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第11讲　圆周运动
例1　D　[解析] 圆盘每转一圈的时间为T=15×4 s=60 s,故转速为1 r/min,故A错误;由角速度与周期的关系可得圆盘转动的角速度大小为ω== rad/s,故B错误;蛋糕边缘的奶油线速度大小约为v=ωr= m/s,故C错误;蛋糕边缘的向心加速度大小约为an=ω2r= m/s2,故D正确.
变式1　B　[解析] 磁带传动的速度大小v0保持不变,则A、B外缘的线速度大小为v0保持不变,开始播放听力时,B轮的角速度为ω=,则B轮边缘上C点的线速度大小为v=ωr=,故A错误,B正确;听力播放的过程中,磁带传动的速度大小v0保持不变,则A、B外缘的线速度大小为v0保持不变,由公式v=2πnR,可得n=,听力播放的过程中,A轮的外缘半径增大,则A轮的转速不断减小,B轮的外缘半径减小,则B轮的转速不断增大,故C、D错误.
例2　AD　[解析] 飞镖水平抛出后做平抛运动,水平方向的分运动是匀速直线运动,因此t=,A正确;飞镖击中P点时,P点恰好在圆盘最低点,设圆盘半径为r,则有2r=gt2,解得圆盘的半径r=,B错误;飞镖击中P点,则P点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ(k=0,1,2,…),故ω==(k=0,1,2,…),则圆盘转动角速度的最小值为,C错误;P点随圆盘转动的线速度v=ωr=(k=0,1,2,…),当k=3时,v=,D正确.
例3　D　[解析] 对小球受力分析,相邻两根橡皮筋的合力提供向心力,则有2kcos 60°=mω2l,解得k=,故D正确.
例4　A　[解析] 对P分析可知,竖直方向有FTBPcos 60°=mg+FTAPcos 60°,水平方向有FTBPcos 30°+FTAPcos 30°=mω2lsin 60°,解得FTAP=2.5 N,故选A.
例5　C　[解析] 设绳子与竖直方向的夹角为θ,对小球受力分析,有Fcos θ=mg,mgtan θ=ma,解得F=,a=gtan θ,由题图可知,小球从A高度上升到B高度时,θ增大,所以aB>aA,FB>FA,故C正确,D错误;A、B位置在同一竖直线上,则小球在A、B位置运动的半径相同,根据F=m=mω2r,解得v=,ω=,所以vA变式2　C　[解析] 以摩托车为研究对象,受力分析如图所示,由图得到侧壁对车的支持力为FN=,所以摩托车对侧壁的压力一样大,故A错误;由向心力Fn==ma,解得a=,所以摩托车运动时向心加速度一样大,故B错误;由=mω2r,解得ω=,由于a轨道r大,则ω小,故在a轨道上运动时角速度较小,故C正确;向心力Fn=,所以摩托车和运动员在两轨道上所受的向心力一样大,故D错误.
例6　BCD　[解析] 小球Q在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用,所以小球做圆周运动的线速度要减小,根据向心力公式F=m,可知小球Q所需向心力减小,小球Q做近心运动,小球Q的位置越来越低,故B、C正确;P始终静止在水平桌面上,设摆线与竖直方向夹角为θ,摆线长为l,对小球Q进行受力分析,有mg=FTcos θ,FTsin θ=mω2lsin θ,则FT=,ω=,周期为T=,可知由于空气阻力作用,线速度减小,θ减小,cos θ增大,因此摆线的拉力减小,角速度减小,周期增大,故A错误;对金属块P,由平衡条件可知,P受到桌面的静摩擦力大小等于摆线的拉力大小,则静摩擦力减小,故D正确.第11讲　圆周运动
1.D　[解析] 由题意可知,球面上P、Q两点转动时属于同轴转动,所以角速度大小相等,故D正确;球面上P、Q两点做圆周运动的半径大小关系为rP2.D　[解析] 同皮带转动时有vA=vC,又因为B、C、D三点位于同一个转轮上,所以ωB=ωC,并且rC∶rB=2∶1,根据线速度表达式v=ωr,可得vA∶vB∶vC=2∶1∶2,故A错误;因为B、C点都在同一个转轮上,所以ωB=ωC,同皮带转动时有vA=vC,通过v=ωr可得ωA∶ωC=2∶1,所以有ωA∶ωB∶ωC=2∶1∶1,故B错误;由向心加速度公式a=ω2r=,可知aA∶aB∶aC∶aD=4∶1∶2∶4,故C错误,D正确.
3.A　[解析] 要使卷轴转动不停止,插销运动的半径最大为l,由弹力提供向心力得=mω2l,插销与卷轴为同轴转动,即角速度ω相等,匀速拉动细绳的最大速度v=ωr,联立解得v=r,A正确.
4.A　[解析] 对汽车受力分析,有mgtan θ=m,解得v=10 m/s,故A正确,B错误;根据mgtan θ=m,得v=,汽车的质量和路面的粗糙程度对安全速度无影响,故C、D错误.
5.A　[解析] 对小球受力分析,如图所示,依题意,小球受重力mg和轻绳的拉力FT的合力来提供向心力,可得Fn=mω2r=mgtan θ,又Lsin θ=r,联立解得=cos θ,可知-cos θ图像为过原点的倾斜直线,故选A.
