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专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题
例1　B　[解析] 对人受力分析如图甲所示,则有FN+FT=mg,其中工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力,A错误,B正确;对左边滑轮受力分析如图乙所示,则有F'T=,随着将重物缓慢提起,θ逐渐增大,则F'T逐渐增大,C、D错误.
例2　D　[解析] 对小球受力分析,如图所示,在小球沿斜面缓慢上升过程中,小球受到的合力为零,当拉力FT与支持力FN垂直时,拉力最小,最小值为FTmin=mgsin α,对小球和斜面体整体受力分析,根据平衡条件可知F=FTmincos α=mgsin αcos α=mgsin 2α,故D正确.
例3　B　[解析] 设两绳子对圆柱体的拉力的合力为F,绳子拉力为FT,两绳子之间的夹角为2θ,则2FTcos θ=F,可得FT=,画出矢量三角形,如图所示,G为圆柱体重力,FN为所受支持力.因为F和FN的夹角保持不变,矢量三角形处在以斜边中点(初始时F中点)为圆心的外接圆中,在将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中,可判断出FN先增大后减小,F逐渐减小,进而推出FT不断减小.
例4　AC　[解析] 小球受力如图甲所示,由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成如图乙所示闭合三角形,由图可知力的三角形与几何三角形△AOO'相似,则有==,得FN=、FT=,故A正确,B错误;由于FN=,FT=,其中mg、R、h均不变,L逐渐减小,则由上式可知,FN不变,FT变小,故C正确,D错误.
例5　C　[解析] 对水桶初始状态受力分析,作出力的矢量三角形如图所示,分析可知,在转动过程中,F1与F2的夹角始终不变,因此F1与F2夹角的补角α始终保持不变,重力mg与F2之间的夹角的补角β逐渐增大,当增大至90°时将继续增大,则可知重力mg与F1之间夹角的补角γ从90°开始逐渐减小,直至为0,根据正弦定理可得==,可知为定值,而sin γ始终减小,则F2始终减小,但由于β角从锐角增大至90°后将继续增大一定角度,则可知,sin β先增大后减小,因此可知F1先增大后减小,故选C.
例6　AB　[解析] 设两部分绳间的夹角为θ,绳子拉力为FT,由平衡条件得2Fcos=mg,绳的右端上下移动及改变绳子两端高度差都不会改变两部分绳间的夹角θ,故绳子拉力FT不变,A正确,C错误;两绳间的夹角与衣服的质量大小无关,D错误;将杆N向右移一些,则两部分绳间的夹角θ变大,绳子拉力FT变大,B正确.
变式1　B　[解析] 使QP保持水平,根据对称性可知,PB、PA与水平方向的夹角相等,设为θ,以滑轮P为研究对象,根据受力平衡可得FTb=2FTacos θ,设小球质量为m,则有FTb=mg,设a绳长度为L,A、B两端的竖直距离为h,根据几何关系可得sin θ=,将轻绳a的B端沿水平天花板缓慢向右移,同时调节滑轮Q的高度,使QP保持水平,可知θ保持不变,b绳对滑轮P的作用力保持不变,大小为FP=FTb=mg,根据FTa==,可知a绳上拉力不变,故A、C错误,B正确;b绳对滑轮Q的作用力不变,大小为FQ=FTb=mg,故D错误.
例7　A　[解析] 分析可知,摩擦力最大时刚好不滑动,此时对应的动摩擦因数最小.整体分析有FN=2mg、Ff=F板,设O1O2与水平面的夹角为θ,对甲,由平衡条件得F板=,联立解得Ff=,可知θ越小,Ff越大,由几何关系得,θ最小为30°.则Ff==μFN=μ·2mg,解得μ=,故选A.
变式2　A　[解析] 解法一:对木箱受力分析,木箱受到重力mg、拉力F、地面的支持力FN和滑动摩擦力Ff,木箱做匀速直线运动,根据平衡条件得Fcos θ=Ff,Fsin θ+FN=mg,又Ff=μFN,联立解得F==,其中tan α==,即α=60°,由数学知识可知,当θ+α=90°,即θ=30°时,F有最小值,最小值为Fmin== N=50 N,故A正确.
解法二:四力平衡转化为三力平衡,再结合图解法分析.Ff与FN的合力F合方向不变,当F的方向与F合的方向垂直时,F最小,如图所示.设F合与竖直方向的夹角为β,则tan β==μ,解得β=30°,F的最小值Fmin=mgsin β=mg=50 N,此时θ=β=30°,故A正确.专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题
1.B　[解析] 斜坡倾角越大,则“天工”越容易下滑,只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑,在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑,对30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析,有μmgcos 30°≥mgsin 30°,解得μ≥,B正确.
2.B　[解析] 以球为研究对象,受重力mg、轻绳对球的拉力和墙壁对球的支持力,如图所示,根据平衡条件,有FT=、FN=mgtan θ,缩短绳长AC,根据几何关系可知θ增大,则绳的拉力增大,小球处于静止状态,受到的合力依然为0,故选B.
3.C　[解析] 相框受力分析如图所示,受到重力mg和两个大小相等的细绳拉力F的作用而处于静止状态,当F=Fmax=10 N,对应于细绳不被拉断的最小长度L,作细绳拉力的合力F合,如图所示,由平衡条件得F合=10 N,所以两绳拉力的夹角是120°,绳子的最小长度L== m= m,故选C.
4.A　[解析] 设梯形底角为θ,对金砖进行受力分析,如图所示,商家需要无论金砖质量如何,都不能夹起金砖,则应有2Ffsin θ=2μFNsin θ≤2FNcos θ,解得θ≤53°,故选A.
5.C　[解析] 轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点,可知轻杆对C端的支持力方向沿杆的方向,由于轻绳拉力、轻杆的弹力与竖直向下拉力F互成120°角,根据共点力平衡条件可知,此时弹性轻绳的拉力大小为FT=F,故A、B错误;对C端受力分析如图所示,由相似三角形可知==,若缓慢增大竖直向下的拉力F,则在OC到达水平位置之前,由于AO、OC长度不变,可知轻杆OC对C点的作用力FN变大;由于AC长度变大,则弹性轻绳的伸长量变大,轻绳AC的拉力FT增大,故C正确,D错误.
