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第9讲　运动的合成与分解
例1　D　[解析] 第一次实验中,小钢球受到沿着初速度方向的磁铁的吸引力作用,做直线运动,并且随着距离的减小,吸引力变大,加速度变大,故小钢球做非匀变速直线运动,选项A错误;第二次实验中,小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁,是变力,故小钢球的运动不是类平抛运动,其轨迹也不是一条抛物线,选项B错误;该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上,但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向,选项C错误,D正确.
变式1　B　[解析] 做曲线运动的物体速度方向为轨迹在该点的切线方向,而合外力应指向轨迹的凹侧,二者分居于轨迹两侧,故A、C错误;合外力方向与速度方向夹角为锐角,物体正在做加速运动,合外力方向与速度方向夹角为钝角,物体正在做减速运动,故B正确,D错误.
变式2　AD　[解析] 由于初始时物体做匀速直线运动,则可知初始时合力为零.由于初始时合力为零,则只撤去F1时,剩余三个力的合力与F1等大反向,与速度方向相同,则可知物体做匀加速直线运动,故A正确;由于初始时合力为零,则只撤去F3时,剩余三个力的合力与F3等大反向,与速度方向相反,则可知物体做匀减速直线运动,故B错误;由于初始时合力为零,则只撤去F2时,剩余三个力的合力与F2等大反向,与速度方向夹角小于90°,则可知物体做曲线运动且速度越来越大,故C错误;由于初始时合力为零,则只撤去F4时,剩余三个力的合力与F4等大反向,与速度方向夹角大于90°,则可知物体做曲线运动且速度先减小后增大,故D正确.
例2　D　[解析] 某时刻沙子在空中排列形成的图形可视作一粒沙子相对于罐子运动随时间变化的轨迹,相对罐子来说,这粒沙子在竖直方向上向下做自由落体运动,在水平方向上向左做初速度为零的匀加速运动,所以沙子的运动轨迹是两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动,是一条从右上向左下的直线,选项D正确.
变式3　A　[解析] 由题图可知,该无人机在水平方向做匀加速直线运动,在竖直方向,有=2ay,所以无人机在竖直方向也做匀加速直线运动.结合题意可知,无人机从静止开始运动,所以对于无人机来说其满足做直线运动的条件,即无人机的轨迹应该是直线,而且其水平和竖直方向均有位移,故y x图像是一条倾斜直线,故选A.
例3　(1)37°　100 m　(2)37°　20 s　(3)100 m
[解析] (1)船头的指向垂直于河岸方向时,过河时间最短,即分速度v2的方向垂直于河岸,水流速度为v1,速度矢量图如图甲所示
由图甲可求轨迹与河岸的夹角θ,有tan θ==0.75
得θ=37°
过河经过的距离为x==100 m
(2)小游船的实际速度即合速度v垂直于河岸时,过河距离最短,速度矢量图如图乙所示.由图可知,船头的指向即v2的方向指向上游方向且与河岸夹角为θ1,有cos θ1==0.8
得θ1=37°
过河时间为t=
由图可得v=v2sin θ1
联立解得t=20 s
(3)由于v2小于v1,只有当合速度v的方向与河岸夹角α最大,即v2与OC的方向垂直时,过河距离最小,速度矢量图如图丙所示.根据几何关系有sin α==0.6
得α=37°
所以最短距离为x==100 m
变式4　A　[解析] 冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向,有d=at2,解得t= s,沿水流方向的位移为x水=v1t= m5 m/s,可知冲锋舟的合速度不指向正对岸,所以不能到达正对岸,故C错误.
例4　A　[解析] 轨道车A、特技演员B沿绳方向的速度相等,该时刻特技演员B速度大小为vB=vAcos θ=5×0.8 m/s=4 m/s,故A正确,B错误;轨道车A向左匀速前进,θ逐渐减小,特技演员B速度逐渐增大,做加速运动,故C错误;特技演员B做加速运动,有向上的加速度,处于超重状态,故D错误.
例5　B　[解析] 当甲运动到B点时,速度大小为v,轻质细杆与水平方向的夹角为60°,则此时乙球的速度大小为v乙,根据甲、乙沿杆方向的分速度相同可得vcos 60°=v乙cos 60°,解得v乙=v,故选B.
变式5　C　[解析] 经过时间t,则有∠OAB=ωt,AM的长度为LAM=,则AB杆上M所在的点绕A点的线速度为v=,将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解,垂直于AB杆的分速度等于M所在的点绕A点的线速度,则小环M的速度大小为v'=,联立解得v'=,可知随着时间的增加,小环M向C端运动的速度增大,所以小环做加速运动,故选C.第四单元　曲线运动
第9讲　运动的合成与分解
1.A　[解析] 小球在光滑的水平面上以v0向东运动,给小球一个向北的水平恒力,根据曲线运动条件,合外力指向物体做曲线运动轨迹的凹侧,且速度的方向沿着轨迹的切线方向,故选A.
2.A　[解析] 将物体B的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度,沿细绳方向的速度等于A物体的速度,则A物体的速度为vA=v0cos θ,随θ角的增加,A物体的速度减小,即A物体向下做减速运动,处于超重状态,即绳的拉力大于A物体重力,故选A.
3.B　[解析] R在y轴方向做匀速直线运动,所以运动时间为t==2 s,故A错误;在x轴水平方向做初速度为0的匀加速直线运动,有x=at2,解得a=3 cm/s2,故B正确;该时刻小圆柱体R的速度大小为v== cm/s,故C错误;该时刻小圆柱体的速度方向与y轴夹角的正切值为tan θ===6,故D错误.
4.A　[解析] 根据平行四边形定则,由于船在静水中的速度大于水速,则合速度可能垂直于河岸,即船可能垂直到达对岸,合速度也可能斜指向上游方向,即小船可能到达对岸的上游位置,故A正确,B错误;小船相对于河岸的速度大小范围为1 m/s≤v合≤9 m/s,故C错误;当船在静水中的速度与河岸垂直时,过河的时间最短,最短渡河时间为tmin==20 s,故D错误.
5.B　[解析] 小船速度最小且避开危险区沿直线运动到对岸时,合速度方向恰好与危险区相切,如图所示,由于水流速不变,合速度与危险区相切,小船相对静水的速度为水流速度矢量末端到合速度上任一点的连线,可知当小船相对静水的速度与合速度垂直时速度最小,根据题意得tan θ=,解得θ=37°,小船相对静水的速度最小值为v2=v1sin 2θ,解得v2=v1sin 74°=2.4 m/s,故选B.
6.BD　[解析] 运动员静止时射出弓箭的速度与骑马沿直线跑道奔驰的速度的合速度为v,且两个分速度的大小相等,则速度合成的平行四边形是菱形,由几何关系可得运动员静止时射出弓箭的速度方向与合速度v的夹角为30°,与直线跑道的夹角为60°,故A错误;由几何关系可得2v0cos 30°=v,可得运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为v0=v,故B正确;射出的弓箭发生的位移为x==2d,故C错误;射出的弓箭的运动时间为t==,故D正确.