6.B　[解析] 对小球受力分析可知mgtan θ=mω2Rsin θ,解得cos θ=,tan θ=,A错误,B正确;当θ=90°时,弹力方向水平,重力方向沿竖直方向,竖直方向无法平衡,无论如何小球都无法做圆周运动,C错误;当ω=时,可知相对圆环静止(未在圆环最低点)的小球和圆心的连线与转轴的夹角的余弦值为cos θ'==2,显然是不可能的,D错误.
7.BD　[解析] 小球做匀速圆周运动,由其受到的重力与第三根绳子对其拉力的合力提供向心力,由牛顿第二定律可得mgtan 45°=ma,解得a=g,故A错误;同理可得mgtan 45°=mω2r,其中r=Lsin 30°+Lsin 45°,解得ω=,故B正确;对小球受力分析可得,绳子的拉力大小为F==mg,故C错误;对节点O受力分析,系于细杆上的二根绳的拉力的合力大小等于第三根绳上的拉力,根据平行四边形法则,结合题设条件,可知系于细杆上的两轻绳的拉力大小相等,故D正确.
8.(1)5 m/s　(2)12.8 m　(3)800 N
[解析] (1)根据牛顿第二定律有
μg=
解得v1=5 m/s
(2)根据牛顿第二定律有
μg=
解得r2=12.8 m
(3)根据合外力提供向心力有g-FN=
解得FN=800 N
9.D　[解析] 根据牛顿第二定律有F+Ff=mω2r,整理得F=mrω2-μmg,可知F-ω2图像的斜率为k=mr,可知物块a、b、c的质量之比为ma∶mb∶mc=ka∶kb∶kc=∶∶=2∶2∶1,故A、B错误;F-ω2图像的纵截距绝对值为Ff=μmg,由图像可得Ffa∶Ffb∶Ffc=1∶2∶1,可得物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为μa∶μb∶μc=∶∶=∶∶=1∶2∶2,故C错误,D正确.
10.(1)ω=2πn(n为正整数)　(2)11 m或5 m　(3) m
[解析] (1)水滴在竖直方向上做自由落体运动,由h=gt2
可得水滴落到圆盘上的时间为
t=0.5 s
若要使滴落的水滴位于一条直线上,圆盘转动的周期为T,则=t(n为正整数)
则圆盘转动的角速度由T=可得
ω=2πn(n为正整数)
(2)水滴下落前的水平方向加速度满足F=ma
得a=8 m/s2
第二滴水到圆盘中心的距离为
x2=at2+at×t
解得x2=3 m
第三滴水到圆盘中心的距离为
x3=a(2t)2+a×2t×t
解得x3=8 m
当n取奇数时,第二、三滴水落到圆盘上圆心的异侧,落到圆盘上的距离为Δx=x3+x2=11 m
当n取偶数时,第二、三滴水落到圆盘上圆心的同侧,落到圆盘上的距离为Δx=x3-x2=5 m
(3)若圆盘转动的角速度为ω=5π rad/s,则第二滴水落到圆盘上后到第三滴水落到圆盘上时,圆盘转过的角度为θ=ωt-2π=
两滴水的位置与圆心连线成直角,由勾股定理得第二滴水与第三滴水落到圆盘上的距离为
s== m= m第11讲　圆周运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
一、圆周运动
1.描述圆周运动的物理量
2.匀速圆周运动
(1)定义:如果物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处　　　　,即为匀速圆周运动.
(2)特点:加速度大小　　　　,方向始终指向　　　　,是变加速运动.
(3)条件:合外力大小　　　　、方向始终与　　　　方向垂直且指向圆心.
二、离心现象
1.定义:做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周运动所需向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动.
2.本质:做圆周运动的物体,由于本身的　　　　,总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势.
3.受力特点(如图所示)
(1)当F=mω2r时,物体做匀速圆周运动,如图所示.
(2)当F(3)当F=0时,物体沿切线方向飞出.
【辨别明理】
1.物体做匀速圆周运动时,其线速度是不变的. (　)
2.物体做匀速圆周运动时,其合外力是不变的. (　)
3.匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比. (　)
4.做匀速圆周运动的物体,当所受的合外力突然减小时,物体将沿切线方向飞出. (　)
5.摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动,这是由于摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用. (　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　描述圆周运动的物理量
考向一　圆周运动的物理量的分析和计算
例1 [2024·浙江杭州模拟] 小红同学在体验糕点制作“裱花”环节.她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(约20 cm)的蛋糕,如图所示,在蛋糕边缘每隔4 s均匀“点”一次奶油,蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶油,则下列说法正确的是 (　)
A.圆盘转动的转速为2π r/min
B.圆盘转动的角速度大小为 rad/s
C.蛋糕边缘的奶油线速度大小约为 m/s
D.蛋糕边缘的向心加速度大小约为 m/s2
[反思感悟] 　


变式1 [2024·山东日照模拟] 磁带在生活中有较为广泛的应用,磁带盒可以简化为如图所示的结构,A、B为缠绕磁带的两个轮子,半径均为r.听力播放前,磁带全部绕在B轮上,其外缘半径为3r;播放听力的过程中,磁带逐渐绕到A轮上.磁带内部通过复杂的装置,使磁带传动的速度大小v0保持不变.下列说法正确的是 (　)
A.开始播放听力时,B轮的角速度为
B.开始播放听力时,B轮边缘上C点的线速度大小为v0
C.听力播放的过程中,A轮的转速不断增大
D.听力播放的过程中,B轮的转速不断减小
【技法点拨】
在讨论v、ω、a、r之间的关系时,应运用控制变量法.(1)对公式v=ωr的理解①当r一定时,v与ω成正比.②当ω一定时,v与r成正比.③当v一定时,ω与r成反比.(2)对a==ω2r=ωv的理解①在v一定时,a与r成反比.②在ω一定时,a与r成正比.