6.AC　[解析] 对两物体受力分析,考虑质量为m1的物体的摩擦力向上和向下的两个临界,根据公式有m2g+μm1gsin 37°=m1gcos 37°、m2'g=μm1gsin 37°+m1gcos 37°,解得=2,=,故选A、C.
7.D　[解析] 对衣架受力分析如图所示,因为同一根绳子上的拉力大小处处相等,所以衣架两侧绳子是对称的,与竖直方向夹角是相等的.设绳子与水平方向的夹角为θ,根据受力平衡可得F1=F2=,由于m8.CD　[解析] 在圆环顺时针缓慢旋转90°过程中,保持两手臂伸直状态,两手拉力夹角不变,由三力平衡推论知三力平移后会组成一闭合三角形,如图所示,F1表示左手拉力,F2表示右手拉力.由图可知左手拉力先变大后变小,右手拉力一直变小.故C、D正确,B、C错误.
9.D　[解析] 根据题意,对小球受力分析,如图甲所示,设弹簧与斜面的夹角为α,斜面倾角为θ,由平衡条件有FTcos α=magsin θ,FN+FTsin α=magcos θ,又有FT=k(L-L0),斜面缓慢向左移到虚线处,α增大,则FT增大,FN减小,弹簧长度增大,故A、B错误;根据题意,对斜面受力分析,如图乙所示,结合A、B分析,由牛顿第三定律可知,FN'减小,由平衡条件可得,地面对b的支持力FN1减小,地面对b的摩擦力Ff减小,故C错误,D正确.
甲
乙
10.AC　[解析] 同一根轻绳上弹力大小相等,根据对称性可知,左右两侧绳与竖直方向夹角相等,令夹角为θ,绳长为L,根据几何关系有sin θ==0.6,对绿植进行受力分析有2FTcos θ=Mg,当将P点向下移动0.3 m过程中,夹角θ不变,则弹力不变,解得FT=15 N<20 N可知,轻绳不会断裂,故A正确;当Q点向右移动后,结合上述,OQ间距增大,则有sin θ=0.9,解得FT= N>20 N,可知此时轻绳断裂,故B错误;给绿植浇水0.7 kg,此时绿植总重力为31 N,结合上述解得FT=19.375 N<20 N,可知此时轻绳不会断裂,故C正确;给绿植浇水0.9 kg,此时绿植总重力为33 N,结合上述解得FT=20.625 N>20 N,可知此时轻绳断裂,故D错误.
11.AC　[解析] 对小球B进行分析,B受水平拉力、重力和支持力,三个力作用下处于平衡,则三个力构成首尾相连的矢量三角形,如图所示,将小球B缓慢拉至物体A的最高点C过程中,图中θ变小,可知支持力FN'变小,拉力F也变小,根据牛顿第三定律,小球B对物体A的压力也减小,故C正确,D错误;设斜面倾角为α,A、B质量分别为M、m,对A、B整体分析,受拉力、重力、支持力和静摩擦力,根据平衡条件有Ff=(M+m)gsin α+Fcos α,FN=(M+m)gcos α-Fsin α,结合上述可知,拉力F减小,则静摩擦力Ff减小,斜面对A的支持力一直增加,故A正确,B错误.
12.C　[解析] 若A保持竖直,且下端沿着B的表面向上缓慢移动到B的最高点,对小球受力分析如图甲所示,可知小球所受A的弹力、B的弹力都一直减小,故A、B错误;若整个装置绕过O点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢旋转90°的过程中,对小球受力分析如图乙所示,小球所受A的弹力先增大后减小,所受B的弹力一直减小,故C正确,D错误.
13.B　[解析] 对球受力分析,如图所示,竖直方向由平衡条件有Ffcos θ=FNsin θ+mg,则Ffcos θ>mg,所以每个手指对球的摩擦力大小Ff>,故A错误;因为Ff≤μFN,化简可得FNsin θ+mg≤μFNcos θ,即FN≥,故每个手指对球的压力最小值为,故C错误;因为FNsin θ+mg≤μFNcos θ,所以FNsin θ<μFNcos θ,可得μ>tan θ,根据几何关系得cos θ>,由图可知cos θ=,所以>,故L的取值范围为L>,故B正确;当球受到手指的静摩擦力时,Ff≠μFN,手指对球的压力增大到原来的2倍时,摩擦力不增大到原来的2倍,故D错误.专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　动态平衡问题
1.动态平衡:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢的变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述.
2.做题流程
考向一　解析法
对研究对象进行受力分析,画出受力示意图,根据物体的平衡条件列方程,得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系),最后根据自变量的变化确定因变量的变化.
例1 [2023·海南卷] 如图所示,工人利用滑轮组将重物缓慢提起,下列说法正确的是 (　)
A.工人受到的重力和支持力是一对平衡力
B.工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力
C.重物缓慢拉起过程,绳子拉力变小
D.重物缓慢拉起过程,绳子拉力不变
考向二　图解法
在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上,若一个力为恒力,另一个力方向不变或另一个力大小不变或另两个力方向的夹角不变,可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况,图解法也常用于求极值问题.
例2 [2024·吉林长春模拟] 如图所示,倾角为α的斜面体置于光滑水平面上,质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上,斜面足够长,重力加速度为g,现用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动,小球沿斜面缓慢升高.当细线拉力最小时,推力F等于 (　)
A.mgcos α
B.mgsin α
C.mgcos 2α
D.mgsin 2α
例3 [2022·河北卷] 如图所示,用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点,将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平,绳与木板之间的夹角保持不变,忽略圆柱体与木板之间的摩擦,在转动过程中(　)
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力均先增大后减小
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
【技法点拨】
类别 特点 图例 分析说明
动态三角形 一个力恒定,另一个力方向不变 利用一力恒定,一力方向不变化,可以作出动态三角形,分析方向变化的那个力的线段长度变化,根据不同位置判断另一力的大小变化
一个力恒定,另一个力大小不变 一个力恒定,另一个力大小不变,以恒力末端为圆心作出矢量动态三角形,分析两个变力的大小与方向
动态圆 一力恒定,另外两力方向一直变化,但两力的夹角不变 利用两力夹角不变,可以作出动态圆,恒力为圆的一条弦,根据不同位置判断各力的大小变化
考向三　相似三角形法
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算.注意:构建三角形时可能需要画辅助线.