7.A　[解析] 图线切线的斜率表示速度的大小,由图可得,当t=0时,小物体在x轴方向的速度大小为vx= m/s=2 m/s,小物体在y轴方向的速度大小为vy=0,则t=0时,小物体的速度为v==2 m/s,故A正确;小物体在x轴方向做匀速直线运动,则ax=0,在y轴方向,小物体做匀加速直线运动,则y=ayt2,将图乙中,t=1 s时,y=2 m代入,解得ay=4 m/s2,所以t=0时,物体的加速度大小为a==4 m/s2,故B、D错误;当t=1 s时,小物体在x轴方向的分速度为vx1=vx=2 m/s,小物体在y轴方向的分速度为vy1=ayt=4 m/s,所以当t=1 s时,小物体的速度为v1==2 m/s,故C错误.
8.CD　[解析] 由于潜艇在竖直方向做变速运动,在水平方向做匀速运动,所以潜艇做曲线运动,故A错误;根据vy-t图像可知,潜艇在0~10 s内的加速度大小为a= m/s2=2 m/s2,则潜艇在0~10 s内的速度变化量的大小为Δv=at=2×10 m/s=20 m/s,故B错误;根据vy-t图像可知,潜艇在5 s末的竖直分速度为vy=10 m/s,则5 s末的速度大小为v== m/s=10 m/s,故C正确;根据vy-t图像可知,潜艇在0~30 s内的竖直分位移大小为y=×20×30 m=300 m,水平分位移大小为x=10×30 m=300 m,则潜艇在0~30 s内的位移大小为x合== m=300 m,故D正确.
9.ACD　[解析] 由图乙可知,被救人员沿水平方向做匀速直线运动,图丙可知,在竖直方向上被救人员向上做匀加速运动,以地面为参考系,有y=at2、x=v0t,联立可得y=x2,所以被救人员的运动轨迹是一条抛物线,故A正确;由图乙可知,被救人员沿水平方向做匀速直线运动,即在水平方向处于平衡状态,受到的合外力等于0,所以可知绳索沿水平方向的作用力为0,则绳索中拉力方向一定为竖直向上,故B错误;根据牛顿第三定律,可知被救人员对绳索的拉力大小等于绳索对被救人员的拉力大小,与运动状态无关,故C正确;由图乙可知,被救人员沿水平方向的位移为x=v0t=4×4 m=16 m,由图丙可知,被救人员在竖直方向的位移为y=t=×4 m=8 m,则被救人员的位移x合==8 m,故D正确.
10.D　[解析] 当曲轴OA与连杆AB夹角为α,连杆AB与水平方向夹角为β时,速度分解示意图如图所示,根据运动的合成与分解,沿杆方向的分速度vA1=vAcos (α-90°)、vB1=vBcos β,又因为vA=ωlOA,且二者沿杆方向的分速度相等,即vA1=vB1,解得vB=,当α=90°时,此时连杆AB与圆相切,其中cos β==,解得vB=4π m/s>12π m/s,可知12π m/s并不是最大速度,故A、C错误,D正确;当OA与AB共线时,A点沿AB的瞬时速度为零,B的瞬时速度为零,运动方向改变,即此时活塞的加速度不为零,故B错误.
11.(1)15 s　(2) s　(3)y=
[解析] (1)当船的船头始终与河岸垂直时,其船渡河的时间最短,设为t1,有d=v1t1
解得t1=15 s
(2)由题意可知,船速大于水速,所以船渡河过程中最短距离为船垂直到达河岸,此时船头指向河岸上游,设其与河岸上游夹角为θ,有v1cos θ=v2
则船的合速度为v合=v1sin θ
设船渡河所用时间为t2,有d=v合t2
解得t2= s
(3)由题意可知,船头垂直于河岸,即在垂直于河岸方向上船从静止开始做匀加速直线运动,船在平行于河岸方向随水流做匀速直线运动,建立坐标如图所示,所以在垂直河岸方向有y=at2
平行于河岸方向有x=v2t
整理有y=第9讲　运动的合成与分解
　　　　　 　　　　　 　　　　　
一、曲线运动
1.速度的方向:质点在某一点的速度方向,沿曲线在这一点的　　　　方向.
2.运动的性质:做曲线运动的物体,速度的　　　　时刻在改变,所以曲线运动一定是　　　　运动.
3.从两个角度描述曲线运动的条件
二、运动的合成与分解
1.运动的合成:已知分运动求合运动.
运动的分解:已知合运动求分运动.
2.遵循的法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循　　　　　　　　.
3.合运动与分运动的关系
(1)等时性:合运动和分运动经历的　　　　相等,即同时开始、同时进行、同时停止.
(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动的影响.
(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
4.合运动的性质判断
【辨别明理】
1.速度发生变化的运动,一定是曲线运动. (　)
2.做曲线运动的物体的加速度一定是变化的. (　)
3.做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧. (　)
4.合运动的速度一定比分运动的速度大. (　)
5.只要两个分运动为直线运动,合运动一定是直线运动. (　)
6.曲线运动一定不是匀变速运动. (　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　曲线运动的条件与轨迹分析
例1 在演示“做曲线运动的条件”的实验中,有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球,第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁,第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁,如图所
示,虚线表示小钢球的运动轨迹.观察实验现象,以下叙述正确的是 (　)
A.第一次实验中,小钢球的运动是匀变速直线运动
B.第二次实验中,小钢球的运动类似平抛运动,其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
[反思感悟] 　

变式1 [2024·广西南宁一中模拟] 钱学森弹道是我国科学家钱学森于20世纪40年代提出的一种新型导弹弹道的设想,这种弹道的特点是将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合在一起,使之既有弹道导弹的设突防性能力,又有飞航式导弹的灵活性.导弹在同一竖直平面内的一段飞行轨迹如图所示,A、B、C、D是轨迹上的四个位置,导弹在这四个位置的速度v与所受合外力F的关系可能正确且速度正在减小的是 (　)
A.位置A B.位置B C.位置C D.位置D
变式2 (多选)[2024·宁夏银川一中模拟] 如图所示,质量为m的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运动,速度方向与力F1、F3的方向恰好在同一直线上.下列说法正确的是 (　)
A.若只撤去F1,物体做匀加速直线运动
B.若只撤去F3,物体做匀加速直线运动
C.若只撤去F2,物体做曲线运动,速度大小先减小后增大
D.若只撤去F4,物体做曲线运动,速度大小先减小后增大
【技法点拨】
1.运动轨迹的判断(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上,则物体做直线运动.(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上,则物体做曲线运动.2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系(1)速度方向与运动轨迹相切;(2)合力方向指向曲线的“凹”侧;(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间.