考向二　圆周运动的周期性问题
例2 (多选)如图所示,一位同学玩飞镖游戏.圆盘最上端有一点P,飞镖抛出时与P在同一竖直平面内等高,且距离P点为L.当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时,圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动.忽略空气阻力,重力加速度为g,若飞镖恰好击中P点,则 (　)
A.飞镖击中P点所需的时间为
B.圆盘的半径可能为
C.圆盘转动角速度的最小值为
D.P点随圆盘转动的线速度可能为
[反思感悟] 　

　圆周运动的动力学问题
1.圆周运动的合力与向心力的关系
(1)匀速圆周运动的条件:合力等于向心力.
(2)变速圆周运动的合力(如图所示)
①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at,改变线速度的大小,当at与v同向时,速度增大,做加速圆周运动,反向时做减速圆周运动.
②指向圆心的分力Fn提供向心力,产生向心加速度an,改变线速度的方向.
2.圆周运动动力学问题的分析思路
例3 [2024·陕西西安模拟] 如图所示,用六根符合胡克定律且原长均为l0的橡皮筋将六个质量为m的小球连接成正六边形,放在光滑水平桌面上.现在使这个系统绕垂直于桌面通过正六边形中心的轴以角速度ω匀速转动.在系统稳定后,观察到正六边形边长变为l,则橡皮筋的劲度系数为 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟] 　
例4 [2024·河南郑州模拟] 如图所示,质量为1 kg、大小不计的小球在P点用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上,随杆在水平面内做匀速圆周运动.已知A、B间的距离与绳长均为1 m,g取10 m/s2.当角速度为5 rad/s时,细绳AP上的拉力大小为 (　)
A.2.5 N
B.20 N
C.1.5 N
D.0 N
[反思感悟] 　

素养提升　圆锥摆类问题
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.模型特点:一根质量不计和不可伸长的细线,上端固定,下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动,细线所掠过的路径为圆锥表面.
2.受力特点:只受两个力,即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT.两个力的合力,就是摆球做圆周运动的向心力Fn,如图所示(也可以理解为拉力FT的竖直分力与摆球的重力平衡,FT的水平分力提供向心力).
3.运动特点:如图摆长为L,摆线与竖直方向夹角为θ,由牛顿第二定律得mgtan θ=mω2r,而r=Lsin θ,解得ω=
讨论:
(1)当悬线长度L一定时,ω∝,当小球角速度ω增大时,悬线与竖直方向的夹角θ增大,悬线拉力FT= 增大,运动半径r=Lsin θ增大,线速度v=ωr增大.
(2)若悬线的长度L和夹角θ均不相同,Lcos θ=h,则ω=,角速度ω相同,小球到悬点在竖直方向上的距离h就相同.
例5 [2024·江苏卷] 如图所示,细绳穿过竖直的管子拴住一个小球,让小球在A高度处做水平面内的匀速圆周运动,现用力将细绳缓慢下拉,使小球在B高度处做水平面内的匀速圆周运动,A、B位置在同一竖直线上,不计一切摩擦,则 (　)
A.线速度vA>vB
B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aAD.向心力FA>FB
[反思感悟] 　


变式2 [2024·广东韶关模拟] 如图所示为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰,做匀速圆周运动,图中a、b两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托,在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹,不考虑车轮受到的摩擦力,下列说法中正确的是 (　)
A.在a轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大
B.在b轨道上运动时向心加速度较大
C.在a轨道上运动时角速度较小
D.在b轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较小
例6 (多选)[2024·河北石家庄模拟] 如图所示,一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔(小孔光滑),另一端连接在金属块P上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆).实际上,小球Q在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用.因阻力作用,小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动),P始终静止在水平桌面上.下列判断正确的是 (　)
A.小球Q做圆周运动的周期变小
B.小球Q做圆周运动所需向心力变小
C.小球Q做圆周运动的线速度变小
D.P受到桌面的静摩擦力变小
[反思感悟] 　


一、1.切线　　　一周　　　·r
man　2.(1)相等　(2)不变　圆心　(3)不变　速度
二、2.惯性
【辨别明理】
1.×　2.×　3.×　4.×　5.×第11讲　圆周运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·辽宁卷] “指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧.如图所示,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上P、Q两点做圆周运动的 (　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