例4 (多选)[2024·江西鹰潭模拟] 如图所示,圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上,在O点正上方有一光滑的小滑轮,小滑轮到轨道上B点的距离为h,轻绳的一端系一质量为m的小球,靠放在光滑圆形轨道上的A点,A点到小滑轮的距离为L,另一端绕过小滑轮后用力拉住.重力加速度大小为g,则(　)
A.若使小球静止在A点,圆形轨道对小球的支持力大小FN=
B.若使小球静止在A点,绳对小球的拉力大小FT=
C.缓慢地拉绳,在使小球由A到B的过程中,圆形轨道对小球的支持力大小FN不变,绳对小球的拉力大小FT变小
D.缓慢地拉绳,在使小球由A到B的过程中,圆形轨道对小球的支持力大小FN变小,绳对小球的拉力大小FT先变小后变大
[反思感悟]


考向四　正弦定理法(拉密定理)
如图所示,物体受三个共点力作用而处于平衡状态,则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比,即==.
例5 [2024·湖南邵阳模拟] 如图所示,送水工人用推车运桶装水,到达目的地后,工人抬起把手,带动板OA转至水平即可将水桶卸下.水桶对板OA、OB的压力分别为F1、F2,若桶与接触面之间的摩擦不计,∠AOB为锐角且保持不变,在OA由竖直缓慢转到水平过程中 (　)
A.F1一直增大 B.F1先减小后增大
C.F2一直减小 D.F2先增大后减小
[反思感悟]


考向五　“晾衣绳类”活结问题
如图所示,“活结”两端绳子拉力大小相等,因结点所受水平分力相等,即Fsin θ1=Fsin θ2,故θ1=θ2=θ,根据几何关系可知,sin θ==,若两杆间距离d不变,则上下移动悬线结点,θ不变,若两杆距离d减小,则θ减小,由2FTcos θ=mg,可知FT=也减小.
例6 (多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点, 悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件, 当衣架静止时,下列说法正确的是 (　)
A.绳的右端上移到b',绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
[反思感悟]


变式1 [2024·河北保定模拟] 如图所示,P为质量不计的动滑轮,Q为高度可调节的滑轮,绕过滑轮Q的轻绳b一端连接在P上,另一端吊着小球,绕过动滑轮的长度一定的轻绳a,一端固定在A点,另一端在水平天花板上,现将轻绳a的B端沿水平天花板缓慢向右移,同时调节滑轮Q的高度,使QP保持水平,则在移动过程中 (　)
A.a绳上拉力变大
B.a绳上拉力不变
C.b绳对滑轮P的作用力变大
D.b绳对滑轮Q的作用力变小
[反思感悟]

　平衡中的临界和极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类:
(1)由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力.
(2)绳子恰好绷紧,拉力F=0.
(3)刚好离开接触面,支持力FN=0.
2.极值问题
平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
3.解题方法
(1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小.
(2)数学分析法:通过对问题的分析,根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析方法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值.
例7 [2024·浙江金华模拟] 如图所示,甲,乙两柱体的截面分别为半径均为R的圆和半圆,甲的右侧顶着一块竖直的挡板.若甲和乙的质量相等,柱体的曲面和挡板可视为光滑,开始两圆柱体柱心连线沿竖直方向,将挡板缓慢地向右移动,直到圆柱体甲刚要落至地面为止,整个过程半圆柱乙始终保持静止,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为(　)
A. B.
C. D.
变式2 质量为m=10 kg的木箱置于水平地面上,它与地面间的动摩擦因数μ=,g取10 m/s2,其受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F,如图所示.为使木箱做匀速直线运动,拉力F的最小值以及此时θ分别是(　)
A.50 N和30°
B.50 N和60°
C. N和30°
D. N和60°专题四　动态平衡问题、平衡中的临界和极值问题 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·山东卷] 如图所示,国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡.若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 (　)
A. 　　　　B.
C. 　　　　D.
2.[2024·浙江丽水模拟] 如图所示,一质量分布均匀的球体质量大小为m,用轻绳AC悬挂在竖直墙壁上的A点,使其保持静止.墙壁光滑,球与竖直墙壁的接触点为B,细绳与墙壁的夹角为θ,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　)
A.轻绳AC的拉力为FT=mgcos θ
B.竖直墙壁对小球的支持力为FN=mgtan θ
C.缩短绳长AC,绳的拉力减小
D.缩短绳长AC,小球受到的合力增大
3.[2024·湖北黄冈模拟] 如图所示,用一根轻质细绳将一重力大小为10 N的相框对称地悬挂在墙壁上,相框上两个挂钉间的距离为0.5 m.已知绳能承受的最大张力为10 N,为使绳不断裂,绳子的最短长度为 (　)
A.0.5 m
B.1.0 m
C. m
D. m
4.某商场为应对经济不景气、客源不足,推出了用筷子夹金砖的游戏来刺激消费.商家为了不让顾客夹起金砖,将金砖的竖直剖面设计为等腰梯形,并要求顾客按如图所示方向夹金砖,若筷子与金砖之间的动摩擦因数为0.75(滑动摩擦力等于最大静摩擦力),则梯形的底角必须满足(　)
A.小于53°
B.大于53°
C.小于60°
D.大于60°
5.[2024·湖南邵阳模拟] 如图所示,一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点,轻杆的另一端C用弹性轻绳连接,轻绳的另一端固定在竖直墙上的A点.某人用竖直向下、大小为F的拉力作用于C点,静止时AOC构成等边三角形.下列说法正确的是 (　)
A.此时弹性轻绳的拉力大小可以小于F
B.此时弹性轻绳的拉力大小为2F
C.若缓慢增大竖直向下的拉力,则在OC到达水平位置之前,轻绳AC的拉力增大
D.若缓慢增大竖直向下的拉力,则在OC到达水平位置之前,轻杆OC对C点的作用力减小
6.(多选)[2024·山东泰安模拟] 如图所示,将一个半球体置于水平地面上,经过球心有一内径很小的光滑竖井,柔软光滑的轻绳绕过井口,一端连着质量为m2的物体竖直悬于竖井中,另一端沿着球面与质量为m1的物体相连,两物体均可看成质点,整个装置处于静止状态.已知此时质量为m1的物体与半球体的球心O的连线与水平方向夹角θ=37°(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8),质量为m1的物体与半球面的动摩擦因数为0.5,并假设质量为m1的物体所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则下列说法正确的是 (　)
A.的最小值为 B.的最小值为
