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第10讲　抛体运动
[推理证明]
如图所示,以抛出点O为坐标原点,以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向.
①平抛运动在竖直方向上的运动为自由落体运动,由自由落体运动的规律得h=gt2,解得t=,与初速度v0无关.
②由平抛运动规律得x=v0t,h=gt2,解得水平射程x=v0,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定.
③因平抛运动为匀变速曲线运动,加速度a=g,故在任意相等时间Δt内的速度改变量为Δv=gΔt,方向竖直向下.
例1　C　[解析] 青蛙做平抛运动,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动,则有x=v0t,h=gt2,联立解得v0=x,由此可知,水平位移越小,竖直高度越大,则初速度越小,因此青蛙将跳到荷叶c上面,故C正确.
例2　AD　[解析] 依题意,小球做平抛运动,则有hA=g、hB=g,又v0tan 45°=gtA,v0tan 60°=gtB,根据几何关系hB-hA=40 m,联立解得v0=20 m/s、tA=2 s、tB=2 s,可得tB-tA= s,故选A、D.
[推理证明]
如题图所示,以抛出点O为坐标原点,以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向.
①由题图可知,速度偏转角的正切值tan θ==,位移偏转角的正切值tan α===,故tan θ=2tan α.
②过P作末速度的反向延长线,交初速度所在直线于C点,设过P点的竖直线与初速度所在直线的交点为D点,则tan θ=,而tan α=,由①知,tan θ=2tan α,即=,故CD=OD,即C点为OD的中点.
例3　BD　[解析] 依题意,乒乓球恰好垂直于球拍拍面落在B点,根据平抛运动速度与水平方向夹角α和位移方向与水平方向夹角β关系tan α=2tan β,可知A、B两点的连线(位移方向)与球拍不垂直,故A错误;乒乓球做平抛运动,根据g=,可知乒乓球在空中飞行的过程中,单位时间内速度的变化量相同,故B正确;根据平抛运动规律的推论,乒乓球速度的反向延长线过水平分位移中点,如图甲所示,可得A、B两点的高度差h和水平距离x满足tan θ==,故C错误;作球拍的延长线交墙壁于一点C,如图乙所示,由几何关系可知tan θ==,若乒乓球弹离速度略变小后仍能落在球拍上,则乒乓球的水平分位移减小,在空中飞行的时间变长,故D正确.
甲
乙
变式1　B　[解析] 击中C、D两点的小球运动时间相同,竖直方向有y=gt2,vy=,水平方向有x=v0t,又BC=AB,解得落地时vC==,vD==2,故击中C、D两点的小球落地速度大小之比为,故A错误;由之前的分析可知,击中C、D两点的小球运动时间相同,由于Δv=gt,所以击中C、D两点的小球速度变化量相等,故B正确;击中C、E两点的小球有相同的位移偏转角,由位移偏转角与速度偏转角之间关系有tan θ=2tan α=2,所以其速度与水平方向的夹角均大于45°,故C错误;击中C、E两点的小球运动时间之比为tC∶tE=∶1,由位移偏转角有tan 45°=,水平方向有x=v0t,竖直方向有y=gt2,由于C点和E点的位移偏转角相同,所以解得==,故D错误.
例4　D　[解析] 根据平抛运动规律可知,速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角的正切值的两倍,已知C、D两点的连线正好垂直圆弧在D点的切线,故CD过圆心,根据几何关系可知小球在D点的速度方向不与圆弧在D点的切线垂直,故A、B错误;根据几何关系可知CD的高度为y=rtan θ+rsin θ,则根据y=gt2,解得t=,故C错误;CD的水平位移为x=r+rcos θ,解得v===,故D正确.
变式2　D　[解析] 　设小球平抛运动的初速度为v0,由题意知小球通过D点时的速度与圆柱体相切,则有=tan 60°,即=;小球平抛运动的水平位移x=Rsin 60°=v0t,联立解得=,=,设平抛运动的竖直位移为y,=2gy,解得y=,则CB=y-R(1-cos 60°)=,故D正确,A、B、C错误.
例5　C　[解析] 小物件做平抛运动,可根据平抛运动规律解题,若小物件恰好经窗子上沿,则有h=g,L=v1t1,得v1=7 m/s,若小物件恰好经窗子外侧下沿,则有h+H=g,L+d=v2t2,得v2=3 m/s,所以3 m/s 例6　D　[解析] 当球落到右侧角上的时候,设飞行时间为t1,则3h=g,t1=,t1时间内的水平位移x1==,发射速度v1==;当球刚好擦网落到台面中间线上的时候,设飞行时间为t2,则3h-h=g,t2=2,t2时间内的水平位移x2=,发射速度v2==,则v2例7　BD　[解析] 对重物从P运动到Q的过程,水平方向上有x=v0tcos 30°,竖直方向上有y=-v0tsin 30°+gt2,由几何关系有=tan 30°,联立解得重物的运动时间t=4 s,A错误;重物落地时的水平分速度vx=v0cos 30°=10 m/s,竖直分速度vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s,则tan θ==,所以重物的落地速度与水平方向夹角为θ=60°,B正确;竖直方向上有2gym=,解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym=45 m,D正确;对重物从P运动到Q的过程,将运动沿PQ连线方向和垂直于PQ连线方向分解,垂直于PQ连线方向有2ghmcos 30°=(v0sin 60°)2,解得重物离PQ连线的最远距离hm=10 m,C错误.
例8　A　[解析] 不计空气阻力,喷泉喷出的水在空中只受重力,加速度均为重力加速度,故A正确;根据对称性可知喷泉在空中运动的时间t总=2t=2,由于hb>ha,所以tb>ta,故D错误;设喷泉喷出的水沿竖直方向的分速度为vy,沿水平方向的分速度为vx,在最高点的速度等于沿水平方向的分速度,即v高=vx==x,而初速度v0==,由于沿水平方向的位移大小关系未知,所以无法判断在最高点的速度大小关系,也就无法判断初速度的大小关系,故B、C错误.第10讲　抛体运动
1.B　[解析] 车做平抛运动,设运动时间为t,竖直方向有h=gt2,水平方向有x=v0t,其中x=25 m、v0=25 m/s,解得h=5 m,故选B.
2.B　[解析] 将鱼在空中的运动逆向看成平抛运动,由平抛运动规律得vy=gt=3 m/s、vx==1.5 m/s,鱼离开水面时的速率为v==3.3 m/s,故选B.
3.C　[解析] 设细水管管口到桶右侧的水平距离为r时实现题中所述现象,示意图如图所示,水平抛运动到桶口过程,有h=gt2,r+=v0t,水落入A点过程,有2h=g,r+D=v0t1,联立解得r=,v0=,选项C正确.
4.B　[解析] 甲、乙水柱竖直方向上升的高度相同,从最高点到着火点的高度也相同,可知甲、乙水柱竖直方向的运动情况相同,所以甲、乙水柱在空中运动的时间相等,即有t1=t2,水平方向根据x=vxt,由于甲水柱的水平位移小于乙水柱的水平位移,则有v甲x5.B　[解析] 依题意,设半圆形轨道半径为R,对于甲球,水平方向上有R=v1t1,竖直方向上有R=g,解得v1=,对于乙球,水平方向上有Rcos 53°=v2t2,竖直方向上有R-Rsin 53°=g,解得v2=,可得=,故选B.