2.[2024·河南郑州一中模拟] 如图所示是一皮带传动装置示意图,右轮半径为r,A是它边缘上的一点;左侧是一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r,B点在小轮上,到轮轴的距离为r.C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上.如果传动过程中皮带不打滑,则关于A、B、C、D四点的比较,下列说法正确的是 (　)
A.vA∶vB∶vC=1∶2∶1
B.ωA∶ωB∶ωC=2∶1∶2
C.aA∶aB∶aC=2∶1∶1
D.aA∶aC∶aD=2∶1∶2
3.[2024·广东卷] 如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动.卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点.细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销.当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动.若v过大,插销会卡进固定的端盖,使卷轴转动停止.忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内.要使卷轴转动不停止,v的最大值为 (　)
A.r B.l C.r D .l
4.[2024·辽宁抚顺模拟] 如图所示,一汽车正在道路上转弯,弯道处的路面是倾斜的,且与水平面所成夹角θ的正切值tan θ=.已知汽车在弯道上做圆周运动的半径为40 m,重力加速度大小g取10 m/s2.若将汽车过弯道恰好没有向内、外侧滑动趋势时的速度称为安全速度,则下列说法正确的是 (　)
A.汽车过该弯道的安全速度为10 m/s
B.汽车过该弯道的安全速度为9 m/s
C.若汽车的质量增大,汽车过该弯道的安全速度增大
D.若遇雨雪天气路面变湿滑时,汽车过该弯道的安全速度减小
5.[2024·福建厦门一中模拟] 如图所示,轻绳的一端拴一小球,另一端与一固定的竖直杆连接.当小球以角速度ω水平绕杆匀速转动时,轻绳与竖直杆之间的张角为θ.下列图像中能正确表示小球做圆周运动的角速度ω与张角θ关系的是 (　)
A
B
C
D
6.[2024·河北张家口模拟] 如图所示,质量为m的小球套在半径为R的光滑圆环上,圆环可绕竖直方向的O1O2轴以角速度ω匀速转动,相对于圆环静止(未在圆环最低点)的小球和圆心的连线与转轴的夹角为θ(大小未知),重力加速度大小为g.下列说法正确的是 (　)
A.tan θ=
B.cos θ=
C.只要圆环转动的角速度足够大,θ可能为90°
D.当ω=时,小球仍能在圆环上除最低点外的某位置相对于圆环静止
7.(多选)[2024·湖南株洲模拟] 如图所示,两轻绳左端系于竖直细杆上,右端与第三根轻绳在O点连结,当三根绳均拉直时,系于细杆上的两轻绳与竖直方向的夹角分别为30°和60°,上方绳长和第三根绳长均为L,第三根绳的末端连接一质量为m的小球,小球可在水平面内绕细杆做匀速圆周运动.不计空气阻力,重力加速度为g,在转动过程中,当第三根绳与竖直方向成45°角时 (　)
A.小球运动的加速度大小为g
B.小球运动的角速度大小为
C.第三根绳子的拉力大小为mg
D.系于细杆上的两轻绳的拉力大小相等
8.[2024·陕西西安一中模拟] 王老师质量为M=60 kg,骑一辆质量为m=40 kg的电动自行车上下班.电动自行车的最大速率为8 m/s.图甲为王老师上下班必经的十字路口,路径1为上班时右转路径,路径2为下班的左转路径,路径1、2均可看作圆的一部分,路径1的半径为5 m,电动自行车与地面之间的动摩擦因数为0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2.
(1)若王老师通过路径1时保持匀速率行驶,求王老师在路径1安全行驶的最大速度;
(2)若王老师以电动自行车最大速率安全匀速通过路径2,求路径2的最小半径;
(3)周末王老师骑电动自行车前往家附近的公园游玩.在通过如图乙半径为8 m的拱桥最高点时车速为4 m/s,求在最高点处桥面对王老师和车整体的支持力大小.
9.[2024·四川成都模拟] 如图甲所示,某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置.已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器可直接测出角速度ω和绳的拉力F,通过一不可伸长的细绳连接物块,细绳刚好拉直,测得物块以不同的角速度随圆盘做匀速圆周运动时拉力F与角速度ω的大小.在电脑上绘出图乙所示图像.换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验,得到物块a、b、c分别对应的三条直线,发现a与c的纵截距相同,b与c的横截距相同,且符合一定的数量关系(最大静摩擦力等于滑动摩擦力).以下说法正确的是 (　)
A.物块a、b、c的质量之比为1∶1∶2
B.物块a、b、c的质量之比为2∶1∶1
C.物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1∶2∶1
D.物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1∶2∶2
10.[2024·天津北辰区模拟] 如图所示,足够长的水平光滑杆上装有小桶,桶内水与小桶的总质量为2 kg,装有水的小桶可以在杆上无摩擦的滑动,长杆下方1.25 m处有一匀速转动的圆盘,某时刻小桶恰好位于圆盘圆心的正上方,小桶内不断有水滴滴落,当前一滴水刚好滴落到圆盘上时,后一滴水刚好从小桶中漏出,当有一滴水刚好从桶中漏出时给小桶一水平向右的作用力F=16 N,使其由静止开始做匀加速运动,并将此滴水记为第一滴,圆盘足够大,在此过程中认为桶内水与小桶的总质量不变,重力加速度g取10 m/s2.