3.速率变化的判断
　运动的合成与分解
例2 [2023·江苏卷] 达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子.若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是 (　)
变式3 [2024·江西赣州模拟] 赣州市举办了“第六届全国青少年无人机大赛”.在某组比赛中,一无人机在指定机位处由静止开始起飞,在起飞一段时间内,无人机在水平方向运动的vx t图,如图甲所示.无人机在竖直向上运动的 y图,如图乙所示.则静止在地面上的观众看到的该无人机的运动轨迹正确的是 (　)
甲
乙
A
B
C
D
【技法点拨】
判断两个直线运动的合运动性质,关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
　小船渡河问题
两类问题,三种情景
最短 时间 渡河 船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为河宽)
最短 位移 渡河 若v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时,合速度垂直河岸,渡河位移最短,xmin=d
若v船例3 [2024·山西太原模拟] 如图所示,老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为d=60 m的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏,水流的速度为v1,其大小可以通过闸门调节;游船在静水中的速度为v2,其方向决定于船头的朝向.游戏时,小组同学驾驶小游船从河的一边渡到河对岸,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.
(1)若v1=4 m/s,v2=3 m/s,则当小游船过河时间最短时,其运动轨迹与河岸的夹角及经过的距离为多少
(2)若v1=4 m/s,v2=5 m/s,则当小游船过河距离最短时,其船头朝向与河岸的夹角及过河时间为多少
(3)若v1=5 m/s,v2=3 m/s,则当小游船过河距离最短时,其过河通过的最短距离为多少
变式4 [2024·四川德阳模拟] 如图所示,消防员正在宽度为d=100 m、河水流速为 v1=5 m/s的河流中进行水上救援演练,可视为质点的冲锋舟到下游危险区的距离为x=75 m,其在静水中的速度为v2,则 (　)
A.若冲锋舟由静止以船头垂直于岸的加速度a=0.9 m/s2匀加速冲向对岸,则能安全到达对岸
B.为了使冲锋舟能安全到达河对岸,冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3 m/s
C.若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度v2=10 m/s匀速航行,则恰能到达正对岸
D.冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25 s
【技法点拨】
解决小船渡河问题必须明确以下两点:(1)解决这类问题的关键:正确区分船的分运动和合运动.船的航行方向也就是船头指向,是分运动;船的运动方向也就是船的实际运动方向,是合运动,一般情况下与船头指向不一致.(2)运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向方向进行分解.
　“关联速度”类问题
关联体一般是两个(或两个以上)物体通过不可伸长的轻绳或轻杆联系在一起或直接挤压到一起,它们的运动简称为关联运动.相互关联的两个物体一般不是都沿轻绳或轻杆运动的,从而使两个物体的速度不相同,有时两个物体即使在同一方向上运动,其速度的大小也不相等,但二者的速度存在某种关系,此二者的速度称为“关联速度”.
1.模型特点
用绳、杆相连接的物体,在运动过程中,其两物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.该类问题我们称之为“关联速度”类问题.
2.解题关键
(1)物体的实际运动(速度)一定是合运动(速度).
(2)分速度的方向要按实际运动效果确定.一般分解时,两个分速度方向应取沿绳(或杆)方向和垂直绳(或杆)方向.
(3)由于绳(或杆)不可伸长,沿绳(或杆)方向的分速度大小相等.
3.常见的模型如图所示
考向一　绳端关联速度
例4 [2024·四川内江模拟] 如图所示,轨道车A通过细钢丝跨过定滑轮拉着特技演员B上升.轨道车A沿水平地面以速度v=5 m/s向左匀速前进,某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为θ=37°,连接特技演员B的钢丝竖直,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则该时刻特技演员B (　)
A.速度大小为4 m/s
B.速度大小为6.25 m/s
C.做匀速运动
D.处于失重状态
[反思感悟] 　



考向二　杆端关联速度
例5 [2024·山西忻州模拟] 如图所示,“∠”形光滑硬杆固定在竖直平面内,∠P=60°,底边水平.均可视为质点的带孔小球甲、乙间用轻质细杆相连,分别套在“∠”形杆上的A、C点,开始时两球在同一竖直线上处于静止状态,某时刻给乙一个轻微扰动使它们开始运动,当甲运动到B点时,速度大小为v,轻质细杆与水平方向的夹角为60°,则此时乙球的速度大小为
(　)
A.
B.v
C.v
D.2v
[反思感悟] 　



变式5 [2024·安徽宣城模拟] 如图所示,AB杆以恒定角速度ω绕A点在竖直平面内顺时针转动,并带动同时套在水平杆OC及转动杆AB上的小环M运动.已知A点到水平杆OC距离为h,运动开始时AB杆在竖直位置.从运动开始时计时,下列说法正确的是 (　)
A.小环M向C端匀速运动
B.小环M向C端减速运动
C.t时刻时,小环M的速度大小为
D.t时刻时,小环M的速度大小为
一、1.切线　2.方向　变速
二、2.平行四边形定则　3.(1)时间　4.非匀变速　匀变速　直线　曲线
【辨别明理】
1.×　2.×　3.√　4.×　5.×　6.×　第四单元　曲线运动
第9讲　运动的合成与分解 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·河北保定模拟] 在风洞实验室中进行如图所示的实验,光滑的水平面上一小球以速度v0向东运动,运动中要穿过水平向北的风洞MN,在风洞施加的水平恒力作用下,小球通过风洞过程及通过后的轨迹图正确的是 (　)
A
B
C
D
2.[2024·吉林一中模拟] 如图所示,一条不可伸长的细绳跨过一个小定滑轮,将A、B两物体连在一起,B以速度v0向右匀速运动,当细线与水平方向成θ角时(0<θ<90°),物体的速度和绳的拉力与A物体重力之间的关系为(　)
A.A物体的速度为v0cos θ,绳的拉力大于A物体重力
B.A物体的速度为v0cos θ,绳的拉力等于A物体重力
C.A物体的速度为v0sin θ,绳的拉力大于A物体重力
D.A物体的速度为v0sin θ,A物体处于超重状态
3.如图所示,在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水,水中放一个由蜡做成的小圆柱体R.R从坐标原点以速度v0=1 cm/s匀速上浮的同时,玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动.测得某时刻R的x、y坐标值分别为6 cm和2 cm,从开始移动到该时刻的过程中,下列说法正确的是 (　)
A.该过程所用时间为6 s
B.玻璃管运动的加速度大小为3 cm/s2
C.该时刻小圆柱体的速度大小为6 cm/s
D.该时刻小圆柱体的速度方向与y轴夹角的正切值为
4.[2024·山西大同模拟] 有一条两岸平直,河宽为100 m,河水流速恒为4 m/s的大河.现驾着小船渡河,小船在静水中的速度为5 m/s,下列说法正确的是 (　)
A.小船可以垂直到达对岸
B.小船不可能到达对岸的上游位置
C.小船相对于河岸的速度可能是10 m/s
D.小船能到达对岸的最短时间是25 s
5.[2024·安徽亳州模拟] 如图甲是河水中的漩涡,漩涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢,压强较大,从而形成压力差,导致周边物体易被“吸入”漩涡.如图乙是某河道O处有个半径为r的漩涡危险圆区,其与河岸相切于N点.设河道除漩涡区外其他区域水流恒定,水流速度大小恒为v1=2.5 m/s,河岸上M点为N点的上游,M、N两点距离为r.tan 37°=0.75,sin 74°=0.96,若一小船从河岸的M处要沿直线避开危险圆区到对岸,小船相对静水的速度最小值v2为 (　)
A.1.5 m/s B.2.4 m/s
C.2.8 m/s D.3.2 m/s