6.D　[解析] 如图所示,构建一个过所有台阶边缘的斜面,显然斜面的倾角θ=45°,小球经过斜面时必满足=tan θ,代入数据解得t=0.4 s,此时水平位移x=v0t=0.8 m,为第四级台阶上,小球将首先落在第四级台阶上,选项D正确.
7.D　[解析] 根据平抛运动公式,有h=gt2,代入数据解得t=0.6 s,球在空中运动的时间约为0.6 s,故A错误;在水平方向上,有v0=,代入数据解得球的水平初速度大小v0=12 m/s,故B错误;根据vy=gt,可得球落地前瞬间竖直方向的分速度大小为vy=6 m/s,球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角θ的正切值为tan θ===,又tan 30°=,故C错误;球落地瞬间的速度大小为v== m/s=6 m/s,故D正确.
8.D　[解析] 由小球甲的运动可知,tan θ==,解得t=,落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α甲==,则tan α甲=2tan θ;由小球乙的运动可知,tan θ==,解得t'=,落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α乙==,甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t'=2tan2 θ∶1,A错误;由h=gt2可知甲、乙两球下落的高度之比为4tan4 θ∶1,B错误;由x=v0t可知甲、乙两球的水平位移大小之比为2tan2 θ∶1,C错误;tan α甲=2tan θ,tan α乙=,则=2tan2 θ∶1,D正确.
9.A　[解析] 设乒乓球在运动过程中水平方向的分速度为vx,发球点处竖直方向的分速度大小为vy1,反弹点处竖直方向的分速度大小为vy2,反弹后上升到最高点的时间为t,发球点到反弹点运动的时间为t0,则有h=gt2,L=vx·2t,解得t=,vx=L,设从最高点到与发球点等高的点的时间为t1,有h-h0=g,则有t0=t-t1,在竖直方向,速度与时间的关系有vy2=vy1+gt0,又有0=vy2-gt,发球速度为v==,故C、D错误;结合之前的分析,由几何关系有tan θ==,故A正确,B错误.
10.AC　[解析] 设皮球从出手到入筐运动的时间为t,竖直方向有h2-h1=gt2,解得t=,可知皮球进筐前运动的时间与皮球出手速度大小无关,故A正确,B错误;皮球与篮筐左侧内切时,出手速度最大,则有h2-h1=gt2、d+R-r=vmaxt,解得vmax=(d+R-r),故C正确;皮球与篮筐右侧内切时,出手速度最小,则有h2-h1=gt2、d-R+r=vmint,解得vmin=(d-R+r),故D错误.
11.(1)9∶5　(2)h
[解析] (1)由平抛运动规律有
H=g
排球落在对方场地中间位置,水平位移为x+x=v0t1
排球刚好过网,则H-h=g
x=v0t2
联立解得=9∶5
(2)为使水平向右击出的排球既不触网又不出界,则需满足排球刚好经过网,又刚好到达对方球场边缘,此时击球高度最小,则
Hmin=g、2x=v0t3
排球刚好过网,则有
Hmin-h=g、 x=v0t4
联立解得Hmin=h
12.D　[解析] 设平抛运动的时间为t,如图所示,把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解,由几何关系有=tan θ,解得t=,根据几何关系有H-gt2=v0t×tan θ,联立整理得=×-1,故A错误;结合题图乙函数关系图像可得a=-1,故B错误;由题图乙可得图像的斜率k=-=,又由a=-1,b=1,可得H=0.2 m,故C错误;当θ=45°,b=1时H=0.2 m,根据=×-1,解得v0= m/s,根据t=,解得t= s,故D正确.第10讲　抛体运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
一、平抛运动
1.定义:将物体以一定的初速度沿　　　　方向抛出,物体只在　　　　作用下的运动.
2.性质:平抛运动是加速度为g的　　　　　曲线运动,运动轨迹是　　　　　.
3.研究方法:化曲为直.
4.基本规律
如图所示,以抛出点O为坐标原点,以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向.
二、斜抛运动
1.定义:将物体以初速度v0　　　　　或斜向下方抛出,物体只在　　　　作用下的运动.
2.性质:斜抛运动是加速度为g的　　　　曲线运动,运动轨迹是　　　　.
3.研究方法:运动的合成与分解
(1)水平方向:　　　　直线运动;
(2)竖直方向:　　　　直线运动.
*4.基本规律:以斜抛运动的抛出点为坐标原点O,水平向右为x轴的正方向,
竖直向上为y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x=v0cos θ,v0y=v0sin θ.
在水平方向,物体的位移和速度分别为
x=v0xt=(v0cos θ)t①
vx=v0x=v0cos θ②
在竖直方向,物体的位移和速度分别为
y=v0yt-gt2=(v0sin θ)t-gt2③
vy=v0y-gt=v0sin θ-gt④
【辨别明理】
1.做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化,加速度方向也时刻在变化. (　)
2.做平抛运动的物体的初速度越大,水平位移越大. (　)
3.做平抛运动的物体的初速度越大,在空中飞行时间越长. (　)
4.平抛运动和斜抛运动都是匀变速曲线运动. (　)
5.做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的. (　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　平抛运动规律及其应用
[推理证明] 平抛运动的一般规律
①飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关.
②水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关.
③物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向为竖直向下.
例1 [2024·湖北卷] 如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上.设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方.将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到 (　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
例2 (多选)[2024·贵州贵阳一中模拟] 如图所示,某一小球以v0速度水平抛出,在落地之前经过空中A、B两点,在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°,在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°,A、B两点间的高度差h=40 m(空气阻力忽略不计,g取10 m/s2),以下判断中正确的是
(　)
A.小球运动到A的时间t=2 s
B.小球经过A、B两点间的时间t= s
C.初速度v0=40 m/s
D.初速度v0=20 m/s
　落点有约束条件的平抛运动
[推理证明] 平抛运动二级结论
①速度偏转角θ的正切值与位移偏转角α的正切值关系:tan θ=2tan α.
②过P点作末速度的反向延长线,交初速度所在直线于C点,则C点是水平位移OD的中点.