(1)若使滴落的水滴位于一条直线上,求圆盘转动的角速度ω应满足什么条件;
(2)若使滴落的水滴位于一条直线上,求第二滴水与第三滴水落到圆盘上的可能距离;
(3)若圆盘转动的角速度为ω=5π rad/s,求第二滴水与第三滴水落到圆盘上的距离.(结果可保留根号)(共76张PPT)
第11讲 圆周运动
作业手册
必备知识自查
核心考点探究
素养提升
◆
答案核查【听】
答案核查【作】
备用习题
一、圆周运动
1.描述圆周运动的物理量
切线
一周
2.匀速圆周运动
(1) 定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处______，即为
匀速圆周运动.
(2) 特点：加速度大小______，方向始终指向______，是变加速运动.
(3) 条件：合外力大小______、方向始终与______方向垂直且指向圆心.
相等
不变
圆心
不变
速度
二、离心现象
1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周
运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.
2.本质：做圆周运动的物体，由于本身的______，总有沿着圆周切线方向
飞出去的趋势.
惯性
3.受力特点(如图所示)
(1)当 时，物体做匀速圆周运动，如图所示.
(2)当时，物体逐渐远离圆心， 为实际提供的向心力.
(3)当 时，物体沿切线方向飞出.
【辨别明理】
1.物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的.( )
×
2.物体做匀速圆周运动时,其合外力是不变的.( )
×
3.匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比.( )
×
4.做匀速圆周运动的物体，当所受的合外力突然减小时，物体将沿切线方
向飞出.( )
×
5.摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是由于摩托车受沿转弯半
径向外的离心力作用.( )
×
考点一 描述圆周运动的物理量
考向一 圆周运动的物理量的分析和计算
例1 [2024·浙江杭州模拟] 小红同学在体验糕点制作“裱花”环节.她在绕中
心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(约 )的蛋糕，如图所示，在
蛋糕边缘每隔 均匀“点”一次奶油，蛋糕转动一周正好均匀“点”上15点奶
油，则下列说法正确的是( )
A.圆盘转动的转速为
B.圆盘转动的角速度大小为
C.蛋糕边缘的奶油线速度大小约为
D.蛋糕边缘的向心加速度大小约为
√
[解析] 圆盘每转一圈的时间为
，故转速为 ，故A错
误；由角速度与周期的关系可得圆盘转动的角
速度大小为 ，故B错误；蛋糕
边缘的奶油线速度大小约为 ，
故C错误；蛋糕边缘的向心加速度大小约为
，故D正确.
变式1 [2024·山东日照模拟] 磁带在生活中有较
为广泛的应用，磁带盒可以简化为如图所示的结
构，、为缠绕磁带的两个轮子，半径均为 .听
力播放前，磁带全部绕在轮上，其外缘半径为 ;
A.开始播放听力时，轮的角速度为
B.开始播放听力时，轮边缘上点的线速度大小为
C.听力播放的过程中， 轮的转速不断增大
D.听力播放的过程中， 轮的转速不断减小
播放听力的过程中，磁带逐渐绕到 轮上.磁带内部通过复杂的装置，使磁
带传动的速度大小 保持不变.下列说法正确的是( )
√
[解析] 磁带传动的速度大小保持不变，则、 外
缘的线速度大小为 保持不变，开始播放听力时，
轮的角速度为，则轮边缘上 点的线速度
大小为 ，故A错误，B正确；听力播放
的过程中，磁带传动的速度大小 保持不变，则
、外缘的线速度大小为 保持不变，由公式
，可得，听力播放的过程中， 轮
的外缘半径增大，则轮的转速不断减小， 轮的外
缘半径减小，则 轮的转速不断增大，故C、D错误.
[技法点拨]
在讨论、 、、 之间的关系时,应运用控制变量法.
(1)对公式 的理解
①当一定时,与 成正比.
②当 一定时,与 成正比.
③当一定时, 与 成反比.
(2)对 的理解
①在一定时,与 成反比.
②在 一定时,与 成正比.
考向二 圆周运动的周期性问题
例2 (多选)如图所示，一位同学玩飞镖游戏.圆盘最上端有一点 ，飞镖抛
出时与在同一竖直平面内等高，且距离点为.当飞镖以初速度 垂直盘
面瞄准点抛出的同时，圆盘绕经过盘心 点的水平轴在竖直平面内匀速
转动.忽略空气阻力，重力加速度为，若飞镖恰好击中 点，则( )
A.飞镖击中点所需的时间为
B.圆盘的半径可能为
C.圆盘转动角速度的最小值为
D.点随圆盘转动的线速度可能为
√
√
[解析] 飞镖水平抛出后做平抛运动，水平方向的分运动是匀速直线运动，因此，A正确；飞镖击中点时， 点恰好在圆盘最低点，设圆盘半径为，则有，解得圆盘的半径 ，B错误；飞镖击中 点，则 点转过的角度满足 ，
故 ，则圆盘转动角速度
的最小值为 ，C错误； 点随圆盘转动的线速度
，当 时， ，D正确.
考点二 圆周运动的动力学问题
1.圆周运动的合力与向心力的关系
(1)匀速圆周运动的条件：合力等于向心力.
(2)变速圆周运动的合力(如图所示)
①与圆周相切的分力产生切向加速度，改变线速度的大小，当与
同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动.
②指向圆心的分力提供向心力，产生向心加速度 ，改变线速度的方向.