C.的最大值为2 D.的最大值为
7.[2024·河北唐山模拟] 如图所示,光滑轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定于竖直杆上的a、b两点,一质量为m的衣服静止悬挂于绳上某点;若在绳上另一点继续悬挂另一质量为M的衣服,已知mA
B
C
D
8.(多选)[2024·广东深圳模拟] 青少年航空学校的学员会定期开展防眩晕训练,如图甲所示.若某学员训练时,左、右手拉住圆环,处于平衡状态,左手刚好在水平状态,右手与水平方向有一定夹角,不考虑腿部受到的作用力,等效为如图乙模型,在圆环顺时针缓慢旋转90°过程中,保持两手臂伸直状态(夹角AOB保持不变),则 (　)
A.左手拉力一直变大
B.两手的拉力都是先变大再变小
C.左手拉力先变大再变小
D.右手拉力一直变小
9.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示,轻质弹簧上端固定,下端连接一光滑小球a(可视为质点),斜面b静止在水平地面上,小球放在斜面上,开始时弹簧与斜面平行.现将斜面缓慢向左移到虚线处,小球仍静止在斜面上.下列说法正确的是 (　)
A.b对a的弹力增加
B.弹簧的长度减小
C.地面对b的支持力增加
D.地面对b的摩擦力减小
10.(多选)[2024·天津北辰区模拟] 在室内通过如图所示方式用绿植进行装饰,质量为M=2.4 kg的绿植通过光滑的挂钩挂在轻绳上.长L=1 m的光滑轻绳的一端悬挂在水平天花板上Q点,另一端悬挂于竖直墙上的P点,P、Q两点到墙角O的距离分别为OQ=0.6 m,OP=0.3 m,轻绳能承受的最大拉力为20 N(重力加速度g取10 m/s2),为确保轻绳不断裂,下列操作可行的是(　)
A.P点向下移动0.3 m
B.Q点向右移动0.3 m
C.给绿植浇水0.7 kg
D.给绿植浇水0.9 kg
11.(多选)[2024·江西上饶模拟] 如图所示,半球形物体A和小球B紧靠着放在一固定斜面上,并处于静止状态,忽略小球B表面的摩擦力.用水平力F沿物体A表面将小球B缓慢拉至物体A的最高点C,物体A始终保持静止状态.则下列说法中正确的是 (　)
A.斜面对A的支持力不断增大
B.物体A受到斜面的摩擦力先减小后增大
C.外力F不断减小
D.小球B对物体A的压力大小一直增加
12.如图所示,表面为光滑的圆弧物体B静置在水平地面上,有一竖直光滑挡板A恰与B相切于最左端O点,有一小球a放置于A与B之间.整个装置都可以绕O点旋转.以下说法正确的是 (　)
A.若A保持竖直,且下端沿着B的表面向上缓慢移动到B的最高点,小球所受B的弹力一直增大
B.若A保持竖直.且下端沿着B的表面向上缓慢移动到B的最高点,小球所受A的弹力一直增大
C.若整个装置绕过O点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢旋转90°的过程中,小球所受B的弹力一直减小
D.若整个装置绕过O点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢旋转90°的过程中,小球所受A的弹力先减小后增大
13.[2024·四川成都模拟] 单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的动摩擦因数有关.用以下简化模型进行受力分析:假设用两手指对称抓球,手指与球心在同一竖直面,手指接触点连线水平且相距为L,球半径为R,接触点与圆心的连线与水平方向夹角为θ,手指和球间的动摩擦因数为μ,球质量为m.已知重力加速度为g,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力,忽略抓球引起的球变形.下列说法正确的是 (　)
A.每个手指对球的摩擦力大小为
B.L的取值范围为L>
C.每个手指对球的压力最小值为
D.手指对球的压力增大到原来的2倍时,摩擦力也增大到原来的2倍(共82张PPT)
专题四 动态平衡问题、平衡中的临界和
极值问题
题型一 动态平衡问题
题型二 平衡中的临界和极值问题
作业手册
备用习题
◆
答案核查【听】
答案核查【作】
题型一 动态平衡问题
1.动态平衡:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢的变化,而在这个
过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题的描述中常用“缓慢”等语
言叙述.
2.做题流程
考向一 解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，
得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变
量的变化确定因变量的变化.
例1 [2023·海南卷] 如图所示，工人利用滑轮
组将重物缓慢提起，下列说法正确的是( )
A.工人受到的重力和支持力是一对平衡力
B.工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对
作用力与反作用力
C.重物缓慢拉起过程，绳子拉力变小
D.重物缓慢拉起过程，绳子拉力不变
√
[解析] 对人受力分析如图甲所示，则有 ，其中工人对绳的
拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力，A错误，B正确；对左
边滑轮受力分析如图乙所示，则有，随着将重物缓慢提起，
逐渐增大，则 逐渐增大，C、D错误.
考向二 图解法
在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上,若一个力为恒力，另一个
力方向不变或另一个力大小不变或另两个力方向的夹角不变,可画出这三
个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况,图解法也常用于求极值问题.
例2 [2024·吉林长春模拟] 如图所示，倾角为 的斜
面体置于光滑水平面上，质量为 的小球用细线拴住
放在光滑斜面上，斜面足够长，重力加速度为 ，现
用水平力 推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球
A. B. C. D.
沿斜面缓慢升高.当细线拉力最小时，推力 等于 ( )
√
[解析] 对小球受力分析，如图所示，在小球沿斜面缓
慢上升过程中，小球受到的合力为零，当拉力 与支持
力垂直时，拉力最小，最小值为 ，
对小球和斜面体整体受力分析，根据平衡条件可知
，故D正
确.
例3 [2022·河北卷] 如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在
竖直木板的点，将木板以底边 为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与
木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程
中 ( )
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力均先增大后减小
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
√
[解析] 设两绳子对圆柱体的拉力的合力为 ，绳子拉
力为，两绳子之间的夹角为 ，则 ，
可得，画出矢量三角形，如图所示， 为圆
柱体重力，为所受支持力.因为和 的夹角保持不
变，矢量三角形处在以斜边中点(初始时 中点)为圆心
的外接圆中，在将木板以底边 为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，
可判断出先增大后减小，逐渐减小，进而推出 不断减小.