考向一　落点在斜面上的平抛运动
图示 基本规律 运动时间
水平速度vx=v0,竖直速度vy=gt,合速度v= 由tan θ==得t=
由tan θ==得t=
水平位移x=v0t,竖直位移y=gt2, 合位移s= 由tan θ==得t=
垂直斜面有, 0=v1-a1t, 0-=-2a1d, 离斜面最远距离d=; 沿斜面有v=v2+a2t 由v1=v0sin θ, a1=gcos θ得t=
例3 (多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示,某同学对着墙壁练习打乒乓球.乒乓球(可视为质点)与竖直墙壁上的A点碰撞后沿水平方向弹离,并恰好垂直于球拍拍面落在B点.已知球拍与水平方向的夹角为θ,A、B两点的高度差为h,A,B两点的水平距离为x,忽略空气阻力.下列说法正确的是 (　)
A.A、B两点的连线与球拍垂直
B.乒乓球在空中飞行的过程中,单位时间内速度的变化量相同
C.A、B两点的高度差h和水平距离x满足tan θ=
D.若乒乓球弹离速度略变小后仍能落在球拍上,则乒乓球在空中飞行的时间变长
变式1 [2024·山西大同模拟] 如图所示,自斜面顶端A以不同的速度水平抛出小球,准确命中目标C、D、E点.已知斜面倾角为α=45°,B、C、D均在水平面上,BC=CD,E为斜面AC的中点,以下说法正确的是 (　)
A.击中C、D两点的小球落地速度大小之比为1∶2
B.击中C、D两点的小球速度变化量相等
C.击中C、E两点的小球在C、E两处速度与水平方向的夹角均为45°
D.击中C、E两点的小球水平方向的速度之比为2∶1
考向二　落点在圆弧面上的三种常见情境
运动情景 物理量分析
tan θ==→t=
在半圆内的平抛运动,R+=v0t→t=
小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过,此时半径OQ垂直于速度方向,圆心角θ与速度的偏转角相等,tan θ==→t=
例4 [2024·陕西西安一中模拟] 运动员在一半球形的土坑上进行投掷练习,如图所示,半球形土坑的半径为r,圆心为O,AB是水平直径,人站在土坑的边缘A点,将一个质量为m的小球(视为质点)从C点水平向右抛出,最终小球落到半圆弧上的D点.已知C、D两点的连线正好垂直圆弧在D点的切线,且CD与水平方向的夹角为θ,重力加速度大小为g,忽略空气阻力,下列说法正确的是 (　)
A.小球在D点的速度方向正好垂直圆弧在D点的切线
B.C、D两点的连线不一定经过圆心O
C.小球在空中运动的时间为
D.小球在C点抛出时的速度大小为
[反思感悟] 　



变式2 [2024·福建福州一中模拟] 如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面,半径为R,在B点上方的C点水平抛出一个小球,小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切,OD与OB的夹角为60°,则C点到B点的距离为 (　)
A.R B.
C. D.
　平抛运动的临界和极值问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点.
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点.
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点.
2.平抛运动临界问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质;
(2)根据题意确定临界状态;
(3)确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
例5 [2024·山东青岛模拟] 如图所示,窗子上、下沿间的高度差H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m,某人在离墙壁距离为L=1.4 m、距窗子上沿高为h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物件以速度v水平抛出,小物件直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2.则v的取值范围是 (　)
A.v>7 m/s
B.v<2.3 m/s
C.3 m/sD.2.3 m/s[反思感悟] 　


例6 带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为L1和L2,中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点,能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球,发射点距台面高度为3h.不计空气的作用,重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内,通过选择合适的方向,就能使乒乓球落到球网右侧台面上,则v的取值范围是 (　)
A.B.C.D.[反思感悟] 　



　斜抛问题
1.斜抛运动中的极值
在最高点,vy=0,由必备知识自查中④式得到t=⑤,将⑤式代入③式得物体的射高y m=⑥,物体落回与抛出点同一高度时,有y=0,由③式得总时间t总=⑦,将⑦式代入①式得物体的射程xm=,当θ=45°时,sin 2θ最大,射程最大.所以对于给定大小的初速度v0,沿θ=45°方向斜向上抛出时,射程最大.
2.逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动,可对逆过程分析,看成平抛运动,分析完整的斜上抛运动,还可根据对称性求解某些问题.
例7 (多选)[2024·山东卷] 如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力.重物在此运动过程中,下列说法正确的是 (　)
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
[反思感悟] 　


例8 [2024·江苏卷] 喷泉a、b形成如图所示的形状,不计空气阻力,则喷泉a、b (　)
A.加速度相同
B.初速度相同
C.在最高点的速度相同
D.在空中的时间相同
[反思感悟] 　


一、1.水平　重力　2.匀变速　抛物线　4.v0t　gt2　　　gt　
二、1.斜向上方　重力　2.匀变速　抛物线　
3.匀速　匀变速
【辨别明理】
1.×　2.×　3.×　4.√　5.√第10讲　抛体运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·海南卷] 在跨越河流表演中,一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台,恰好跨越长x=25 m的河流落在河对岸平台上,已知河流宽度25 m,不计空气阻力,g取10 m/s2,则两平台的高度差h为 (　)
A.0.5 m B.5 m
C.10 m D.20 m
2.[2024·河北张家口模拟] 如图所示为澜沧江中一条“会飞的鱼”觅食图片.一条“会飞的鱼”从江面上的某位置以一定初速度斜向上飞出,经0.3 s到达最高点时恰好吃到悬停在空中的昆虫.已知鱼离开水面的位置与悬停昆虫之间的水平距离为x=0.45 m,不计空气阻力,将鱼视为质点,重力加速度g取10 m/s2,=2.2,则鱼离开水面时的速率约为 (　)
A.2.3 m/s
B.3.3 m/s
C.4.3 m/s
D.5.3 m/s
3.[2024·浙江1月选考] 如图所示,小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍,在地面上平移水桶,水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A.已知桶高为h,直径为D,重力加速度为g,则水离开出水口的速度大小为 (　)
A. B.
C. D.(+1)D
4.[2024·山东日照模拟] 一住宅阳台失火,消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火,如图所示甲水柱射向水平阳台近处着火点A,乙水柱射向水平阳台远处着火点B,两水柱最高点在同一水平线上,不计空气阻力,甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2,甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2.以下判断正确的是 (　)
A.v1>v2,t1=t2 B.v1C.v1>v2,t15.[2024·广东广州模拟] 如图所示,在竖直平面内有一半圆形轨道,圆心为O,AB为水平直径,D点为半圆形轨道的最低点,C为轨道上的一点,CO与水平直径的夹角为53°,甲、乙两小球分别从B点和C点水平抛出,两球都落到D点.不计空气阻力,小球可视为质点,sin 53°=0.8,则甲、乙两球初速度之比为 (　)