2.圆周运动动力学问题的分析思路
例3 [2024·陕西西安模拟] 如图所示，用六根符合胡克定律且原长均为
的橡皮筋将六个质量为 的小球连接成正六边形，放在光滑水平桌面上.现
在使这个系统绕垂直于桌面通过正六边形中心的轴以角速度 匀速转动.
在系统稳定后，观察到正六边形边长变为 ，则橡皮筋的劲度系数为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对小球受力分析，相邻两根橡皮筋的合力提供向心力，则有
，解得 ，故D正确.
例4 [2024·河南郑州模拟] 如图所示，质量为 、大小不计
的小球在 点用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆
上，随杆在水平面内做匀速圆周运动.已知、 间的距离与
绳长均为，取.当角速度为时，细绳
上的拉力大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 对分析可知，竖直方向有 ，水
平方向有 ，解得 ，
故选A.
√
素养提升 圆锥摆类问题
1.模型特点：一根质量不计和不可伸长的细线，
上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水
平面内做匀速圆周运动，细线所掠过的路径为圆
锥表面.
2.受力特点：只受两个力，即竖直向下的重力
和沿摆线方向的拉力 .两个力的合力，就是摆球
做圆周运动的向心力，如图所示(也可以理解为拉力 的竖直分力与摆
球的重力平衡， 的水平分力提供向心力).
3.运动特点：如图摆长为，摆线与竖直方向夹角为 ，由牛顿第二定律
得，而 ，解得
讨论：
(1)当悬线长度一定时，，当小球角速度
增大时，悬线与竖直方向的夹角 增大，悬线拉力
增大，运动半径 增大，线速度 增大.
(2)若悬线的长度和夹角 均不相同，，则，角速度
相同，小球到悬点在竖直方向上的距离 就相同.
例5 [2024·江苏卷] 如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一
个小球，让小球在 高度处做水平面内的匀速圆周运动，现
用力将细绳缓慢下拉，使小球在 高度处做水平面内的匀速
圆周运动，、 位置在同一竖直线上，不计一切摩擦，则
( )
A.线速度 B.角速度
C.向心加速度 D.向心力
√
[解析] 设绳子与竖直方向的夹角为 ，对小球受力分析,有
，，解得, ，
由题图可知，小球从高度上升到高度时， 增大，所以
，，故C正确，D错误；、 位置在同一竖
直线上，则小球在、 位置运动的半径相同，根据
，解得， ，所以
， ，故A、B错误.
变式2 [2024·广东韶关模拟] 如图所示为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演
员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰，做匀速圆周运动，图中、
两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托，在离地面不同高度处进行表演
的运动轨迹，不考虑车轮受到的摩擦力，下列说法中正确的是( )
A.在 轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大
B.在 轨道上运动时向心加速度较大
C.在 轨道上运动时角速度较小
D.在 轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较小
√
[解析] 以摩托车为研究对象，受力分析如图所示，由图得
到侧壁对车的支持力为 ，所以摩托车对侧壁的压
力一样大，故A错误；由向心力 ，解得
，所以摩托车运动时向心加速度一样大，故B错误；
由，解得，由于轨道大，则
小，故在轨道上运动时角速度较小，故C正确；向心力 ，所以
摩托车和运动员在两轨道上所受的向心力一样大，故D错误.
例6 (多选)[2024·河北石家庄模拟] 如图所示，一根细线下端拴一个金属
小球，细线穿过小孔(小孔光滑)，另一端连接在金属块 上，若不计空气
阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆).实际上，小球 在运
动过程中不可避免地受到空气阻力作用.因阻力作用，小球 的运动轨道发
生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)， 始终静止在水平桌
面上.下列判断正确的是( )
A.小球 做圆周运动的周期变小
B.小球 做圆周运动所需向心力变小
C.小球 做圆周运动的线速度变小
D. 受到桌面的静摩擦力变小
√
√
√
[解析] 小球 在运动过程中不可避免地受到空气阻
力作用，所以小球做圆周运动的线速度要减小，
根据向心力公式 ，可知小球 所需向心
力减小，小球做近心运动，小球 的位置越来越
低，故B、C正确； 始终静止在水平桌面上，设摆
线与竖直方向夹角为 ，摆线长为，对小球 进
行受力分析，有 ，
，则 ，
，周期为 ，可知由于空气阻力作
用，线速度减小， 减小， 增大，因此摆线的拉力减小，角速度减小，周期增大，故A错误；对金属块 ，由平衡条件可知， 受到桌面的静摩擦力大小等于摆线的拉力大小，则静摩擦力减小，故D正确.
描述圆周运动的物理量
1.(多选)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为 ，当齿轮
转动的时候，关于小齿轮边缘的点和大齿轮边缘的 点，下列说法正确
的是( )
A.点和点的线速度大小之比为
B.点和点的角速度之比为
C.点和点的角速度之比为
D.点和点的线速度大小之比为
√
√
[解析] 题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，则点和 点
的线速度大小之比为，由 可知，线速度一定时，
角速度与半径成反比，则点和点角速度之比为 ，故A、
C正确，B、D错误.