6.(多选)[2024·浙江杭州模拟] 我国少数民族运动会上,设有跑马射箭项目(如图甲所示),运动员需骑马在直线跑道上奔驰,在指定位置弯弓放箭,射击侧方的固定靶标.如图乙所示,假设无风的天气运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小相等,弓箭放出时指向固定标靶的速度已知为v,且与直线跑道的夹角为30°,直线跑道到固定靶标的最短距离为d,下列说法正确的是 (　)
A.运动员射出弓箭的速度方向与直线跑道的夹角为45°
B.运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为v
C.射出的弓箭发生的位移为d
D.射出的弓箭的运动时间为
7.[2024·江西九江模拟] 小物体在直角坐标系xOy平面内运动,t=0时刻位于坐标原点,在x、y方向的位移随时间变化的图像如图甲、乙所示,图乙的图像为抛物线,且t=0时刻抛物线的切线为时间轴.则小物体 (　)
A.t=0时速度大小为2 m/s
B.t=0时加速度大小为2 m/s2
C.t=1 s时速度大小为2 m/s
D.t=0时加速度大小为2 m/s2
8.(多选)[2024·重庆八中模拟] 潜艇从海水的高密度区驶入低密度区的过程称为“掉深”.图甲为某潜艇在高密度区水平向右匀速航行;t=0时,该潜艇开始“掉深”.图乙为其竖直方向的vy-t图像,水平速度vx=10 m/s保持不变.潜艇可视为质点,则 “掉深”后的0~30 s内,潜艇(　)
A.做匀变速直线运动
B.0~10 s内的速度变化量为0
C.5 s末的速度大小为10 m/s
D.0~30 s内的位移大小为300 m
9.(多选)[2024·天津和平区模拟] 如图甲所示,直升机放下绳索吊起被救人员,一边收缩绳索一边飞向安全地带.前4秒内被救人员水平方向的vx-t图像和竖直方向的vy-t图像分别如图乙、丙所示.不计空气阻力,则在这4秒内 (　)
A.以地面为参考系,被救人员的运动轨迹是一条抛物线
B.绳索中的拉力方向为倾斜向右上方
C.被救人员对绳索的拉力大小等于绳索对被救人员的拉力大小
D.以地面为参考系,t=4 s时被救人员的位移大小为8 m
10.甲图为一款发动机的机械传动装置的示意图,可简化为图乙,曲轴OA绕固定的O点自由转动,通过连杆AB使活塞左右滑动.已知曲轴OA长为0.2 m,连杆AB长为0.6 m,绕O点沿顺时针方向匀速转动的角速度为60π rad/s,下列说法正确的是 (　)
A.活塞的最大速度为12π m/s
B.当OA与AB共线时,活塞的加速度为0
C.当OA杆与AB垂直时,活塞的速度小于12π m/s
D.当OA杆与AB垂直时,活塞的速度大于12π m/s
11.[2024·宁夏银川一中模拟] 已知某船在静水中的速率为v1=6.0 m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=90 m,河水的流动速度为v2=4.5 m/s,方向与河岸平行.
(1)求船渡河的最短时间;
(2)求船渡河过程中航行距离最短的情况下所用的时间;
(3)船在静水中的速度从0开始做匀加速运动,加速度大小为a=0.4 m/s2,当船头垂直河岸渡河时,试建立坐标系推导船在河水中的运动轨迹方程(其他条件不变,以出发点为坐标原点).(共99张PPT)
第9讲 运动的合成与分解
必备知识自查
核心考点探究
◆
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
备用习题
一、曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的______方向.
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的______时刻在改变，所以曲线
运动一定是______运动.
切线
方向
变速
3.从两个角度描述曲线运动的条件
二、运动的合成与分解
1.运动的合成：已知分运动求合运动.
运动的分解：已知合运动求分运动.
2.遵循的法则：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵
循________________.
平行四边形定则
3.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的______相等，即同时开始、同时进行、
同时停止.
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其
他分运动的影响.
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
时间
4.合运动的性质判断
非匀变速
匀变速
直线
曲线
【辨别明理】
1.速度发生变化的运动,一定是曲线运动.( )
×
2.做曲线运动的物体的加速度一定是变化的.( )
×
3.做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧.( )
√
4.合运动的速度一定比分运动的速度大.( )
×
5.只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动.( )
×
6.曲线运动一定不是匀变速运动.( )
×
考点一 曲线运动的条件与轨迹分析
例1 在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个
在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在
其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运
A.第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动
B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向
不在同一直线上
动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹.观
察实验现象，以下叙述正确的是( )
√
[解析] 第一次实验中，小钢球受到沿着初速度方向的
磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减
小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速
直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受
的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢
球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，
选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物
体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但
是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切
线方向，选项C错误，D正确.
变式1 [2024·广西南宁一中模拟] 钱学森弹道是我国科学家钱学森于20世
纪40年代提出的一种新型导弹弹道的设想，这种弹道的特点是将弹道导弹
和飞航导弹的轨迹融合在一起，使之既有弹道导弹的设突防性能力，又有
飞航式导弹的灵活性.导弹在同一竖直平面内的一段飞行轨迹如图所示，
、、、是轨迹上的四个位置，导弹在这四个位置的速度 与所受合
外力 的关系可能正确且速度正在减小的是( )
A.位置 B.位置 C.位置 D.位置
√
[解析] 做曲线运动的物体速度方向为轨迹在该点的切线方向，而合外力
应指向轨迹的凹侧，二者分居于轨迹两侧，故A、C错误；合外力方向与
速度方向夹角为锐角，物体正在做加速运动，合外力方向与速度方向夹角
为钝角，物体正在做减速运动，故B正确，D错误.
变式2 (多选)[2024·宁夏银川一中模拟] 如图所示，
质量为 的物体在四个共点力的作用下做匀速直
线运动，速度方向与力、 的方向恰好在同一
直线上.下列说法正确的是( )
A.若只撤去 ，物体做匀加速直线运动
B.若只撤去 ，物体做匀加速直线运动
C.若只撤去 ，物体做曲线运动，速度大小先减小后增大
D.若只撤去 ，物体做曲线运动，速度大小先减小后增大
√
√
[解析] 由于初始时物体做匀速直线运动，则可知初始时合力为零.由于初始时合力为零，则只撤去时，剩余三个力的合力与 等大反向，与速度
方向相同，则可知物体做匀加速直线运动，故A正确；
由于初始时合力为零，则只撤去 时，剩余三个力的合力与 等大反向，与速度方向相反，则可知物体做匀减速直线运动，故B错误；
由于初始时合力为零，则只撤去 时，剩余三个力的合力与等大反向，与速度方向夹角小于 ，则可知物体做曲线运动且速度越来越大，故C错误；由于初始时合力为零，则只撤去 时，剩余三个力的合力与 等大反向，与速度方向夹角大于 ，则可知物体做曲线运动且速度先减小后增大，故D正确.
