ≥ 32 + 2 ln 成立，
令 ( ) = 1 32 +
1 2
2 ln , ∈ e, e ，
因为 = 1 3 2 12 在 e, e 上单调递增， = 2 ln 在 e, e
2 上单调递增，
∴ ( )在 e, e2 上单调递增，
∴ ( ) 1 3 1min = e = 2 e + 2，
∴ ≥ 1 e3 + 12 2，
1 1
所以实数 的取值范围是 32 e + 2 , + ∞ ．
第 6页，共 8页
18.解：(1)设 ( , 0) ，由条件知 的斜率等于 ，
2 5
即 =

，又∵ =

= 5，
2 = 2 + 2，
∴ = 2， = 1，
∴ 2
2
双曲线 的方程为： 4 = 1．
(2)存在点 满足∠ = ∠ 恒成立，且点 在 轴上．
理由如下：设点 ( , 0)，∵ 过点 ( 5, 0)，∴设直线 : = + 5，
= + 5
由 2 ，消去 得(4 2 1) 2 + 8 5 + 16 = 0， = 64( 2 + 1) > 0， 2 4 = 1
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)
由韦达定理得 1 + 2 =
8 5 16
4 2 1，①， 1 2 = 4 2 1，②
∵ ∠ = ∠ ，∴ 的斜率之和为 0，

即 1 2 + = 0，因为 1 = 1 + 5， 2 = 2 + 5，1 2
所以代入整理得：2 1 2 + ( 5 )( 1 + 2) = 0，③
32 8 5 ( 5 )
将①②代入③可得4 2 1 4 2 1 = 0，即 8 ( 5 1) = 0，④
∵ 5④式对任意实数 都成立，∴ = 5 ，
∴ ( 55 , 0)，即存在点 满足∠ = ∠ 恒成立，且点 在 轴上．
19.解：(1)根据题意可知 1 1 = 2 1 3 1 + 8，所有可得 1 = 2，
又因 是等比数列，所以设 2 的公比为 ，则 = = 2，1
所以 = 1 1 = 2 ，
因 1 1 + 2 2 + + = 2 3 + 8 ∈ N+ ①，
当 ≥ 2 时， 1 1 + 2 2 + + 1 1 = 2 1 3 1 + 8 ∈ N+ ②，
①式减去②式可得 = 2 3 2 1 3 1，
将 = 2 ，可得 2 = 2 1 3 2 2 1 3 2 ，
将之化简可得 1 = 3, ( ≥ 2)，
所以数列 是 1 = 2 为首项，公差为 3 的等差数列，
故 = 3 1．
第 7页，共 8页
(2)由题意知集合 = = 0, ≤ 100, ∈ N+ ，
则化简转化为 = , , ≤ 100, ∈ N+ ，
设 前 100 =
100× 1+ 100 = 100×(2+300 1)项和为 100 2 2 = 15050，
100 100
数列 1 1 2 1 2 前 100 项和为 100 = 1 = 1 = 2
101 2，
且 = ( , ≤ 100), , ∈ N+解之可得 1 = 2, 3 = 8, 5 = 32, 7 = 128，
所以集合 所有元素之和为 100 + = 15050 + 2101100 2
= 2101 + 15048 1 + 3 + 5 + 7 = 2101 + 14878．
(3)数列 是“和稳定数列”，理由如下：
当 = 3 , ∈ N 时， 1 + 2 + + 是 3 的正整数倍，
故一定不是数列 中的项；
当 = 3 1, ∈ N 时， 1 + 2 + + = 1( 3)，不是数列 中的项；
当 = 3 + 1, ∈ N 时， 1 + 2 + + = 2( 3)，是数列 中的项；
综上，数列 是“和稳定数列”， = 3 + 1, ∈ N ；
数列 不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：1 ≤ 1 < 2 < < ，则 1 + 2 + + > ，
且 1 2 +1 +1 1 + 2 + + ≤ 1 + 2 + + = 2 + 2 + + 2 = 2 2 < 2 = +1，
故 1 + 2 + + 不是数列 中的项．
数列 不是“和稳定数列”．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