2.如图所示为实验室的感应起电机的传动装置简图.甲、乙、
丙三轮的边缘各有一点、、，甲轮的半径为 ，以恒
定角速度顺时针转动，通过皮带交叉连接乙轮，乙轮半径
为，丙轮与乙轮相对静止同轴转动，丙轮半径为 ，
、、三点的角速度分别为、、 ，周期分别为
、、，线速度分别为、、 ，向心加速度分别
为、、，已知 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 、属于皮带传动，故，、 属于同轴
转动，故，由于，根据 ，
可得、，故 、
，故A、C错误；根据 可得
，故B错误；根据 可得
，故D正确.
3.某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝
盘、，盘固定一个信号发射装置 ，能持续沿
半径向外发射红外线，到圆心的距离为. 盘
A. B. C. D.
上固定一个带窗口的红外线信号接收装置，到圆心的距离为. 、
转动的线速度相同，都是，当、正对时， 发出的红外线恰好
进入的接收窗口，如图所示，则 每隔一定时间就能接收到红外线信号，
这个时间的最小值应为( )
√
[解析] 的周期， 的周期
，因为经历的时间必须等于它们
周期的整数倍，根据数学知识， 和0.08的最小
公倍数为 ，所以A正确.
圆周运动的动力学问题
4.如图所示，线段，、 为两个质量相等的
小球，当他们绕 点在光滑的水平面上以相同的角速度
转动时，两线段拉力 为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则，角速度为 ，每个小球的质量为 ，则根
据牛顿第二定律得对球有，对球有 ，
又，联立解得 ，故B正确.
√
5.[2021·浙江6月选考] 质量为 的小明坐在秋千上摆
动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说
法正确的是( )
A.秋千对小明的作用力小于
B.秋千对小明的作用力大于
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
√
[解析] 小明荡秋千时，绳子拉力和重力的合力提供
向心力，设在最高点绳子与竖直方向夹角为 ，在
最高点时速度为零，所以向心力为零，则
，选项A正确，B错误；在最高点
速度为零，但重力沿切线方向的分力为 ，所以合外力不为
零，选项C、D错误.
A.列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B.列车过转弯处的速度 时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C.列车过转弯处的速度 时，列车轮缘会挤压外轨
D.若减小 角，可提高列车安全过转弯处的速度
6.列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为，两铁轨之间的距离为，内、外轨的高度差为 ，铁轨平面和
水平面间的夹角为 很小，可近似认为，
重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
√
[解析] 列车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力
和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力
的合力提供向心力时，有，解得
，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度 时，转弯所需的合力 ，故此时列车内轨受挤压，C错误；若要提高列车速度，则列车所需的向心力增大，故需要增大 ，D错误.
素养提升 圆锥摆类问题
7.四个完全相同的小球、、、 均在水平面内做圆锥摆运动.如图甲所
示，其中小球、在同一水平面内做圆锥摆运动(连接 球的绳较长)；如
图乙所示，小球、在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接、 的绳
与竖直方向之间的夹角相同(连接 球的绳较长)，则下列说法错误的是( )
A.小球、 角速度大小相等
B.小球、 线速度大小相同
C.小球、 向心加速度大小相同
D.小球受到绳的拉力与小球 受到绳的拉力大小相等
√
[解析] 对题图甲、分析，设绳与竖直方向的夹角为 ，小球的质量为，小球、到悬点的竖直距离为，则 ，解得
，所以小球、 的角速度大小相等，线速度大小不相同，
故A正确，B错误；对题图乙、分析，设绳与竖直方向的夹角为 ，小
球的质量为，绳长为，绳上拉力为，则有 ，
得 ，，
所以小球、 向心加速度大小相同，
小球、 受到绳的拉力大小也相同，故C、D正确.
8.(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环 可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地
旋转.一根轻绳穿过，两端分别连接质量为和的小球 、 .设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则( )
A.两球运动的周期相等
B.两球的向心加速度大小相等
C.球、到的距离之比等于
D.球、到的距离之比等于
√
√
[解析] 对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力 ，
绳的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向
的夹角为 ，则有 ，拉力在水平方向上的分力
提供向心力，设该小球到 的距离为，则有
，解得周期为 ，因为任意时
刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项A正确；
连接两球的绳的张力 相等，由 于向心力为
，故与成反比，即
，又小球的向心加速度
，
故向心加速度大小不相等，选项C正确，B、D错误.
9.(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，
圆锥筒的轴线竖直.一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆
周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由
轨道缓慢下降到 轨道，则
在此过程中( )
A.小球的向心加速度逐渐减小 B.小球运动的角速度逐渐减小
C.小球运动的线速度逐渐减小 D.小球运动的周期逐渐减小
√
√
[解析] 以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力
如图所示.由牛顿第二定律得 ，
可知在、轨道的向心力大小相等， ，向心加
速度大小不变，故A错误；角速度 ，由于半径
减小，则角速度变大，故B错误；线速度 ，由于半径减小，线
速度减小，故C正确；周期 ，角速度增大，则周期减小，故D正确.
作业手册
1.[2024·辽宁卷] “指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧.如
图所示，当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上、 两点做圆周
运动的( )
A.半径相等 B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等 D.角速度大小相等
√
[解析] 由题意可知，球面上、 两点转动时属于同轴转动，
所以角速度大小相等，故D正确；球面上、 两点做圆周运
动的半径大小关系为，故A错误；根据 可知，
球面上、两点做圆周运动的线速度大小关系为 ，
故B错误；根据可知，球面上、 两点做圆周运动
的向心加速度大小关系为 ，故C错误.