[技法点拨]
1.运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动.
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动.
2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间.
3.速率变化的判断
考点二 运动的合成与分解
例2 [2023·江苏卷] 达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空
中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子.若不计空气阻力，
则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 某时刻沙子在空中排列形成的图形可视作一粒沙子相对于罐子运
动随时间变化的轨迹,相对罐子来说,这粒沙子在竖直方向上向下做自由落
体运动,在水平方向上向左做初速度为零的匀加速运动,所以沙子的运动轨
迹是两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动,是一条从右上向左下的
直线,选项D正确.
变式3 [2024·江西赣州模拟] 赣州市举办了“第六届全国青少年无人机大
赛”.在某组比赛中，一无人机在指定机位处由静止开始起飞，在起飞一段
时间内，无人机在水平方向运动的
图，如图甲所示.无人机在竖直向上运动的
图，如图乙所示.则静止在地面上的
观众看到的该无人机的运动轨迹正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图可知，该无人机在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方
向，有 ，所以无人机在竖直方向也做匀加速直线运动.结合题意
可知，无人机从静止开始运动，所以对于无人机来说其满足做直线运动的
条件，即无人机的轨迹应该是直线，而且其水平和竖直方向均有位移，故
图像是一条倾斜直线，故选A.
[技法点拨]
判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是
否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变 速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线 运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直 线运动
考点三 小船渡河问题
两类问题，三种情景
最短 时间 渡河 ______________________________________________________
最短 位移 渡河 ___________________________________________
________________________________________________________
续表
例3 [2024·山西太原模拟] 如图所示，老师组织物理兴
趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为
的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的
速度为 ，其大小可以通过闸门调节；游船在静水中
(1) 若， ，则当小游船过河时间最短时，其运动轨
迹与河岸的夹角及经过的距离为多少？
[答案] ;
的速度为 ，其方向决定于船头的朝向.游戏时，小组同学驾驶小游船从
河的一边渡到河对岸，， .
[解析] 船头的指向垂直于河岸方向时，过河时间最
短，即分速度的方向垂直于河岸，水流速度为 ，
速度矢量图如图甲所示由图甲可求轨迹与河岸的夹
角 ，有
得
过河经过的距离为
例3 [2024·山西太原模拟] 如图所示，老师组织物理
兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为
的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，
水流的速度为 ，其大小可以通过闸门调节；游船在
(2) 若， ，则当小游船过河距离最短时，其船头朝
向与河岸的夹角及过河时间为多少？
[答案] ;
静水中的速度为 ，其方向决定于船头的朝向.游戏时，小组同学驾驶小
游船从河的一边渡到河对岸，， .
[解析] 小游船的实际速度即合速度 垂直于河岸时，过河距离最短，速度矢量图如图乙所示.由图可知，船头的指向即 的方向指向上游方向且与河岸夹角为，有
得
过河时间为
由图可得
联立解得
例3 [2024·山西太原模拟] 如图所示，老师组织物理兴
趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为
的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的
速度为 ，其大小可以通过闸门调节；游船在静水中
(3) 若， ，则当小游船过河距离最短时，其过河通
过的最短距离为多少？
[答案]
的速度为 ，其方向决定于船头的朝向.游戏时，小组同学驾驶小游船从
河的一边渡到河对岸，， .
[解析] 由于小于，只有当合速度 的方向与河岸夹角 最大，即与
的方向垂直时，过河距离最小，速度矢量图如图丙所示.根据几何关系有
得
所以最短距离为
变式4 [2024·四川德阳模拟] 如图所示，消防员正在宽度为 、
河水流速为 的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟
到下游危险区的距离为，其在静水中的速度为 ，则( )
A.若冲锋舟由静止以船头垂直于岸的加速度
匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸
B.为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速
度不得小于
C.若冲锋舟船头与河岸夹角为 斜向上游且以速度
匀速航行，则恰能到达正对岸
D.冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间
√
[解析] 冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向，
有，解得 ，沿水流方向的位移为
，能安全到达对岸，故A正确；
冲锋舟沿 方向匀速航行恰能安全到达对岸，如图
所示，设冲锋舟的合速度与水流速度夹角为 ，则冲锋舟在静水中的速度
至少应为 ，由几何知识，可得 ，联立解得
，由图可知 ，冲锋舟以最小速度匀速航行
恰能安全到达对岸所用的时间为 ， 故B、D错误；
若冲锋舟船头与河岸夹角为 斜向上游且以速度 匀速航行，则有 ，可知冲锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达正对岸，故C错误.
[技法点拨]
解决小船渡河问题必须明确以下两点:
(1)解决这类问题的关键:正确区分船的分运动和合运动.船的航行方向也就
是船头指向,是分运动;船的运动方向也就是船的实际运动方向,是合运动,一
般情况下与船头指向不一致.
(2)运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方
向和船头指向方向进行分解.
考点四 “关联速度”类问题
关联体一般是两个(或两个以上)物体通过不可伸长的轻绳或轻杆联系在一
起或直接挤压到一起,它们的运动简称为关联运动.相互关联的两个物体一
般不是都沿轻绳或轻杆运动的，从而使两个物体的速度不相同，有时两个
物体即使在同一方向上运动，其速度的大小也不相等，但二者的速度存在
某种关系，此二者的速度称为“关联速度”.
1.模型特点
用绳、杆相连接的物体,在运动过程中，其两物体的速度通常不同,但物体
沿绳或杆方向的速度分量大小相等.该类问题我们称之为“关联速度”类问题.
2.解题关键
(1)物体的实际运动(速度)一定是合运动(速度).
(2)分速度的方向要按实际运动效果确定.一般分解时，两个分速度方向应
取沿绳(或杆)方向和垂直绳(或杆)方向.
(3)由于绳(或杆)不可伸长，沿绳(或杆)方向的分速度大小相等.
3.常见的模型如图所示
考向一 绳端关联速度
例4 [2024·四川内江模拟] 如图所示，轨道车 通过细钢丝跨过定滑轮拉着
特技演员上升.轨道车沿水平地面以速度 向左匀速前进，某时
刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为 ，连接特技演员 的钢
丝竖直，取，，则该时刻特技演员 ( )
A.速度大小为
B.速度大小为
C.做匀速运动
D.处于失重状态
√
[解析] 轨道车、特技演员 沿绳方向的速度
相等，该时刻特技演员 速度大小为
，故A正
确，B错误；轨道车向左匀速前进， 逐渐
减小，特技演员 速度逐渐增大，做加速运动，
故C错误；特技演员 做加速运动，有向上的
加速度，处于超重状态，故D错误.