技法点拨
类别 特点 图例 分析说明
动态三 角形 一个力恒定, 另一个力方 向不变 __________________________ 利用一力恒定,一力方向不变化,
可以作出动态三角形,分析方向
变化的那个力的线段长度变化,
根据不同位置判断另一力的大
小变化
类别 特点 图例 分析说明
动态三 角形 一个力恒 定，另一个 力大小不变 ______________________ 一个力恒定，另一个力大小不
变，以恒力末端为圆心作出矢
量动态三角形，分析两个变力
的大小与方向
续表
类别 特点 图例 分析说明
动态圆 一力恒定,另 外两力方向 一直变化,但 两力的夹角 不变 _________________________________________ 利用两力夹角不变,可以作出动
态圆,恒力为圆的一条弦,根据不
同位置判断各力的大小变化
续表
考向三 相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题
目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相
似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算.注意：构建三角形时可能
需要画辅助线.
例4 (多选)[2024·江西鹰潭模拟] 如图所示，圆心为
、半径为 的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水
平地面上，在 点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮
到轨道上点的距离为，轻绳的一端系一质量为 的
小球，靠放在光滑圆形轨道上的点， 点到小滑轮
的距离为 ，另一端绕过小滑轮后用力拉住.重力加速
度大小为 ，则( )
A.若使小球静止在 点，圆形轨道对小球的支持力大
小
B.若使小球静止在 点，绳对小球的拉力大小
C.缓慢地拉绳，在使小球由到 的过程中，圆形轨
道对小球的支持力大小 不变，绳对小球的拉力大小
变小
D.缓慢地拉绳，在使小球由到 的过程中，圆形轨
道对小球的支持力大小 变小，绳对小球的拉力大小
先变小后变大
√
√
[解析] 小球受力如图甲所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相
接，可形成如图乙所示闭合三角形，由图可知力的三角形与几何三角形
相似，则有，得、 ，故A正确，B
错误；由于，，其中、、均不变， 逐渐减小，
则由上式可知，不变， 变小，故C正确，D错误.
考向四 正弦定理法(拉密定理)
如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个
力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即 .
例5 [2024·湖南邵阳模拟] 如图所示，送水工人用推
车运桶装水，到达目的地后，工人抬起把手，带动板
转至水平即可将水桶卸下.水桶对板、 的压
力分别为、 ，若桶与接触面之间的摩擦不计，
A.一直增大 B. 先减小后增大
C.一直减小 D. 先增大后减小
为锐角且保持不变，在 由竖直缓慢转到水平过程中( )
√
[解析] 对水桶初始状态受力分析，作出力的矢量三角形如图
所示，分析可知，在转动过程中，与 的夹角始终不变，因
此与夹角的补角 始终保持不变，重力与 之间的夹
角的补角 逐渐增大，当增大至 时将继续增大，则可知
重力与之间夹角的补角 从 开始逐渐减小，直至为0，
根据正弦定理可得，可知 为定值，而
始终减小，则始终减小，但由于 角从锐角增大至 后将继续
增大一定角度，则可知， 先增大后减小，因此可知 先增大后减小，
故选C.
考向五 “晾衣绳类”活结问题
如图所示，“活结”两端绳子拉力大小相等，因结
点所受水平分力相等，即 ，故
，根据几何关系可知，
，若两杆间距离 不变，则上下
移动悬线结点， 不变，若两杆距离减小，则
减小，由，可知 也减小.
例6 (多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆 、
上的、 两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态.
如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A.绳的右端上移到 ,绳子拉力不变
B.将杆 向右移一些，绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
√
√
[解析] 设两部分绳间的夹角为 ,绳子拉力为 ，
由平衡条件得
，绳的右端上下移动及改变绳子
两端高度差都不会改变两部
分绳间的夹角 ，故绳子拉力 不变，A正确，
C错误；两绳间的夹角与衣服的质量大小无关，
D错误；将杆 向右移一些，则两部分绳间的夹
角 变大，绳子拉力 变大，B正确.
变式1 [2024·河北保定模拟] 如图所示，
为质量不计的动滑轮， 为高度可调节的滑
轮，绕过滑轮的轻绳一端连接在 上，
另一端吊着小球，绕过动滑轮的长度一定
A.绳上拉力变大 B. 绳上拉力不变
C.绳对滑轮的作用力变大 D.绳对滑轮 的作用力变小
的轻绳，一端固定在点，另一端在水平天花板上，现将轻绳的 端沿
水平天花板缓慢向右移，同时调节滑轮的高度，使 保持水平，则在移
动过程中( )
√
[解析] 使 保持水平，根据对称性可知，
、与水平方向的夹角相等，设为 ，
以滑轮 为研究对象，根据受力平衡可得
，设小球质量为 ，则有
，设绳长度为，、 两端的竖
直距离为，根据几何关系可得 ，
将轻绳的 端沿水平天花板缓慢向右移，
同时调节滑轮的高度，使 保持水平，
可知 保持不变，绳对滑轮 的作用力保
持不变，大小为 ，根据
，可知 绳上拉力不变，
故A、C错误，B正确；绳对滑轮 的作用
力不变，大小为 ，故
D错误.
题型二 平衡中的临界和极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰
好”等.临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.
(2)绳子恰好绷紧，拉力.
(3)刚好离开接触面，支持力.
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临
界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研
究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之
间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、
公式极值、三角函数极值).
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理
过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.
例7 [2024·浙江金华模拟] 如图所示，甲，乙两
柱体的截面分别为半径均为 的圆和半圆，甲的
右侧顶着一块竖直的挡板.若甲和乙的质量相等，
柱体的曲面和挡板可视为光滑，开始两圆柱体柱
A. B. C. D.
心连线沿竖直方向，将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面
为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
那么半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值为 ( )
√
[解析] 分析可知，摩擦力最大时刚好不滑动，
此时对应的动摩擦因数最小.整体分析有
、，设 与水平面的夹角为
，对甲，由平衡条件得 ，联立解得
，可知 越小， 越大，由几
何关系得， 最小为 .则
，解得 ，
故选A.