A. B.
C. D.
6.如图所示,小球从楼梯上以2 m/s的速度水平抛出,所有台阶的高度和宽度均为0.25 m,g取10 m/s2,小球抛出后首先落到的台阶是(　)
A.第一级
B.第二级
C.第三级
D.第四级
7.[2024·浙江金华模拟] 在沂蒙“乡村足球超级联赛”中,某运动员在离球门正前方约7.2 m处头球攻门时,跳起后头部高度约1.8 m,将足球以一定的初速度垂直球门水平顶出,恰好落在球门线上,足球视为质点,不计空气阻力,重力加速度g的大小取10 m/s2,下列说法正确的是(　)
A.球在空中运动的时间约为0.8 s
B.球被水平顶出时的初速度大小约为10 m/s
C.球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角约为30°
D.球落地瞬间的速度大小为6 m/s
8.[2024·安徽合肥模拟] 如图所示,倾角为θ的斜面体固定在水平面上,两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出,两球的初速度大小相等,已知小球甲的抛出点为斜面体的顶点,经过一段时间两球落在斜面上的A、B两点后不再反弹,落在斜面上的瞬间,小球乙的速度与斜面垂直,忽略空气阻力,重力加速度为g,则下列选项正确的是 (　)
A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan 2θ∶1
B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan 2θ∶1
C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1
D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2 θ∶1
9.[2024·辽宁辽阳模拟] 运动员某次发球,将球从离台面高h0处发出,球落在A点反弹后又落在B点,两次擦边.A、B间距离为L,球经过最高点时离台面的高度为h(h>h0),重力加速度为g.若忽略阻力、球的旋转、球与台面碰撞时能量的损失.用v、θ(速度与水平方向的夹角)表示乒乓球离开球拍时的速度大小及方向,则 (　)
A.tan θ= B.tan θ=
C.v= D.v=
10.(多选)[2024·湖南邵阳模拟] 如图甲所示,抛球游戏是小朋友们最喜欢的项目之一,小朋友站立在水平地面上双手将皮球水平抛出,皮球进入水平篮筐且不擦到篮筐就能获得小红旗一枚.如图乙所示.篮筐的半径为R,皮球的半径为r,篮筐中心和出手处皮球的中心高度为h1和h2,两中心在水平地面上的投影点O1、O2之间的距离为d.忽略空气的阻力,已知重力加速度为g.设水平投篮出手速度为v,要使皮球能入筐,则下列说法中正确的是(　)
A.皮球进筐前运动的时间与皮球出手速度大小无关
B.皮球从出手到入筐运动的时间为
C.皮球出手速度v的最大值为
D.皮球出手速度v的最小值为
11.[2024·河南郑州一中模拟] 如图所示,沙滩排球比赛中,球员将球在边界中点正上方沿中线水平向右击出,球网高度为h,半个球场的长为x,空气阻力忽略不计(重力加速度为g).
(1)若球刚好过网落在对方场地中间位置,求击球高度H与球网高度h之比;
(2)为使水平向右击出的排球既不触网又不出界,求击球高度H的最小值.
12.如图甲所示,挡板OA与水平面的夹角为θ,小球从O点的正上方高度为H的P点以水平速度v0抛出,落到挡板时,小球的位移与挡板垂直;让挡板绕O点转动,改变挡板的倾角θ,小球平抛运动的初速度v0也改变,每次平抛运动,使小球的位移与挡板总垂直,-函数关系图像如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 (　)
A.图乙的函数关系图像对应的方程式为=×+1
B.图乙中a的数值为-2
C.当图乙中b=1,H的值为0.1 m
D.当θ=45°,图乙中b=1,则平抛运动的时间为 s(共108张PPT)
第10讲 抛体运动
必备知识自查
核心考点探究
◆
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
备用习题
一、平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿______方向抛出，物体只在______作用
下的运动.
2.性质：平抛运动是加速度为 的________曲线运动，运动轨迹是________.
水平
重力
匀变速
抛物线
3.研究方法：化曲为直.
4.基本规律
如图所示，以抛出点为坐标原点，以初速度方向(水平方向)为 轴正方
向，竖直向下为 轴正方向.
二、斜抛运动
1.定义：将物体以初速度 __________或斜向下方抛出，物体只在______
作用下的运动.
2.性质：斜抛运动是加速度为 的________曲线运动，运动轨迹是________.
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：______直线运动；
(2)竖直方向：________直线运动.
匀速
匀变速
4.基本规律：以斜抛运动的抛出点为坐标原点 ，水平
向右为 轴的正方向，
竖直向上为 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐
标系 .
初速度可以分解为 ， .
在水平方向，物体的位移和速度分别为
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
【辨别明理】
1.做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化.
( )
×
2.做平抛运动的物体的初速度越大，水平位移越大.( )
×
3.做平抛运动的物体的初速度越大，在空中飞行时间越长.( )
×
4.平抛运动和斜抛运动都是匀变速曲线运动.( )
√
5.做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的.( )
√
考点一 平抛运动规律及其应用
［推理证明］ 平抛运动的一般规律
①飞行时间取决于下落高度,与初速度 无关.
②水平射程由初速度和下落高度 共同决定,与其他因素无关.
③物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向为竖直向下.
[答案] 如图所示，以抛出点 为坐标原点，以初
速度方向(水平方向)为 轴正方向，竖直向下为
轴正方向. ①平抛运动在竖直方向上的运动为自
由落体运动，由自由落体运动的规律得,
解得 ，与初速度 无关.②由平抛运动规律
得， ，解得水平射程，即水平射程由初速度
和下落高度 共同决定.③因平抛运动为匀变速曲线运动，加速度 ，
故在任意相等时间内的速度改变量为 ，方向竖直向下.
例1 [2024·湖北卷] 如图所示，有五片荷叶伸出荷塘
水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上.设低
处荷叶、、、和青蛙在同一竖直平面内，、
高度相同，、高度相同，、分别在、 正上方.
A.荷叶 B.荷叶 C.荷叶 D.荷叶
将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到
( )
√
[解析] 青蛙做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，
竖直方向为自由落体运动，则有, ，
联立解得 ，由此可知，水平位移越小，
竖直高度越大，则初速度越小，因此青蛙将跳到荷
叶 上面，故C正确.
例2 (多选)[2024·贵州贵阳一中模拟] 如图所示，某一小球
以速度水平抛出，在落地之前经过空中、两点，在
点小球速度方向与水平方向的夹角为 ，在 点小球速度
方向与水平方向的夹角为 ，、 两点间的高度差
A.小球运动到的时间
B.小球经过、两点间的时间
C.初速度
D.初速度
(空气阻力忽略不计，取 )，以下判断中正确的是
( )
√
√
[解析] 依题意，小球做平抛运动，则有 、
，又， ，根据几
何关系，联立解得、 、
，可得 ，故选A、D.
考点二 落点有约束条件的平抛运动
［推理证明］ 平抛运动二级结论
①速度偏转角 的正切值与位移偏转角 的正切值关系： .
②过点作末速度的反向延长线,交初速度所在直线于 点，则点是水平
位移 的中点.
[答案] 如题图所示，以抛出点 为坐标原点，以初速度
方向(水平方向) 为轴正方向，竖直向下为 轴正方
向.①由题图可知，速度偏转角的正切值 ,位
移偏转角的正切值，故 .
②过作末速度的反向延长线，交初速度所在直线于 点，设过点的竖直
线与初速度所在直线的交点为 点，则,而，由①知,
，即，故，即点为 的中点.
考向一 落点在斜面上的平抛运动
图示 基本规律 运动时间
________________________________________________________
___________________________________________________
图示 基本规律 运动时间
_____________________________________________________________
续表
图示 基本规律 运动时间
__________________________________________________
续表
例3 (多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球.