考向二 杆端关联速度
例5 [2024·山西忻州模拟] 如图所示，“ ”形光滑硬杆固定
在竖直平面内， ，底边水平.均可视为质点的带孔
小球甲、乙间用轻质细杆相连，分别套在“ ”形杆上的 、
点，开始时两球在同一竖直线上处于静止状态，某时刻给
A. B. C. D.
乙一个轻微扰动使它们开始运动，当甲运动到点时，速度大小为 ，轻
质细杆与水平方向的夹角为 ，则此时乙球的速度大小为( )
√
[解析] 当甲运动到点时，速度大小为 ，轻质细杆与水平方向的夹角为
，则此时乙球的速度大小为 ，根据甲、乙沿杆方向的分速度相同
可得 ，解得 ，故选B.
变式5 [2024·安徽宣城模拟] 如图所示，杆以恒定角速度 绕 点在
竖直平面内顺时针转动，并带动同时套在水平杆及转动杆 上的小环
运动.已知点到水平杆距离为，运动开始时 杆在竖直位置.从运
动开始时计时，下列说法正确的是( )
A.小环向 端匀速运动
B.小环向 端减速运动
C.时刻时，小环的速度大小为
D.时刻时，小环的速度大小为
√
[解析] 经过时间，则有， 的长度为
，则杆上所在的点绕 点的线速度为
，将小环的速度沿杆方向和垂直于 杆方
向分解，垂直于杆的分速度等于所在的点绕 点的线
速度，则小环的速度大小为 ，联立解得
，可知随着时间的增加，小环向 端运动的
速度增大，所以小环做加速运动，故选C.
曲线运动的条件与轨迹分析
1.如图所示，光滑水平面上一质点正以速度 通过点，为光滑水平面上直角坐标系 的原点，此时给质点加上沿轴正方向的恒力和沿轴正方向的恒力 ，则( )
A.若 ，则质点做直线运动
B.若，则质点向 轴一侧做曲线运动
C.若，则质点向 轴一侧做曲线运动
D.因为与成 角，所以质点做曲线运动
√
[解析] 若 ,则质点所受合力与速度共
线,质点将做直线运动,故A正确;若只知道 ,
则无法判断合力方向与速度方向是否共线,故不能判断质点是否做曲线运
动,故B、C错误;做曲线运动的条件是合力与速度不共线而不是分力与速度
不共线,故D错误.
2.[2023·全国乙卷] 小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增
加.如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力.下列四幅
图可能正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 从左向右运动，速度的方向为轨迹的切线方向，小车做曲线运动
时合力指向轨迹的内侧，且与速度方向成锐角时，动能增加,故选D.
√
运动的合成与分解
3.2022年10月20日杭州学军中学第60届田径运动会隆重举行,各班进行入场
式表演时,无人机从地面开始起飞,在空中进行跟踪拍摄.若无人机在水平和
竖直方向运动的速度随时间变化关系图像如图所示,则无人机( )
A.在 的时间内,运动轨迹为曲线
B.在 的时间内,运动轨迹为直线
C.在 的时间内,速度均匀变化
D.在 时刻的加速度方向竖直向上
√
[解析] 在的时间内,无人机沿方向和 方向均做初速度为零的匀加
速直线运动,其合运动仍是直线运动,故A错误;在 的时间内,无人机的
加速度沿轴负向,但初速度为时刻的末速度且方向不沿 轴方向,速度和
加速度不共线,因此运动轨迹应是曲线,故B错误;在 的时间内,无人机
加速度沿轴负向,且为定值,因此其速度均匀变化,故C正确;在 时刻,无人
机有轴负方向和 轴正方向的加速度分量,合加速度方向不是竖直向上,故
D错误.
4.[2023·浙江1月选考] 如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从
点抛出沿轨迹运动，其中 是最高点.空气阻力大小与瞬时速度大小
成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小( )
A.点最大 B. 点最大
C. 点最大 D.整个运动过程保持不变
√
[解析] 在小石子运动整个过程中，一直都有速度，存在阻
力，且阻力大小随速度变化，因此合力不可能恒定，加速
度不可能保持不变，选项D错误；空气阻力大小与瞬时速
度大小成正比，即，从到 的过程中，空气阻力有竖直向下的分
量，设速度与竖直方向夹角为 ，则，可知在点最大；
而从到 的过程中，空气阻力有竖直向上的分量，根据，
可知在处 最大，综上可知，小石子从到的整个过程，在 点竖直方
向分运动的加速度最大，选项A正确，B、C错误.
小船渡河问题
5.如图所示，直线和 表示笔直且彼此平行的河岸，
若河水不流动，小船船头垂直于河岸由 点匀速驶向对岸，
小船的运动轨迹为直线 .若河水以稳定的速度沿平行于河
岸方向流动，且整个河流中水的流速处处相等，现仍保持
A.直线 B.曲线 C.直线 D.曲线
小船船头垂直于河岸由 点匀加速驶向对岸，则小船实际运动的轨迹可能
是图中的( )
√
[解析] 小船在流动的河水中行驶时，同时参与两个方向的分运动，一是沿水流方向的匀速运动，二是沿垂直于河岸方向的匀加速运动.小船沿垂直于河岸方向具有加速度，由牛顿第二定律可知，小船所受的合力垂直于河岸方向指向对岸，根据曲线运动的加速度方向指向轨迹凹侧可知，轨迹可能是曲线 .
6.已知某船在静水中的速率 ，现让船渡过某条河，假设这条河
的两岸是理想的平行线，河宽，河水的流动速度 ，
方向与河岸平行向右.试分析：
(1) 欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样(画图表示)？最短时间是
多少？船发生的位移是多大？
[答案] 船头垂直指向对岸，如图甲所示; ;
[解析] 如图甲所示，当船头垂直指向对岸时，渡河所需要的时间最短，
最短时间
船沿着水流方向的位移大小
船发生的位移
6.已知某船在静水中的速率 ，现让船渡过某条河，假设这条河
的两岸是理想的平行线，河宽，河水的流动速度 ，
方向与河岸平行向右.试分析：
(2) 欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样(画图表示)？
渡河所用时间是多少？
[答案] 如图乙所示，船头指向与河岸的夹角;
[解析] 欲使船航行距离最短，需使船的实际位移(合位移)与河岸垂直，如
图乙所示，,则船的合速度
渡河所用时间
6.已知某船在静水中的速率 ，现让船渡过某条河，假设这条河
的两岸是理想的平行线，河宽，河水的流动速度 ，
方向与河岸平行向右.试分析：
(3) 若河水的流动速度增大为 ，其余条件不变，欲使船渡河过程
中的航行距离最短，船的航向又应怎样(画图表示)？渡河所用时间是多少？
[答案] 如图丙所示,船头指向与河岸的夹角;
[解析] 若河水的流动速度增大为 ，此时水的速度大于船的速度，
船不能垂直于河岸到达对岸，当船速与合速度的方向垂直时，船渡河过程
中的航行距离最短.如图丙所示,
此时垂直于河岸方向的分速度
又，渡河的时间
联立解得
“关联速度”类问题
7.(多选)钓鱼是一项越来越受到欢迎的运动，钓到大鱼时一般会先将鱼遛
至没有力气再收线，如图所示，在收尾阶段，鱼已经浮在水面上不再挣扎，
钓鱼者以恒定速率 收鱼线(钓鱼者和鱼竿视为不动)，鱼线与水平面的夹
角为 ，以下说法正确的是 ( )
A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B.当 时，鱼的速率为
C.当 时，鱼的速率为
D.鱼受到的合外力恒定
√
√
[解析] 如图所示，将鱼的速度分解为沿线方向的速度和
垂直线方向的速度，则 ，钓鱼者以恒定速
率收鱼线过程中 增大，则 增大，鱼做非匀变速运
动，合外力不是恒定值，故A正确，D错误；根据
，可知当 时, ，当
时, ，故B正确，C错误.