变式2 质量为 的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦
因数，取，其受到一个与水平方向成 角斜向上的拉力
，如图所示.为使木箱做匀速直线运动，拉力的最小值以及此时 分
别是 ( )
A.和 B.和 C.和 D.和
√
[解析] 解法一：对木箱受力分析，木箱受到重力、拉力 、地面的支
持力和滑动摩擦力 ，木箱做匀速直线运动，根据平衡条件得
，，又 ，联立解得
，其中，即 ，由数
学知识可知，当 ，即 时， 有最小值，最小值为
，故A正确.
解法二：四力平衡转化为三力平衡，再结合图解
法分析.与的合力方向不变，当 的方向与
的方向垂直时，最小，如图所示.设 与竖直
方向的夹角为 ，则 ，解得
， 的最小值
，此时 ，故A正确.
备 用 习 题
1.如图所示,用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球A,A受到的重力为G.整个装置静止在水平面上.设斜面和木板对小球A的弹力大小分别为F1和F2.保持木板竖直,在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中,A受力的变化情况是( )
A.F1增大,G不变,F2减小
B.F1减小,G不变,F2增大
C.F1减小,G不变,F2减小
D.F1不变,G增大,F2增大
√
题型一　动态平衡问题
备 用 习 题
[解析] 小球A受到重力、斜面对小球A的弹力F1和木板对小球的弹力F2,在斜面的倾角θ缓慢减小的过程中,A的重力G不变,F2方向不变,由图解法知,F1、F2均减小,故C正确.
备 用 习 题
2.如图所示,半径为R的光滑圆环竖直固定,轻弹簧一端固定在圆环的最高点A,另一端与套在圆环上的小球相连.小球的质量为m,静止在B点时弹簧与竖直方向的夹角θ=30°,重力加速度为g.若换用原长相同,劲度系数更大的某轻质弹簧,小球能静止于圆环上的C点(图中未画出,但不在圆环最低点).下列说法正确的是( )
A.小球静止在B点时,弹簧的弹力大小为2mg
B.小球静止在B点时,圆环对小球的作用力背离圆环的圆心
C.换用劲度系数更大的轻弹簧后,弹簧的弹力将变大
D.换用劲度系数更大的轻弹簧后,圆环对小球的作用力将变大
√
备 用 习 题
[解析]以小球为研究对象,由于重力作用,弹簧一定被拉伸,弹簧弹力F沿弹簧斜向上,由平衡条件,可得弹簧弹力F与圆环对球的弹力FN的合力跟重力等大反向,画出受力分析如图所示,所以圆环对球的弹力方向一定背离圆心,故B正确;由图可知,△AOB与△DBE相似,有 = = ,弹簧的弹力大小F= mg,由几何关系得AB=2Rcos 30°= R,解得F= mg,故A错误;换用劲度系数更大的某轻质弹簧,小球沿圆环上移,最终受力平衡后,上述三角形相似仍成立,根据 = = ,可知当B点上移时,由于重力mg与半径R不变,AB长度减小,故弹簧弹力F减小,FN大小不变,故C、D错误.
备 用 习 题
3. (多选)如图所示,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N,初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α(α> ).现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变,在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
√
√
备 用 习 题
[解析] 设重物的质量为m,绳OM中的张力为 ,绳MN中的张力为 .开始时, =mg, =0.由于缓慢拉起,则重物一直处于平衡状态,两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向.如图所示,已知角α不变,在重物向右上方缓慢拉起的过程中,角β逐渐增大,则角(α-β)逐渐减小,但角θ不变,在三角形中,利用正弦定理得 = ,(α-β)由钝角变为锐角,则 先增大后减小,选项C错误,D正确;同理知 = ,在β由0变为 的过程中, 一直增大,选项A正确,B错误.
备 用 习 题
4. (多选) 如图所示,在固定好的水平和竖直的框架上,A、B两点各连接着一根绕过光滑轻小滑轮的不可伸长细绳的两端,重物悬挂于滑轮下,处于静止状态.若按照以下的方式缓慢移动细绳的端点,则下列判断正确的是( )
A.只将绳的左端移向A'点,拉力变小
B.只将绳的左端移向A'点,拉力不变
C.只将绳的右端移向B'点,拉力变小
D.只将绳的右端移向B'点,拉力变大
√
√
备 用 习 题
[解析]滑轮两侧绳子与竖直方向的夹角为α,绳子的长度为L,B点到A点的距离为s,根据几何知识和对称性,得sin α= ,以滑轮为研究对象,设绳子拉力大
小为F,根据平衡条件得2Fcos α=mg,联立解得F= ,当只将绳的左端移向A'点时,s不变,可知F不变,故A错误,B正确;当只将绳的右端移向B'点时,s增加,可知 F增大,故C错误,D正确.
备 用 习 题
5.如图所示,一个倾角为30°、底面粗糙、斜面光滑的斜面体放在粗糙的水平面上,斜面体的质量为2m.轻绳的一端固定在天花板上,另一端系住质量为m的小球,整个系统处于静止状态,轻绳与竖直方向的夹角也为30°.若滑动摩擦力等于最大静摩擦力,则斜面体与水平面间的动摩擦因数至少为 ( )
A. B.
C. D.
√
备 用 习 题
[解析]由题意对小球受力分析,沿斜面方向由平衡条件得mgsin 30°=FTcos 30°,解得FT=mgtan 30°= mg,对小球和斜面构成的整体受力分析,由平衡条件得,水平方向满足FTsin 30°=Ff,竖直方向满足FN+FTcos 30°=3mg,当Ff=μFN时,斜面体与水平面间的动摩擦因数最小,解得最小为μ= ,故选C.
备 用 习 题
6. [2022·浙江1月选考] 如图所示,学校门口水平地面上有一质量为m的石墩,石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ,工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时,两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ,重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
A.轻绳的合拉力大小为
B.轻绳的合拉力大小为
C.减小夹角θ,轻绳的合拉力一定减小
D.轻绳的合拉力最小时,地面对石墩的摩擦力也最小
√
备 用 习 题
[解析] 对石墩受力分析,如图所示,设两根轻绳的拉力均为F,根据平衡条件,有2Fcos θ=Ff,2Fsin θ+FN=mg,且Ff=μFN,F合=2F,联立解得F合= ,选项A错误,B正确;F合= = ,其中tan α= ,0<α< ,即α是一个常数,根据三角函数知识知,减小夹角θ,sin(θ+α)可能减小,轻绳的合拉力F合可能增大,选项C错误;根据F合的表达式可知,当θ+α= 时,合拉力最小,而摩擦力Ff=F合cos θ= = ,当θ= 时,摩擦力最小,即合拉力最小和摩擦力最小对应的θ取值不同,所以合拉力最小时,摩擦力不是最小,选项D错误.