乒乓球(可视为质点)与竖直墙壁上的 点碰撞后沿水平方向弹离，并恰好垂
直于球拍拍面落在点.已知球拍与水平方向的夹角为 ，、 两点的高度
差为，，两点的水平距离为 ，忽略空气阻力.下列说法正确的是( )
A.、 两点的连线与球拍垂直
B.乒乓球在空中飞行的过程中，单位时间内速度的变化
量相同
C.、两点的高度差和水平距离满足
D.若乒乓球弹离速度略变小后仍能落在球拍上，则乒乓
球在空中飞行的时间变长
√
√
[解析] 依题意，乒乓球恰好垂直于球拍拍面落在 点，根据平抛运动速度
与水平方向夹角 和位移方向与水平方向夹角 关系 ，可
知、 两点的连线(位移方向)与球拍不垂直，故A错误；乒乓球做平抛运
动，根据 ，可知乒乓球在空中飞行的过程中，单位时间内速度的变
化量相同，故B正确；
根据平抛运动规律的推论，乒乓球速度的反向延长线过水平分位移中点，
如图甲所示,可得、两点的高度差和水平距离 满足，故C错误；作球拍的延长线交墙壁于一点 ，如图乙所示，
由几何关系可知 ，
若乒乓球弹离速度略变小后仍能落在
球拍上，则乒乓球的水平分位移减小，
在空中飞行的时间变长，故D正确.
变式1 [2024·山西大同模拟] 如图所示，自斜面顶端 以不同的速度水平
抛出小球，准确命中目标、、点.已知斜面倾角为 ，、 、
均在水平面上，，为斜面 的中点，以下说法正确的是
( )
A.击中、两点的小球落地速度大小之比为
B.击中、 两点的小球速度变化量相等
C.击中、两点的小球在、 两处速度与水平方
向的夹角均为
D.击中、两点的小球水平方向的速度之比为
√
[解析] 击中、 两点的小球运动时间相同，竖直
方向有，，水平方向有 ，
又 ，解得落地时，
，故击中、 两点的小球落地速度大小之比为 ，故A错误；由之前的分析可知，击中、 两点的小球运动时间相同，由于 ，所以击中、 两点的小球速度变化量相等，故B正确；
击中、 两点的小球有相同的位移偏转角，由位移
偏转角与速度偏转角之间关系有 ，
所以其速度与水平方向的夹角均大于 ，故C错
误；击中、 两点的小球运动时间之比为
，由位移偏转角有 ，水平方向有 ，竖直
方向有，由于点和 点的位移偏转角相同，所以解得
，故D错误.
考向二 落点在圆弧面上的三种常见情境
运动情景 物理量分析
_________________________________
______________________________________
运动情景 物理量分析
_____________________________________________________
续表
例4 [2024·陕西西安一中模拟] 运动员在一半球形的土坑上进行投掷练习，如图所示，半球形土坑的半径为 ，圆心为，是水平直径，人站在土坑的边缘点，将一个质量为 的小球 (视为质点)从点水平向右抛出，最终小球落到半圆弧上的点.已知、 两点的连线正好垂直圆弧在点的切线，且与水平方向的夹角为 ，重力加速度大小为 ，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A.小球在点的速度方向正好垂直圆弧在 点的切线
B.、两点的连线不一定经过圆心
C.小球在空中运动的时间为
D.小球在点抛出时的速度大小为
√
[解析] 根据平抛运动规律可知，速度与水平方向夹角的正切值等于位移与
水平方向夹角的正切值的两倍，已知、 两点的连线正好垂直圆弧在点
的切线，故 过圆心，根据几何关系可知小球在点的速度方向不与圆弧
在 点的切线垂直，故A、B错误；根据几何关系可知 的高度为
，则根据 ，解得
，故C错误；的水平位移为
，解得 ，故D正确.
变式2 [2024·福建福州一中模拟] 如图所示为四分之
一圆柱体的竖直截面，半径为，在点上方的
点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在 点与圆柱体相
切，与的夹角为 ，则点到 点的距离为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设小球平抛运动的初速度为 ，由题意知小球
通过 点时的速度与圆柱体相切，则有，
即 ；小球平抛运动的水平位移，
联立解得， ，设平抛运动的竖直位移为，
，解得 ，则 ，故D正确，A、
B、C错误.
考点三 平抛运动的临界和极值问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着
临界点.
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中
存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点.
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着
极值,这个极值点往往是临界点.
2.平抛运动临界问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质;
(2)根据题意确定临界状态;
(3)确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
例5 [2024·山东青岛模拟] 如图所示,窗子上、下
沿间的高度差,墙的厚度 ,某
人在离墙壁距离为 、距窗子上沿高为
处的 点,将可视为质点的小物件以速
度 水平抛出,小物件直接穿过窗口并落在水平地
面上,取.则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 小物件做平抛运动,可根据平抛运动规律
解题,若小物件恰好经窗子上沿,则有 ,
,得 ,若小物件恰好经窗子外
侧下沿, 则有, ,得
,所以 ,选项C正确.
例6 带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为和 ，
中间球网高度为 .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不
同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 .不计空气的作用，重力加速度
大小为.若乒乓球的发射速率 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓
球落到球网右侧台面上，则 的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 当球落到右侧角上的时候，设飞行时间为，则 ，
， 时间内的水平位移 ，发射速度
;当球刚好擦网落到台面中间线上的时候，设飞行时
间为，则，， 时间内的水平位移 ，发射
速度，则 ，
所以D正确.
考点四 斜抛问题
1.斜抛运动中的极值
在最高点，，由必备知识自查中④式得到，将⑤式代
入③式得物体的射高，物体落回与抛出点同一高度时，有
，由③式得总时间，将⑦式代入①式得物体的射程
，当 时， 最大，射程最大.所以对于给定大小
的初速度，沿 方向斜向上抛出时，射程最大.
2.逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可对逆过程分析，看成平抛运动，
分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题.
例7 (多选)[2024·山东卷] 如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，
初速度大小为，与水平方向的夹角为 ,抛出点和落点 的连
线与水平方向夹角为 ,重力加速度大小取 ,忽略空气阻力.重物
在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A.运动时间为
B.落地速度与水平方向夹角为
C.重物离连线的最远距离为
D.轨迹最高点与落点的高度差为
√
√
[解析] 对重物从运动到 的过程，水平方向上有
,竖直方向上有 ，
由几何关系有 ,联立解得重物的运动时间
，A错误；重物落地时的水平分速度
,竖直分速度
，则 ，所以重物的落地速度
与水平方向夹角为 ,B正确；
竖直方向上有 ，解得重物轨迹最高点与
落点的高度差，D正确；对重物从运动到
的过程，将运动沿连线方向和垂直于 连线方向分
解，垂直于连线方向有 ,
解得重物离连线的最远距离 ，C错误.
例8 [2024·江苏卷] 喷泉、 形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉、 ( )
A.加速度相同 B.初速度相同
C.在最高点的速度相同 D.在空中的时间相同
√
[解析] 不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确； 根据对称性可知喷泉在空中运动的时间
,由于，所以 ,故D错误；
设喷泉喷出的水沿竖直方向的分速度为，沿水平方向的分速度为 ，在最高点的速度等于沿水平方向的分速度，即 ,而初速度 ，由于沿水平方向的位移大小关系未知，所以无法判断在最高点的速度大小关系，也就无法判断初速度的大小关系，故B、C错误.
