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高一上册湘教版数学必修第一册
第1章 集合与逻辑
集合
1.1.2 子集和补集
基础题型训练
题型1 集合基本关系的判断
1.（2025山东日照阶段检测）已知集合或， ，则( )
A. B. C. D.
2. （多选/2025广东实验中学期中）如下四个结论中，正确的有( )
A. B. C. D.
3.（2024甘肃兰州一中阶段检测）已知集合， ，
， ，则( )
A. B.
C. D.， 没有公共元素
4.（2025上海市延安中学月考）已知全集 ，则下面能正确表示集合
和,0,关系的 图是( )
A. B. C. D. 5.5.（2025山东泰安第一中学月考）下列每组集合是相等集合的是( )
A.，
B.，
C.， }
D.，
题型2 由集合基本关系求参数
6. （2025甘肃武威第八中学期中）若［-1,2），则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.（2025甘肃武威检测）已知集合,4,，,4,，若，则 的值是( )
A.1或2 B.或0 C.1 D.
8. （2025河南省新高中创新联盟模拟）已知集合,, ，若，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9. （多选/2025甘肃天水秦安县第一中学期末）已知集合,, ,2,，若，则 的值可以为( )
A. B.0 C.1 D.2
10.（2025甘肃庆阳第一中学月考）若集合,，，且 ，则实数 的值是_______.
11. 已知或 .
（1） 若或，，求 的取值范围；
（2） 若，，求 的取值范围.
12.已知集合， .
（1） 若，求实数 的取值范围.
（2） 若，求实数 的取值范围.
（3） 集合，能否相等？若能，求出 的值；若不能，请说明理由.
题型3 子集和真子集的个数
13.（2025甘肃省金昌市永昌县第一高级中学月考）已知集合， ，则集合,, }的子集个数为( )
A.4 B.8 C.10 D.16
14.（2025甘肃省永靖县多校阶段性测试）若集合 ，,,，则集合 的真子集个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
15.（2025甘肃酒泉摸底考试）满足,,0,1, 的集合 的个数为( )
A.3 B.7 C.8 D.15
16.（多选/2025甘肃省嘉峪关第二中学期中）集合 有且仅有两个子集，则 的值为( )
A.1 B. C. D.
17.已知集合，2，3，4，，则至少含一个偶数的集合 的子集个数为____.
题型4 补集运算
18.（2025甘肃兰州第一中学诊断）设全集，集合满足 ，则( )
A. B. C. D.
19.（2025江苏省苏州大学附属中学月考）设全集, ，集合
,，则 ( )
A.,} B., }
C.,} D., }
20.设全集，集合,,，,，则 的值为( )
A. B.或 C. D.2
21.（2025山东东营检测）已知，，且，则实数 的取值范围为________.
22.大招2，5已知一元二次方程且，求 为何实数时，此方程无实数根.
参考答案
1.C
【解析】 在数轴上表示出两集合,如图,显然 .
2.AC
【解析】 因为空集是没有任何元素的集合,所以 （空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集）正确, 错误,正确, 错误.
3.C
【解析】 将两个集合中元素的特征性质统一形式,得 , ,,,,},由 ,得为整数,为奇数,故集合,的关系为 .
4.C
【解析】 因为集合, （因式分解法解一元二次方程）,而,0, ,所以是的真子集.选项C中的 图符合.
5.D
【解析】 ,,,0,1, ,故 ；
为点集,为数集,故 ；
,,故 ；
数集和数集元素一样,故 .
6.B
【解析】 ,由数轴可得.注意包含端点值2,此时 满足题意
7.C
【解析】 由题设得,即,可得或 ,
当时, ,满足题设；
当时, ,不符合集合元素的互异性.所以 .
8.C
【解析】 由,得 （根据集合的包含关系列不等式组求解,注意不要忘
记集合元素的互异性）解得且 ,故实数的取值范围是 .
9.BD
【解析】 分类讨论,结合集合元素的互异性求参数值即可.
若,则,则, ,满足题设.
若,则或 （易忽略互异性检验致错）,
当时,, ,满足题设；
当时,集合 不符合元素的互异性,舍去.
所以或 .
10.或0
【解析】 当 （空集优先考虑）时, ,符合题意；
当时, ；
当时, .
综上,的值为 或0.
11.(1).【答案】即的范围小于 的范围.
当,即时,,满足 ；
当,即时,要使,由图1得
解得 .
综上所述,的取值范围为或 }.
(2).【答案】 即的范围小于 的范围.要使,优先考虑 是否为空集.
当,即时, ,满足 ；
当,即时,要使,由图2
得 （注意此情况无解）或,解得.又因为,所以 .
综上所述,的取值范围为 .
12.【答案】当时,；当时,}；当 时,
}.
(1).【答案】 若,显然,则当时,解得所以 ．当时,解得 ．
综上所述,当时,实数的取值范围为或 ．
(2).【答案】 若,当时, ,符合题意；
当时,解得；当时,解得 ．
综上所述,当时,实数的取值范围为 ．
(3).【答案】 由可知,当且仅当时, ．
13.D
【解析】由题意,,故其子集的个数为 .
14.C
【解析】 由题意可知,,,所以集合的真子集个数为 .
15.B
【解析】 由,整理可得,解得或 ,
则,,,0,1, .
方法一:列举法.集合可以为,,,,,,0,,,1,,,,0,,, ,1, ,,0,1, ,共7个.
方法二 由题意得集合的元素一定包括,1,且不能全部包括,0,3,所以集合是 ，与的真子集的并集,（的真子集的个数即集合的个数）所以集合 的个数为 .
方法三 设,,所以,0,,可得集合的个数为 .
方法四：公式法.直接利用大招公式,得 .
16.AD
【解析】 集合为关于的方程 的解集,
又集合有且仅有两个子集,所以集合 有且仅有一个元素.
当,即时,由,解得,即 },符合题意；
当,即时,,解得,此时 },符合题意.综上可得,或 .
17.24
【解析】 依据“至少含一个偶数”分类列举：只含有一个偶数、含有两个偶数.
偶数中只含有2的子集有,,,,,,, ,共8个；
偶数中只含有4的子集有,,,,,,, ,共8个；
偶数中含有2,4的子集有,,,,,,, , 共8个.
因此,至少含一个偶数的集合的子集个数为 .
含5个元素的集合,子集有 （个）,一个偶数都不含时,集合有3个元素,子集有（个）,所以至少含一个偶数（正难则反思想）的集合的子集个数为 .
18.C
【解析】 因为全集,,所以 ,根据元素与集合的关系可知,A,B,D错误,C正确.
19.B
【解析】 ,,,, },
所以,, }.
20C
【解析】 由补集的定义可知 的可能取值为3或4,
当,即时,,而 ,不满足题意；
当,即时,,此时, ,满足题意.
综上, .
21.
【解析】 ,因为,所以,解得 .
22.【答案】 设全集为,集合为方程在 上无实根时的取值},则集合为方程在 上有实根时的取值},于是将方程变形整理得 .
若方程在上有实数根,则由得 ,即,由此解得,即},所以 或 }.故当或时,方程在 内无实数根.

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