作业手册
1.[2024·山东卷] 如图所示，国产人形机器人“天工”
能平稳通过斜坡.若它可以在倾角不大于 的斜
坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动
A. B. C. D.
摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 ( )
√
[解析] 斜坡倾角越大，则“天工”越容易下滑，只
要保证“天工”在 倾角的斜坡上不下滑，在小于
倾角的斜坡上更不会下滑，对 倾角的斜
坡上的“天工”受力分析，有
,解得 ,B正确.
2.[2024·浙江丽水模拟] 如图所示，一质量分布均匀的球体质量大小为 ，
用轻绳悬挂在竖直墙壁上的 点，使其保持静止.墙壁光滑，球与竖直
墙壁的接触点为 ，细绳与墙壁的夹角为 ，重力加速度为 ，下列说法正
确的是( )
A.轻绳的拉力为
B.竖直墙壁对小球的支持力为
C.缩短绳长 ，绳的拉力减小
D.缩短绳长 ，小球受到的合力增大
√
[解析] 以球为研究对象，受重力 、轻绳对球的拉力
和墙壁对球的支持力，如图所示，根据平衡条件，有
、 ，缩短绳长 ，根据几何
关系可知 增大，则绳的拉力增大，小球处于静止状
态，受到的合力依然为0，故选B.
3.[2024·湖北黄冈模拟] 如图所示，用一根轻质细绳
将一重力大小为 的相框对称地悬挂在墙壁上，
相框上两个挂钉间的距离为 .已知绳能承受的
最大张力为 ，为使绳不断裂，绳子的最短长度
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 相框受力分析如图所示，受到重力 和两
个大小相等的细绳拉力 的作用而处于静止状态，当
，对应于细绳不被拉断的最小长度 ，
作细绳拉力的合力 ，如图所示，由平衡条件得
，所以两绳拉力的夹角是 ，绳子的
最小长度 ，故选C.
4.某商场为应对经济不景气、客源不足，推出了用筷子夹金砖的游戏来刺
激消费.商家为了不让顾客夹起金砖，将金砖的竖直剖面设计为等腰梯形，
并要求顾客按如图所示方向夹金砖，若筷子与金砖之间的动摩擦因数为
(滑动摩擦力等于最大静摩擦力)，则梯形的底角必须满足( )
A.小于 B.大于 C.小于 D.大于
√
[解析] 设梯形底角为 ，对金砖进行受力分析，如图所示，商家需要无
论金砖质量如何，都不能夹起金砖，则应有
，解得 ，故选A.
5.[2024·湖南邵阳模拟] 如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的 点，
轻杆的另一端用弹性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的 点.某
人用竖直向下、大小为的拉力作用于点，静止时 构成等边三角形.
下列说法正确的是( )
A.此时弹性轻绳的拉力大小可以小于
B.此时弹性轻绳的拉力大小为
C.若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 到达水平位置之前，
轻绳 的拉力增大
D.若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 到达水平位置之前，
轻杆对 点的作用力减小
√
[解析] 轻杆通过铰链固定在竖直墙上的 点，可知轻
杆对 端的支持力方向沿杆的方向，由于轻绳拉力、
轻杆的弹力与竖直向下拉力互成 角，根据共点
力平衡条件可知，此时弹性轻绳的拉力大小为 ，
故A、B错误；对 端受力分析如图所示，由相似三角
形可知，若缓慢增大竖直向下的拉力，则在 到达水平位
置之前，由于、长度不变，可知轻杆对点的作用力 变大；由
于长度变大，则弹性轻绳的伸长量变大，轻绳的拉力 增大，故C
正确，D错误.
6.(多选)[2024·山东泰安模拟] 如图所示，将一个半球体置于水平地
面上，经过球心有一内径很小的光滑竖井，柔软光滑的轻绳绕过井口，
一端连着质量为的物体竖直悬于竖井中，另一端沿着球面与质量
为 的物体相连，两物体均可看成质点，整个装置处于静止状态.已
知此时质量为 的物体与半球体的球心 的连线与水平方向夹角
，质量为 的物体与半球面的动
摩擦因数为 ，并假设质量为 的物体所受到的最大静摩擦力等于滑
动摩擦力.则下列说法正确的是( )
A.的最小值为
B.的最小值为
C. 的最大值为2
D.的最大值为
√
√
[解析] 对两物体受力分析，考虑质量为 的
物体的摩擦力向上和向下的两个临界，根据
公式有 、
，解得
， ，故选A、C.
7.[2024·河北唐山模拟] 如图所示，光滑轻质不可伸长的晾衣绳两端分别
固定于竖直杆上的、两点，一质量为 的衣服静止悬挂于绳上某点；若
在绳上另一点继续悬挂另一质量为的衣服，已知 ，两衣架质量均
可忽略不计，则最终两衣服在绳上的状态为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对衣架受力分析如图所示，因为同一根绳子
上的拉力大小处处相等，所以衣架两侧绳子是对称的，
与竖直方向夹角是相等的.设绳子与水平方向的夹角
为 ，根据受力平衡可得 ，由于
，若左端绳与水平方向夹角小于 右端绳与
水平方向夹角，则无法平衡，故最终二者靠在一起才能保持平衡，故选D.
8.(多选)[2024·广东深圳模拟] 青少年航空学校的学员会定期开展防眩晕
训练，如图甲所示.若某学员训练时，左、右手拉住圆环，处于平衡状态，
左手刚好在水平状态，右手与水平方向有一定夹角，不考虑腿部受到的作
用力，等效为如图乙模型，在圆环顺时针缓慢旋转 过程中，保持两手
臂伸直状态(夹角 保持不变)，则( )
A.左手拉力一直变大 B.两手的拉力都是先变大再变小
C.左手拉力先变大再变小 D.右手拉力一直变小
√
√
[解析] 在圆环顺时针缓慢旋转 过程中，保持
两手臂伸直状态，两手拉力夹角不变，由三力平
衡推论知三力平移后会组成一闭合三角形，如图
所示，表示左手拉力， 表示右手拉力.由图可
知左手拉力先变大后变小，右手拉力一直变小.故
C、D正确，B、C错误.