平抛运动规律及其应用
1.以某一初速度水平抛出一物体，若以抛出点为坐标原点，初速度方向为 轴的
正方向，物体所受重力方向为轴的正方向，它的运动轨迹恰好满足方程 ，
经过一段时间速度大小变为初速度的2倍，不计空气阻力，重力加速度为 ，以下
说法不正确的是( )
A.物体水平抛出的初速度为
B.该过程的运动时间为
C.该过程中的位移大小为
D.若该过程的位移方向与水平方向的夹角为 ，则
√
[解析] 根据平抛运动的规律，，联立解得 ，则
有，则物体水平抛出的初速度为 ，选项A正确；经过一段
时间速度大小变为初速度的2倍，则有 ，解得
，又，解得该过程的运动时间为 ，选项B正确；
该过程中的位移为，解得 ，
选项C正确； ，选项D错误.
2.学校游园会组织了投掷比赛.如图所示,小
明将小球以的速度从较高的 点水平抛
出,小芳将小球以的速度从较低的 点水
平抛出,两小球从同一点落入筒中,且落入筒
口时两小球的速度方向相同.两小球可看作
A.两小球到落入筒口时的速度相等 B.
C.两小球抛出的速度 D.抛出点、与 共线
质点,不计空气阻力,两小球从抛出到落入的时间分别为、 .则( )
√
[解析] 根据,可得 ,因,
则,根据 ,可知落入筒口中时的竖
直速度 ,水平速度 为速度方向与水平方向的夹
角 ,可知两小球抛出的速度,两小球落入筒口时的速度 ,可知
两小球落入筒口时的速度不相等,选项A、B、C错误;因两球速度的偏转角
相等, 根据 ,可知位移与水平方向夹角相等,则抛出点、
与 共线,选项D正确.
3.(多选)[2022·山东卷] 如图所示，某同学将离地
的网球以 的速度斜向上击出，击球点
到竖直墙壁的距离为 .当网球竖直分速度为零
时，击中墙壁上离地高度为的 点，网球与
墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的
A. B. C. D.
0.75倍，平行墙面的速度分量不变，重力加速度取， 网球碰墙后
的速度大小和着地点到墙壁的距离 分别为( )
√
√
[解析] 网球上升过程在竖直方向上做竖直上抛运动，
到最高点的竖直分速度为零，由逆向思维法可求出
小球上升到最高点的时间 ，小球抛出时的竖
直分速度大小，根据平行四边形定则得 水平
，将网球的水平速度分解为与墙平行的分速度
和与墙垂直的分速度，网球 在垂直墙方向上做匀速直线运动，
，网球在平行于墙方向上也做匀速直线运动，
由平行四边形定则可得 ，碰墙后，垂直墙面的
速度分量大小变为 ，则碰墙后网球速度大小为
，B正确；碰墙后网球落到地面所用的时间
，小球在垂直墙面方向上的分速度大小为 ，故着地点到墙壁
的距离 ，D正确.
落点有约束条件的平抛运动
4.如图所示，将一小球以水平速度从点向右抛出，经 小
球恰好垂直落到斜面上的点，不计空气阻力，取， 点是小球
做自由落体运动在斜面上的落点.以下判断正确的是( )
A.斜面的倾角是
B.小球的抛出点距点的高度是
C.若将小球以水平速度 向右抛出，它一定
落在的中点 的上方
D.若将小球以水平速度 向右抛出，它一定
落在的中点 处
√
[解析] 设斜面倾角为 ，对小球在 点的速度进行分
解有 ，解得 ，A错误;小球距过 点
水平面的距离为，所以小球的抛出
点距 点的高度一定大于，B错误;若小球的初速度为 ，
过 点作水平面，小球落到该水平面时的水平位移是小球以初速度
抛出时的一半，小球下落时间大于落在点的时间，故小球应
该落在、 之间，C正确，D错误.
5.如图所示，水平地面上固定有一个斜面，斜面倾角为 ，从斜面顶端向右
平抛一个小球(可视为质点)，当初速度为 时，小球恰好落到斜面底端，平
抛的飞行时间为，现用不同的初速度 从该斜面顶端向右平抛这个小球，
则平抛运动结束时，末速度方向与水平方向夹角的正切值 随初速度 变
化的图像，以及平抛运动飞行时间随初速度 变化的图像正确的是 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当初速度 时，小球将落在斜面上，根据
落在斜面上的小球的位移方向与水平方向夹角的正切
值等于小球落在斜面上末速度方向与水平方向夹角正
切值的一半可知，此时末速度方向与水平方向夹角的正切值 为定值，
由 ，可得小球平抛运动时间，小球
落在斜面上时 为定值，则此过程时间与速度 成正比，当初速度
时，小球将落到水平地面，则有 ，由于高度一定，则时间
为定值，则 与 成反比，故A、C、D错误，B正确.
6.图中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道
上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可
调节的弹丸，弹丸射出口在 点的正上方.竖直面内的
半圆的半径，直径水平且与轨道
A.， B.，
C.， D.，
处在同一竖直面内，小孔和圆心连线与水平方向夹角为 .游戏要求
弹丸垂直于点圆弧切线方向射入小孔 就能进入下一关.为了能通关，弹
射器离点的高度和弹丸射出的初速度分别是不计空气阻力， 取
，， ( )
√
[解析] 设弹射器离点的高度为 ，弹丸射出的初速度为，弹丸做平
抛运动，有, ,其中 ， ，
,又知弹丸垂直于点圆弧切线方向射入小孔 ，则,
联立解得, ，选项A正确.
平抛运动的临界和极值问题
7.在如图所示的相同台阶中，水平部分长 ，
竖直部分高，现在正上方某一高度以 的
速度平抛一小球(小球可以视为质点)，如果 小于某
一值，无论取何值，小球均不会落在、 两点之
间，则这个值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若小球刚好经过点和点，则无论 取何值，
小球均不会落在、两点之间，小球经过 点，有
，，小球刚好经过 点，
则有， ，综合以
上各式解得 .
8.单板滑雪 形池比赛是冬奥会比赛项目,其场地可以简化为如图甲所示的模型: 形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成,轨道倾角为 .某次练习过程中,运动员以的速度从轨道边缘上的点沿轨道的竖直
切面 滑出轨道,速度方向与轨道边缘线
的夹角 ,腾空后沿轨道边缘的
点进入轨道.
图乙为腾空过程左视图.该运动员可视为质点,不计空气阻力,重力加速度的大小取,, .
求:(1) 运动员腾空过程中离开的距离的最大值 ;
[答案]
[解析] 在点,设运动员在面内垂直 方向的分速度为 ,由运动
的合成与分解规律得
设运动员在面内垂直 方向的分加速度为,由牛顿第二定律得
由运动学公式得
联立解得
(2) 、之间的距离 .