8.为了训练飞行员将舰载机降落在航空母舰上的能力，
在陆地上建设了模拟平台进行常规训练.如图所示，阻拦
索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对飞
机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停
止.飞机挂钩与阻拦索间不滑动.若某一时刻阻拦索夹角
A. B. C. D.
[解析] 飞机沿阻拦索方向的速度分量等于阻拦索移动的速度大小，即
，故选B.
是 ，飞机沿中线运动的速度为 ，则阻尼器左侧阻拦索的移动速度大
小是( )
√
9.甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻杆连接，乙球处于粗糙水平地面
上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为 .施加微
小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点 时，下列
说法正确的是( )
A.甲、乙两球的速度大小之比为
B.甲、乙两球的速度大小之比为
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
√
[解析] 设轻杆与竖直方向的夹角为 ，则 在沿杆方向
的分量为 ， 在沿杆方向的分量为
，而 ，在图示位置时，
有， ，联立解得此时甲、乙
两球的速度大小之比为 ，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，
有 ，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C、D
错误.
10.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为和 的
两个小球和 (可视为质点).将其放在一个光滑球形容
器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球 与球
形容器球心等高，其速度大小为 ，已知此时轻杆与
A. B. C. D.
水平方向成 角，球的速度大小为 ，则 ( )
√
[解析] 球与球形容器球心等高，速度 方
向竖直向下，速度分解如图所示，有
，将球此时速度
分解如图所示，因此 ，
沿杆方向两球速度相等，即 ，解
得 ，C正确.
作业手册
1.[2024·河北保定模拟] 在风洞实验室中进行如图所示
的实验，光滑的水平面上一小球以速度 向东运动，
运动中要穿过水平向北的风洞 ，在风洞施加的水平
恒力作用下，小球通过风洞过程及通过后的轨迹图正
确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 小球在光滑的水平面上以 向东运动，给小球
一个向北的水平恒力，根据曲线运动条件，合外力指
向物体做曲线运动轨迹的凹侧，且速度的方向沿着轨
迹的切线方向，故选A.
2.[2024·吉林一中模拟] 如图所示，一条不可伸长的细绳跨过一个小定滑
轮，将、两物体连在一起，以速度 向右匀速运动，当细线与水平方
向成 角时，物体的速度和绳的拉力与 物体重力之间的关
系为( )
A.物体的速度为 ，绳的拉力大于 物体重力
B.物体的速度为 ，绳的拉力等于 物体重力
C.物体的速度为 ，绳的拉力大于 物体重力
D.物体的速度为 ， 物体处于超重状态
√
[解析] 将物体 的速度分解为沿细绳方向的速度和垂
直细绳方向的速度，沿细绳方向的速度等于 物体的
速度，则物体的速度为 ，随 角的增
加，物体的速度减小，即 物体向下做减速运动，
处于超重状态，即绳的拉力大于 物体重力，故选A.
3.如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做
成的小圆柱体从坐标原点以速度 匀速上浮的同时，玻璃管
沿轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动.测得某时刻的、 坐标值分
别为和 ，从开始移动到该时刻的过程中，下列说法正确的是
( )
A.该过程所用时间为
B.玻璃管运动的加速度大小为
C.该时刻小圆柱体的速度大小为
D.该时刻小圆柱体的速度方向与轴夹角的正切值为
√
[解析] 在 轴方向做匀速直线运动，所以运动时间为
，故A错误；在 轴水平方向做初速度为0的
匀加速直线运动，有，解得 ，故B
正确；该时刻小圆柱体 的速度大小为
，故C错误；该时刻小圆柱体的速度方向与
轴夹角的正切值为 ，故D错误.
4.[2024·山西大同模拟] 有一条两岸平直，河宽为 ，河水流速恒为
的大河.现驾着小船渡河，小船在静水中的速度为 ，下列说法
正确的是( )
A.小船可以垂直到达对岸
B.小船不可能到达对岸的上游位置
C.小船相对于河岸的速度可能是
D.小船能到达对岸的最短时间是
√
[解析] 根据平行四边形定则，由于船在静水中的速度大于水速，则合速
度可能垂直于河岸，即船可能垂直到达对岸，合速度也可能斜指向上游方
向，即小船可能到达对岸的上游位置,故A正确，B错误；小船相对于河岸
的速度大小范围为 ，故C错误；当船在静水中的速度
与河岸垂直时，过河的时间最短，最短渡河时间为 ，故D
错误.
5.[2024·安徽亳州模拟] 如图甲是河水中的漩涡，漩涡边沿水的流速相对中心处的
流速较慢，压强较大，从而形成压力差，导致周边物体易被“吸入” 漩涡. 如图乙是
某河道处有个半径为的漩涡危险圆区，其与河岸相切于 点.设河道除漩涡区外
其他区域水流恒定，水流速度大小恒为，河岸上点为 点的上游，
、两点距离为. ，，若一小船从河岸的 处要沿
直线避开危险圆区到对岸，小船相对静水的速度最小值 为( )
A.1. B.2. C.2. D.3.
√
[解析] 小船速度最小且避开危险区沿直线运动到
对岸时，合速度方向恰好与危险区相切，如图所
示，由于水流速不变，合速度与危险区相切，小
船相对静水的速度为水流速度矢量末端到合速度上任一点的连线，可知当
小船相对静水的速度与合速度垂直时速度最小，根据题意得 ，
解得 ，小船相对静水的速度最小值为 ，解得
，故选B.
6.(多选)[2024·浙江杭州模拟] 我国少数民族运动会上，设有跑马射箭项
目(如图甲所示)，运动员需骑马在直线跑道上奔驰，在指定位置弯弓放箭，
射击侧方的固定靶标.如图乙所示，假设无风的天气运动员骑马沿直线跑
道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小相等，弓箭放出时指向固
定标靶的速度已知为，且与直线跑道的夹角为 ，直线跑道到固定靶
标的最短距离为 ，下列说法正确的是( )
A.运动员射出弓箭的速度方向与直线跑道的夹角为
B.运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均
为
C.射出的弓箭发生的位移为
D.射出的弓箭的运动时间为
√
√
[解析] 运动员静止时射出弓箭的速度与骑马沿直线跑道奔驰的速度的合速
度为 ，且两个分速度的大小相等，则速度合成的平行四边形是菱形，由
几何关系可得运动员静止时射出弓箭的速度方向与合速度的夹角为，
与直线跑道的夹角为 ，故A错误；由几何关系可得 ，
可得运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小
均为，故B正确；射出的弓箭发生的位移为 ，故C
错误；射出的弓箭的运动时间为
，故D正确.