9.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示，轻质弹簧上端固
定，下端连接一光滑小球(可视为质点)，斜面 静
止在水平地面上，小球放在斜面上，开始时弹簧与
斜面平行.现将斜面缓慢向左移到虚线处，小球仍静
止在斜面上.下列说法正确的是( )
A.对 的弹力增加 B.弹簧的长度减小
C.地面对的支持力增加 D.地面对 的摩擦力减小
√
[解析] 根据题意，对小球受力分析，如图甲所示，
设弹簧与斜面的夹角为 ，斜面倾角为 ，由平衡
条件有 ，
，又有 ，
斜面缓慢向左移到虚线处， 增大，则增大，
减小，弹簧长度增大，故A、B错误；根据题意，对
斜面受力分析，如图乙所示，结合A、B分析，由牛
顿第三定律可知， 减小，由平衡条件可得，地面
对的支持力减小，地面对的摩擦力 减小，故
C错误，D正确.
甲
乙
10.(多选)[2024·天津北辰区模拟] 在室内通过如图所示方
式用绿植进行装饰，质量为 的绿植通过光滑的
挂钩挂在轻绳上.长 的光滑轻绳的一端悬挂在水平
天花板上点，另一端悬挂于竖直墙上的点，、 两点
到墙角的距离分别为， ，轻绳能
A.点向下移动 B.点向右移动
C.给绿植浇水 D.给绿植浇水
承受的最大拉力为(重力加速度取 )，为确保轻绳不断裂，下
列操作可行的是( )
√
√
[解析] 同一根轻绳上弹力大小相等，根据对称性可知，左
右两侧绳与竖直方向夹角相等，令夹角为 ，绳长为 ，
根据几何关系有 ，对绿植进行受力分析有
，当将点向下移动过程中，夹角
不变，则弹力不变，解得 可知，轻绳不
会断裂，故A正确；当点向右移动后，结合上述， 间
距增大，
则有，解得 ，可知此时轻
绳断裂，故B错
误；给绿植浇水，此时绿植总重力为 ，结合上述
解得 ，可知此时轻绳不会断裂，故C
正确；给绿植浇水，此时绿植总重力为 ，结合上
述解得 ，可知此时轻绳断裂，故D错
误.
11.(多选)[2024·江西上饶模拟] 如图所示，半球形物体和小球 紧靠着
放在一固定斜面上，并处于静止状态，忽略小球 表面的摩擦力.用水平力
沿物体表面将小球缓慢拉至物体的最高点，物体 始终保持静止状
态.则下列说法中正确的是( )
A.斜面对 的支持力不断增大
B.物体 受到斜面的摩擦力先减小后增大
C.外力 不断减小
D.小球对物体 的压力大小一直增加
√
√
[解析] 对小球进行分析， 受水平拉力、重力和支持力，
三个力作用下处于平衡，则三个力构成首尾相连的矢量三
角形，如图所示，将小球缓慢拉至物体的最高点 过程
中，图中 变小，可知支持力变小，拉力 也变小，根据牛顿第三定律，
小球对物体的压力也减小，故C正确，D错误；设斜面倾角为 ， 、
质量分别为、，对、 整体分析，受拉力、重力、支持力和静摩擦
力，根据平衡条件有 ，
，结合上述可知，拉力 减小，则静摩擦力
减小，斜面对 的支持力一直增加，故A正确，B错误.
12.如图所示，表面为光滑的圆弧物体 静置在水平地面
上，有一竖直光滑挡板恰与相切于最左端 点，有一
小球放置于与之间.整个装置都可以绕 点旋转.以下
说法正确的是( )
A.若保持竖直，且下端沿着的表面向上缓慢移动到
的最高点，小球所受 的弹力一直增大
B.若保持竖直.且下端沿着的表面向上缓慢移动到 的
最高点，小球所受 的弹力一直增大
C.若整个装置绕过 点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢
旋转 的过程中，小球所受 的弹力一直减小
D.若整个装置绕过 点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢
旋转 的过程中，小球所受 的弹力先减小后增大
√
[解析] 若保持竖直，且下端沿着的表面向上缓慢移动到 的最高点，
对小球受力分析如图甲所示，可知小球所受的弹力、 的弹力都一直减
小，故A、B错误；若整个装置绕过 点且垂直于该截面的轴逆时针缓慢旋
转 的过程中，对小球受力分析如图乙所示，小球所受 的弹力先增大
后减小，所受 的弹力一直减小，故C正确，D错误.
13.[2024·四川成都模拟] 单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球间的
动摩擦因数有关.用以下简化模型进行受力分析：假设用两手指对称抓球，
手指与球心在同一竖直面，手指接触点连线水平且相距为，球半径为 ，
接触点与圆心的连线与水平方向夹角为 ，手指和球间的动摩擦因数为
，球质量为.已知重力加速度为 ，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，
忽略抓球引起的球变形.下列说法正确的是( )
A.每个手指对球的摩擦力大小
B.的取值范围为
C.每个手指对球的压力最小值为
D.手指对球的压力增大到原来的2倍时，摩擦力也增大到原来的2倍
√
[解析] 对球受力分析，如图所示，竖直方向由平衡条件有
，则 ，所以每个手
指对球的摩擦力大小，故A错误；因为 ，
化简可得 ，即
，故每个手指对球的压力最小值为
，故C错误；因为 ，
所以 ，可得 ，根据几何关
系得，由图可知，所以 ，
故的取值范围为 ，故B正确；当球受到手指的
静摩擦力时， ，手指对球的压力增大到原来的2倍
时，摩擦力不增大到原来的2倍，故D错误.
题型一 例1.B 例2.D 例3.B 例4.AC 例5.C 例6.AB 变式1.B
题型二 例7.A 变式2.A
基础巩固练
1.B 2.B 3.C 4.A 5.C
综合提升练
6.AC 7.D 8.CD 9.D 10.AC 11.AC
拓展挑战练
12.C 13.B

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