[答案]
[解析] 在点,设运动员在 面内平行方向的分速度为 ,由运动的
合成与分解规律得
设运动员在面内平行 方向的分加速度为 ,由牛顿第二定律得
设腾空时间为,由运动学公式得
沿斜面方向根据位移—时间关系可得
联立解得 .
斜抛问题
9.小孩站在岸边向湖面抛石子，三次的轨迹如图所示，最高点在同一水平
线上，忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )
A.沿轨迹3运动的石子落水时速度最小
B.沿轨迹3运动的石子在空中运动时间最长
C.沿轨迹1运动的石子加速度最大
D.三个石子在最高点时速度相等
√
[解析] 石子只受重力，故运动的加速度均为 ，
C错误；根据竖直方向运动规律可知，高度决定
运动时间，三条轨迹竖直方向位移相等，故三
个石子运动时间相等，B错误；石子在水平方向
做匀速直线运动，水平分速度与水平位移大小
成正比，因此沿轨迹3运动的石子水平初速度最
小，而最高点处竖直分速度为零，故该点速度等于水平初速度，在最高点
速度不等，D错误；竖直方向运动时间相等，落水时竖直方向分速度相等，
根据平行四边形定则，沿轨迹3运动的石子落水速度最小，A正确.
10.[2023·湖南卷] 如图甲,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播
种.某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直
平面内，抛出点均为,且轨迹交于 点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分
别为和，其中方向水平， 方向斜向上.忽略空气阻力，关于两谷
粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于
C.两谷粒从到 的运动时间相等
D.两谷粒从到 的平均速度相等
√
[解析] 抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；
谷粒2做斜上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从点运动到 点，故位移相同，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，故谷粒2运动时间较长，C错误；
谷粒2做斜上抛运动，水平方向上为匀速直线运动，运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度，与谷粒1比较，由至 过程水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即在最高点的速度小于 ，B正确；
两谷粒从点运动到 点的位移
相同，运动时间不同，故平均
速度不相等，谷粒1的平均速度
大于谷粒2的平均速度，D错误.
11.如图所示,一位网球运动员以拍击球,使网球沿水平
方向飞出.第一个球飞出时的速度为 ,落在自己一方
场地上后弹跳起来,刚好擦网而过,并落在对方场地的
点处.第二个球飞出时的速度为 ,直接擦网而过,也
(1) 网球两次飞出时的速度之比 ;
[答案]
[解析] 两球被击出后都做平抛运动,由平抛运动的规律可知,从两球分别被
击出至各自第一次落地的时间是相等的.
由题意知两球第一次落地点的水平距离之比为
故平抛运动的初速度之比为
落在 点处.设球与地面碰撞时没有能量损失,且不计空气阻力,求:
11.如图所示,一位网球运动员以拍击球,使网球
沿水平方向飞出.第一个球飞出时的速度为 ,落
在自己一方场地上后弹跳起来,刚好擦网而过,并
落在对方场地的 点处.第二个球飞出时的速度
(2) 运动员击球点的高度与网高之比 .
[答案]
为,直接擦网而过,也落在 点处.设球与地面碰撞时没有能量损失,且不计
空气阻力,求:
[解析] 第一个球落地后反弹做斜抛运动,根据运
动的对称性可知,段和 段是相同的平抛运
动,则两球下落相同高度 后水平距离之
和为
而,,
联立可得
根据公式得,
即
解得
作业手册
1.[2024·海南卷] 在跨越河流表演中，一人骑车以
的速度水平冲出平台，恰好跨越长
的河流落在河对岸平台上，已知河流宽
A.0. B. C. D.
[解析] 车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向有 ，水平方向
有，其中、，解得 ，故选B.
度，不计空气阻力，取，则两平台的高度差 为( )
√
2.[2024·河北张家口模拟] 如图所示为澜沧江中一条
“会飞的鱼”觅食图片.一条“会飞的鱼”从江面上的某
位置以一定初速度斜向上飞出，经0. 到达最高点时
恰好吃到悬停在空中的昆虫.已知鱼离开水面的位置
A.2. B.3. C.4. D.5.
与悬停昆虫之间的水平距离为 ，不计空气阻力，将鱼视为质点，
重力加速度取， ，则鱼离开水面时的速率约为( )
√
[解析] 将鱼在空中的运动逆向看成平抛运动，由平
抛运动规律得、 ，
鱼离开水面时的速率为
，故选B.
3.[2024·浙江1月选考] 如图所示，小明取山泉水时发现水
平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平
移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿 .已知
桶高为，直径为,重力加速度为 ，则水离开出水口的速
度大小为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设细水管管口到桶右侧的水平距离为 时实现
题中所述现象，示意图如图所示,水平抛运动到桶口
过程，有，，水落入 点过程，
有，，联立解得 ，
，选项C正确.
4.[2024·山东日照模拟] 一住宅阳台失火，消防
员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所示
甲水柱射向水平阳台近处着火点 ，乙水柱射
A.， B.，
C.， D.，
向水平阳台远处着火点 ，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，
甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为、 ，甲、乙水柱在空中运动的时
间分别为、 .以下判断正确的是 ( )
√
[解析] 甲、乙水柱竖直方向上升的高度相同，
从最高点到着火点的高度也相同，可知甲、乙
水柱竖直方向的运动情况相同，所以甲、乙水
柱在空中运动的时间相等，即有，水平方向根据 ，由于甲
水柱的水平位移小于乙水柱的水平位移，则有 ，根据
，由于甲、乙水柱喷出时竖直分速度相等，所以甲水柱喷
出时的速度小于乙水柱喷出时的速度，即有 ，故选B.
5.[2024·广东广州模拟] 如图所示，在竖直平面内
有一半圆形轨道，圆心为，为水平直径， 点
为半圆形轨道的最低点，为轨道上的一点，
与水平直径的夹角为 ，甲、乙两小球分别从
A. B. C. D.
点和点水平抛出，两球都落到 点.不计空气阻力，小球可视为质点，
，则甲、乙两球初速度之比为( )
√
[解析] 依题意，设半圆形轨道半径为 ，对于甲球，水平方向上有，
竖直方向上有 ，解得 ，对于乙球，水平方向
上有 ，竖直方向上有
，解得
，可得 ,故选B.
6.如图所示，小球从楼梯上以 的速度水平抛出，
所有台阶的高度和宽度均为0.，取 ，
小球抛出后首先落到的台阶是( )
A.第一级 B.第二级 C.第三级 D.第四级
√
[解析] 如图所示，构建一个过所有台阶边缘的斜面，
显然斜面的倾角 ，小球经过斜面时必满足
，代入数据解得 ，此时水平位
移 ，为第四级台阶上，小球将首先
落在第四级台阶上，选项D正确.
7.[2024·浙江金华模拟] 在沂蒙“乡村足球超级联赛”中，某运动员在离球门
正前方约7.处头球攻门时，跳起后头部高度约1. ，将足球以一定的
初速度垂直球门水平顶出，恰好落在球门线上，足球视为质点，不计空气
阻力，重力加速度的大小取 ,下列说法正确的是( )
A.球在空中运动的时间约为0.