7.[2024·江西九江模拟] 小物体在直角坐标系平面内运动， 时刻
位于坐标原点，在、 方向的位移随时间变化的图像如图甲、乙所示，图
乙的图像为抛物线，且 时刻抛物线的切线为时间轴.则小物体( )
A.t=0时速度大小为2m/s B.时加速度大小为
C.时速度大小为 D.时加速度大小为
√
[解析] 图线切线的斜率表示速度的大小，由图可得，当 时，小物体
在轴方向的速度大小为，小物体在 轴方向的速度
大小为，则时，小物体的速度为 ，故A
正确；小物体在轴方向做匀速直线运动，则，在 轴方向，小物体
做匀加速直线运动，则，将图乙中，时， 代入，
解得，所以 时，物体的加速度大小为
，故B、D错误；当时，小物体在 轴方向的分速度为
，小物体在 轴方向的分速度为，所以当
时，小物体的速度为
，
故C错误.
8.(多选)[2024·重庆八中模拟] 潜艇从海水的高密度区驶入低密度区的过程称为 “掉深”.图甲为某潜艇在高密度区水平向右匀速航行； 时，该潜艇开始 “掉深”.图乙为其竖直方向的图像，水平速度 保持不变. 潜艇可视为质点，则 “掉深”后的 内，潜艇( )
A.做匀变速直线运动
B. 内的速度变化量为0
C.末的速度大小为
D.内的位移大小为
√
√
[解析] 由于潜艇在竖直方向做变速运动，在水平方向做匀速运动，所以
潜艇做曲线运动，故A错误；根据图像可知，潜艇在 内的加
速度大小为，则潜艇在 内的速度变化量的
大小为，故B错误；
根据 图像可知，潜艇在末的竖直分速度为
，则 末的速度大小为
，故C正确；
根据 图像可知，潜艇在内的竖直分位移大小为
，水平分位移大小为，
则潜艇在 内的位移大小为
，故D正确.
9.(多选)[2024·天津和平区模拟] 如图甲所示，直升机放下绳索吊起被救人员，
一边收缩绳索一边飞向安全地带.前4秒内被救人员水平方向的 图像和竖直
方向的 图像分别如图乙、丙所示.不计空气阻力，则在这4秒内 ( )
A.以地面为参考系，被救人员的运动轨迹是一条抛物线
B.绳索中的拉力方向为倾斜向右上方
C.被救人员对绳索的拉力大小等于绳索对被救人员的拉力大小
D.以地面为参考系，时被救人员的位移大小为
√
√
√
[解析] 由图乙可知，被救人员沿水平方向做匀速直线运动，图丙可知，
在竖直方向上被救人员向上做匀加速运动，以地面为参考系，有
、，联立可得 ，所以被救人员的运动轨迹是一
条抛物线，故A正确；由图乙可知，被救人员沿水平方向做匀速直线运动，
即在水平方向处于平衡状态，受到的
合外力等于0，所以可知绳索沿水平
方向的作用力为0，则绳索中拉力
方向一定为竖直向上，故B错误；
根据牛顿第三定律，可知被救人员对绳索的拉力大小等于绳索对被救人员
的拉力大小，与运动状态无关，故C正确；由图乙可知，被救人员沿水平
方向的位移为 ，由图丙可知，被救人员在竖直方
向的位移为 ，则被救人员的位移
，故D正确.
10.甲图为一款发动机的机械传动装置的示意图，可简化为图乙，曲轴
绕固定的点自由转动，通过连杆使活塞左右滑动.已知曲轴 长为
0.，连杆长为0.，绕 点沿顺时针方向匀速转动的角速度为
，下列说法正确的是( )
A.活塞的最大速度为
B.当与 共线时，活塞的加速度为0
C.当杆与垂直时，活塞的速度小于
D.当杆与垂直时，活塞的速度大于
√
[解析] 当曲轴与连杆夹角为 ，连杆与水平方向夹角为 时，
速度分解示意图如图所示，根据运动的合成与分解，沿杆方向的分速度
、 ,又因为 ，且二者沿杆方
向的分速度相等,即，解得，当 时，此时
连杆与圆相切，其中 ，解得
，可知 并不是
最大速度，故A、C错误，D正确；
当与共线时，点沿的瞬时速度为零， 的瞬时速度为零，运动方向改变，即此时活塞的加速度不为零，故B错误.
11.[2024·宁夏银川一中模拟] 已知某船在静水中的速率为 ，
现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为 ，
河水的流动速度为 ，方向与河岸平行.
(1) 求船渡河的最短时间；
[答案]
[解析] 当船的船头始终与河岸垂直时，其船渡河的时间最短,设为 ，有
解得
11.[2024·宁夏银川一中模拟] 已知某船在静水中的速率为 ，
现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为 ，
河水的流动速度为 ，方向与河岸平行.
(2) 求船渡河过程中航行距离最短的情况下所用的时间；
[答案]
[解析] 由题意可知，船速大于水速，所以船渡河过程中最短距离为船垂
直到达河岸，此时船头指向河岸上游，设其与河岸上游夹角为 ，有
则船的合速度为
设船渡河所用时间为，有
解得
11.[2024·宁夏银川一中模拟] 已知某船在静水中的速率为 ，
现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为 ，
河水的流动速度为 ，方向与河岸平行.
(3) 船在静水中的速度从0开始做匀加速运动，加速度大小为 ，
当船头垂直河岸渡河时，试建立坐标系推导船在河水中的运动轨迹方程
(其他条件不变，以出发点为坐标原点).
[答案]
[解析] 由题意可知，船头垂直于河岸，即在垂直于河岸方向上船从静止
开始做匀加速直线运动，船在平行于河岸方向随水流做匀速直线运动，建
立坐标如图所示,所以在垂直河岸方向有
平行于河岸方向有
整理有
必备知识自查
一、1.切线 2.方向,变速
二、2.平行四边形定则 3.时间 4.非匀变速 匀变速 直线 曲线
【辨别明理】 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.×
核心考点探究 考点一 例1.D 变式1.B 变式2.AD
考点二 例2.D 变式3.A 考点三 例3.（1）, （2）,
（3） 变式4.A
考点四 考向一 例4.A 考向二 例5.B 变式5.C
基础巩固练
1.A 2.A 3.B 4.A
综合提升练
5.B 6.BD 7.A 8.CD 9.ACD
拓展挑战练
10.D 11.（1） （2） （3）

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