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天津市河北区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.某同学记录了当地月最后天每天的最低气温单位：，分别为，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数，递减区间是 B. 是奇函数，递减区间是
C. 是偶函数，递增区间是 D. 是偶函数，递增区间是
6.已知等比数列是递增数列，其前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
8.若函数，函数的最小正周期为，则；当时，在区间上单调递增；当时，为函数的一个对称中心；若在上有且只有两个零点，则其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
9.设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若，则复数的虚部是 ．
11.已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为 ．
12.已知抛物线：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个公共点，则点到直线的距离为 ．
13.甲箱中有个黑球，个蓝球和个红球，乙箱中有个黑球，个蓝球和个红球除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同先从甲箱中随机取出球放入乙箱，再从乙箱中随机取出球．分别以，，表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以表示从乙箱取出的球是红球的事件，则 ， ．
14.如图，在平行四边形中，为对角线与的交点，为直线与的交点，为直线与的交点，若，，，且，，，则 ， ．
15.对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，若对于任意，都有，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，内角，，成等差数列．
求的值及的面积；
求的值．
17.如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点，，．
证明：；
求平面与平面的夹角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.已知直线经过椭圆：的右焦点为，且被椭圆截得的线段长为．
求椭圆的标准方程；
椭圆的下顶点为，是椭圆上一动点，直线与圆：相交于点异于点，关于的对称点记为，直线与椭圆相交于点异于点设直线，的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由．
19.已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，．
求数列和的通项公式：
求；
记，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
20.已知函数
若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
当时，讨论函数的单调性；
当时，证明：对于任意的，，有．
参考答案
1.
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14.
15.
16.【详解】由角，，成等差数列，可得，
结合三角形内角和定理，可得，
由余弦定理，代入已知条件得：
，化简得，
解得，或舍去，所以，
又因为，所以，
由三角形面积公式，得：．
利用正弦定理，可得，
，则角为锐角，
所以，
所以，，
故．

17.【详解】
如图，连接与交点为，因为，，
，，
由，得，，，
所以，，
所以，
由，，
所以，
因为底面，平面，
因为，平面，
平面，又因为平面，
所以．
因为，，两两垂直，故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，
，
设平面的法向量，
则，即
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则
，，，
，，
设平面的法向量，
则，即
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面的夹角为，
．

18.【详解】根据题意，，代入椭圆方程得，
得，所以，再根据，可得，
所以椭圆的标准方程为；
据题意，直线的斜率存在，且不为，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，整理可得，所以或．
所以点的坐标为，
联立和，
整理可得，所以或．
所以点的坐标为．
显然，是圆的直径，故，所以直线的方程为．
用代替，得点的坐标为，即．
直线的斜率，
直线的斜率．
所以，为定值，得证．

19.【详解】设等差数列的公差为，因为，，解得，
所以，．
设的公比为，因为，，
解得，所以，．
因为，
．
因为，．
令，
则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，数列的最大项为，
因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为．
20.【详解】，则．
曲线在点处的切线方程为，
则，解得，
由，解得，
，其中，函数定义域为，
则，
令，解得或，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
若，则当时，，单调递减，
当和时，，单调递增，
若，则在上恒成立，单调递增，
若，则当时，，单调递减，
当和时，，单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，，
对于任意的，有
因为，所以即得；
所以，进而得出
所以
所以．
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