B.球被水平顶出时的初速度大小约为
C.球落地瞬间速度方向与初速度方向的
夹角约为
D.球落地瞬间的速度大小为
√
[解析] 根据平抛运动公式，有 ，
代入数据解得 ，球在空中运动的
时间约为0. ，故A错误；在水平方向上，
有 ，代入数据解得球的水平初速度大小 ，故B错误；根据 ，可得球落地前瞬间竖直方向的分速度大小为 ，球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角 的正切值为，又 ，故C错误；球落地瞬间的速度大小为
，故D正确.
8.[2024·安徽合肥模拟] 如图所示，倾角为 的斜面体固定在水平面上，
两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相
等，已知小球甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球落在斜面上
的、 两点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直，
忽略空气阻力，重力加速度为 ，则下列选项正确的是( )
A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为
B.甲、乙两球下落的高度之比为
C.甲、乙两球的水平位移大小之比为
D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方
向夹角的正切值之比为
√
[解析] 由小球甲的运动可知， ，解得 ，落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为 ，则 ；由小球乙的运动可知， ，解得 ，落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为
， 甲、乙两球在空中运动
的时间 之比为，A错误；
由 可知甲、乙两球下落的高度之比为
，B错误；由 可知甲、乙两球的水平位移大小之比为，C错误；
， ，则
，D正确.
9.[2024·辽宁辽阳模拟] 运动员某次发球，将球
从离台面高处发出，球落在 点反弹后又落在
点，两次擦边.、间距离为 ，球经过最高点
A. B.
C. D.
时离台面的高度为，重力加速度为 . 若忽略阻力、球的旋转、
球与台面碰撞时能量的损失.用、 (速度与水平方向的夹角)表示乒乓球
离开球拍时的速度大小及方向，则( )
√
[解析] 设乒乓球在运动过程中水平方向的分速度
为，发球点处竖直方向的分速度大小为 ，反
弹点处竖直方向的分速度大小为 ，反弹后上升
到最高点的时间为 ，发球点到反弹点运动的时间
为，则有 ，，解得， ，设从最高
点到与发球点等高的点的时间为，有，则有 ，
在竖直方向，速度与时间的关系有
，又有 ，发球速度为
，故C、D错误；结合之前的分析，
由几何关系有 ，故A正确，B错误.
10.(多选)[2024·湖南邵阳模拟] 如图甲所示，抛球游戏是小朋友们最喜欢
的项目之一，小朋友站立在水平地面上双手将皮球水平抛出，皮球进入水
平篮筐且不擦到篮筐就能获得小红旗一枚.如图乙所示.篮筐的半径为 ，
皮球的半径为，篮筐中心和出手处皮球的中心高度为和 ，两中心在
水平地面上的投影点、之间的距离
为 .忽略空气的阻力，已知重力加速度
为.设水平投篮出手速度为 ，要使皮球
能入筐，则下列说法中正确的是( )
A.皮球进筐前运动的时间与皮球出手速度大小无关
B.皮球从出手到入筐运动的时间为
C.皮球出手速度的最大值为
D.皮球出手速度的最小值为
√
√
[解析] 设皮球从出手到入筐运动的时间为，竖直方向有 ，
解得 ，可知皮球进筐前运动的时间与皮球出手速度大小无关，
故A正确，B错误；皮球与篮筐左侧内切时，出手速度最大，则有
、，
解得 ，
故C正确；
皮球与篮筐右侧内切时，出手速度最小，则有
、，解得 ，
故D错误.
11.[2024·河南郑州一中模拟] 如图所示，沙
滩排球比赛中，球员将球在边界中点正上方
沿中线水平向右击出，球网高度为 ,半个球
(1) 若球刚好过网落在对方场地中间位置，求击球高度与球网高度 之比；
[答案]
场的长为,空气阻力忽略不计(重力加速度为 ).
[解析] 由平抛运动规律有
排球落在对方场地中间位置，水平位移为
排球刚好过网，则
联立解得
11.[2024·河南郑州一中模拟] 如图所示，沙
滩排球比赛中，球员将球在边界中点正上方
沿中线水平向右击出，球网高度为 ,半个球
(2) 为使水平向右击出的排球既不触网又不出界，求击球高度 的最小值.
[答案]
场的长为,空气阻力忽略不计(重力加速度为 ).
[解析] 为使水平向右击出的排球既不触网又
不出界，则需满足排球刚好经过网，又刚好
到达对方球场边缘，此时击球高度最小，则
、
排球刚好过网，则有
、
联立解得
12.如图甲所示，挡板与水平面的夹角为 ，小球从 点的正上方高度
为的点以水平速度 抛出，落到挡板时，小球的位移与挡板垂直；让
挡板绕点转动，改变挡板的倾角 ，小球平抛运动的初速度 也改变，
每次平抛运动，使小球的位移与挡板
总垂直， 函数关系图像如
图乙所示，重力加速度取 ，
下列说法正确的是( )
A.图乙的函数关系图像对应的方程式为
B.图乙中的数值为
C.当图乙中，的值为0.
D.当 ，图乙中，则平抛运动的时间为
√
[解析] 设平抛运动的时间为 ，如图所示，把平抛运
动的位移分别沿水平和竖直方向分解，由几何关系有
，解得 ，根据几何关系有
，联立整理得 ，故A错误；
结合题图乙函数关系图像可得，故B错误；
由题图乙可得图像的斜率 ，又由
，，可得 ，故C错误；
当 ， 时，根据 ，解得
，根据，解得 ，故D正确.
必备知识自查 一、1.水平,重力 2.匀变速,抛物线 4. ， ， ， ，, ， 二、1.斜向上方,重力 2.匀变速,抛物线 3.匀速,匀变速 【辨别明理】 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 核心考点探究 考点一 [推理论证]如图所示，以抛出点为坐标原点，以初速度方向（水平方向）为轴正方向，竖直向下为轴正方向.①平抛运动在竖直方向上的运动为自由落体运动，由自由落体运动的规律得,解得，与初速度无关.
②由平抛运动规律得，，解得水平射程，即水平射程由初速度
和下落高度共同决定.③因平抛运动为匀变速曲线运动，加速度，故在任意相等时间内的速度改变量为，方向竖直向下. 例1.C 例2.AD 考点二 [推理论证] 如题图所示，以抛出点为坐标原点，以初速度方向（水平方向）为轴正方向，竖直向下为轴正方向.①由题图可知，速度偏转角的正切值,位移偏转角的正切值，故 . ②过作末速度的反向延长线，交初速度所在直线于点，设过点的竖直线与初速度所在直线的交点为点，则,而，由①知, ，即，故，即点为的中点. 考向一 例3.BD 变式1.B 考向二 例4.D 变式2.D 考点三 例5.C 例6.D
考点四 例7.BD 例8.A
基础巩固练
1.B 2.B 3.C 4.B
综合提升练
5.B 6.D 7.D 8.D 9.A 10.AC
11.（1） （2）
拓展挑战练
12.D

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