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高一上册湘教版数学必修第一册
第1章 集合与逻辑
1.2 常用逻辑用语
1.2.2 充分条件和必要条件
基础题型训练
题型1充分、必要条件的判断
1.（2025甘肃白银靖远县第四中学检测）在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.（2025浙江杭州学军中学月考）已知,，则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.（2025甘肃张掖部分学校期中）设，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.（2025甘肃兰州一模）已知集合,0,, ，则下列判断正确的是( )
A.是 的充分条件
B.是 的既不充分也不必要条件
C.是 的必要条件
D.是 的充要条件
5.（2025山东淄博期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是 的必要条件，是 的必要条件，现有下列命题：
是的充要条件； ②是 的充分不必要条件；
③是的必要不充分条件； ④是 的充分不必要条件.
所有真命题的序号是( )
A.①④ B.①② C.②③ D.③④
题型2 充分、必要条件的探求
6.（2025河北石家庄二中月考）使得“ ”成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
7.（多选/2025甘肃天水第一中学月考改编）大招2关于的方程 至少有一个负根的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
8.（2025上海市行知中学期末） 的一个充要条件是( )
A.， B. C.， D.
9.（2025辽宁阜新检测）若，都是实数，试从，， 中分别选出合适的条件填到横线上，使之成立.使，都为0的必要条件是______；使， 都不为0的充分条件是____.（填序号）
题型3已知充分、必要条件求参数
10.（2025吉林长春期末）大招2已知,，若是 的充分条件，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.（多选/2025湖北省武汉市第六中学月考）大招2若是 的必要不充分条件，则实数 的值可以为( )
A.2 B. C. D.0
12.（2025山东省济南市第一中学月考）已知集合 ,
,，是否存在实数，使得是 成立的 ___？
（1） 是否存在实数，使得是成立的充要条件？若存在，求出实数 的值，
若不存在，请说明理由.
（2） 请在①充分不必要条件、②必要不充分条件中任选一个补充在上面问题中的横线上.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的 不存在，请说明理由.
题型4 充分必要条件的证明
13.（2025安徽省淮南第四中学段考）已知，求证: 成立的充要条件是 .
提示: .
14.（2024重庆八中期中）已知的三边长分别为,,，其中，求证： 为等边三角形的充要条件是 .
参考答案
1.B
【解析】 若甲的生肖不是马,则甲的生肖未必不属于六畜；若甲的生肖不属于六畜,则甲的生肖一定不是马,所以“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件.
2.B
【解析】 若,,满足,但 不成立；
若,则,则 成立,
所以“”是“ ”的必要不充分条件.
3.B【解析】 利用集合的包含关系判断.解不等式,得 .
因为 ,
所以“”是“ ”的必要不充分条件.
4.D
【解析】 当时,成立,不成立,所以不是 的充分条件；
因为,0,,,所以 ,因为,所以,所以,所以是 的充分条件；
因为,0,,,所以,0,1,2,,当时, 成立, 但不成立,所以不是 的必要条件；
因为,,所以,所以,所以是 的充分条件,由,可得,所以,所以是 的必要条件,所以是 的充要条件.
5.B
【解析】 由题意画出关系示意图,如图.由,,形成闭环知,,,故是的充要条件,是的充要条件,是 的充要条件,故①正确,③④错误；易得,,故是 的充分不必要条件,②正确.
6.D
【解析】 探求使不等式成立的必要不充分条件,即寻找大于该范围的选项.由得,所以 是选项中对应集合的真子集.
是充要条件；
,即是 的充分不必要条件；
与无包含关系,即是 的既不充分也不必要条件；
,即是 的必要不充分条件.
7ABC
【解析】 探求使等式成立的充分不必要条件,即寻找在解集范围内,且小于该范围的选项.
当时,方程为,解得 ,此时方程的根为负根；
当时,方程为 ,
当方程有两个负根时,则有解得 ；
当方程有一个负根一个正根时,则有解得 .
综上所述,当关于的方程至少有一个负根时, （充要条件）,比 范围小的选项有A,B,C.
8.D
【解析】 ,因此是 的充要条件.（对不等式进行等价变形即得充要条件）
由,可得或,所以是 的充分不必要条件.,和,都为 的既不充分也不必要条件.
9.①②
【解析】 即或,即, 中至少有一个为0；
即,互为相反数,则, 可能均为0,也可能为一正一负；
即与同号,且, 都不为0.
综上可知,“,都为0”能推出,③能推出“, 都不为0”,
所以使,都为0的必要条件是,使, 都不为0的充分条件是③.
10.B【解析】 因为,所以或3,因为是的充分条件,所以 ,所以
则 即 .
11.BCD【解析】 由,解得或 .
因为是的必要不充分条件,所以是,的真子集,则 可
以是 ,或 .
当 时,易得 ；
当时,可得 ；
当时,可得 .
12.(1)【答案】 若存在实数,使得是成立的充要条件,则 .
故方程组无解,故不存在实数,使得是 成立的充要条件.
(2）【答案】 因为,所以,故 .
选①充分不必要条件.
由题意得,故或解得,即的取值范围为 .
选②必要不充分条件.
由题意得,故或解得,且,故 的取值范围为
.
13.【答案】 充分性:若,则 ,即充分性成立.
必要性:若 ,而 ,则,又 ,由,得且,即,且 ,因此,则 ,即必要性成立.综上,成立的充要条件是 .
14.【答案】 充分性：当时, 可化为
,即 ,所以 ,则,所以,即 ,则 为等边三角形,充分性成立.
必要性：为等边三角形,且,所以 ,则 ,必要性成立.故为等边三角形的充要条件是 .

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