2.[2024·河南郑州一中模拟] 如图所示是一皮带
传动装置示意图，右轮半径为， 是它边缘上
的一点；左侧是一轮轴，大轮半径为 ，小轮
半径为，点在小轮上，到轮轴的距离为
A. B.
C. D.
点和 点分别位于小轮和大轮的边缘上.如果传动过程中皮带不打滑，则关
于、、、 四点的比较，下列说法正确的是( )
√
[解析] 同皮带转动时有，又因为 、
、三点位于同一个转轮上，所以 ，
并且，根据线速度表达式 ，
可得，故A错误；因为、
点都在同一个转轮上，所以 ，同皮带转动时有，通过
可得 ，所以有 ，故B错误；
由向心加速度公式 ，可知 ，故C错误，
D正确.
3.[2024·广东卷] 如图所示，在细绳的拉动下，
半径为的卷轴可绕其固定的中心点 在水平面
内转动.卷轴上沿半径方向固定着长度为 的细
管，管底在点.细管内有一根原长为 、劲度
A. B. C. D.
系数为的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为 、可视为
质点的插销.当以速度匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动.若 过大，
插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止.忽略摩擦力，弹簧在弹性限度
内.要使卷轴转动不停止， 的最大值为( )
√
[解析] 要使卷轴转动不停止,插销运动的半径最
大为，由弹力提供向心力得 ，插销与
卷轴为同轴转动，即角速度 相等，匀速拉动
细绳的最大速度，联立解得 ，A正确.
4.[2024·辽宁抚顺模拟] 如图所示，一汽车正在道路上转弯，弯道处的路面是
倾斜的，且与水平面所成夹角 的正切值 .已知汽车在弯道上做圆周
运动的半径为，重力加速度大小取 .若将汽车过弯道恰好没有
向内、外侧滑动趋势时的速度称为安全速度，则下列说法正确的是 ( )
A.汽车过该弯道的安全速度为
B.汽车过该弯道的安全速度为
C.若汽车的质量增大，汽车过该弯道的安全速度增大
D.若遇雨雪天气路面变湿滑时，汽车过该弯道的安全速度减小
√
[解析] 对汽车受力分析，有 ，解得
，故A正确，B错误；根据 ，
得 ，汽车的质量和路面的粗糙程度对安全
速度无影响，故C、D错误.
5.[2024·福建厦门一中模拟] 如图所示，轻绳的一端拴一小球，另一端与
一固定的竖直杆连接.当小球以角速度 水平绕杆匀速转动时，轻绳与竖
直杆之间的张角为 .下列图像中能正确表示小球做圆周运动的角速度
与张角 关系的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对小球受力分析，如图所示，依题意，小
球受重力和轻绳的拉力 的合力来提供向心力，
可得 ，又 ，联立
解得 ，可知 图像为过原点
的倾斜直线，故选A.
6.[2024·河北张家口模拟] 如图所示，质量为的小球套在半径为 的光滑
圆环上，圆环可绕竖直方向的轴以角速度 匀速转动，相对于圆环
静止(未在圆环最低点)的小球和圆心的连线与转轴的夹角为 (大小未知)，
重力加速度大小为 .下列说法正确的是( )
A.
B.
C.只要圆环转动的角速度足够大， 可能为
D.当 时，小球仍能在圆环上除最低点外的
某位置相对于圆环静止
√
[解析] 对小球受力分析可知 ，解得 ，
,A错误，B正确；当 时，弹力方向水平，重力方向
沿竖直方向，竖直方向无法平衡，无论如何小球都无法做
圆周运动，C错误；当 时，可知相对圆环静止(未在
圆环最低点)的小球和圆心的连线与转轴的夹角的余弦值为
，显然是不可能的，D错误.
7.(多选)[2024·湖南株洲模拟] 如图所示，两轻绳左端系于竖直细杆上，
右端与第三根轻绳在 点连结，当三根绳均拉直时，系于细杆上的两轻绳
与竖直方向的夹角分别为 和 ，上方绳长和第三根绳长均为 ，第
三根绳的末端连接一质量为 的小球，小球可在水平面内绕细杆做匀速圆
周运动.不计空气阻力，重力加速度为 ，在转动过程中，当第三根绳与竖
直方向成 角时( )
A.小球运动的加速度大小为
B.小球运动的角速度大小为
C.第三根绳子的拉力大小为
D.系于细杆上的两轻绳的拉力大小相等
√
√
[解析] 小球做匀速圆周运动，由其受到的重力与第三根绳子对其拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可得 ，解得，故A错误；同理可得 ，其中 ，解得 ，故B正确；对小球受力分析可得，绳子的拉力
大小为，故C错误；对节点 受力分析，
系于细杆上的二根绳的拉力的合力大小等于第三根绳上的
拉力，根据平行四边形法则，结合题设条件，可知系于细杆
上的两轻绳的拉力大小相等,故D正确.
8.[2024·陕西西安一中模拟] 王老师质量为 ，骑一辆质量为
的电动自行车上下班.电动自行车的最大速率为 .图甲为王
老师上下班必经的十字路口，路径1为上班时右转路径，路径2为下班的左
转路径，路径1、2均可看作圆的一部分，路径1的半径为 ，电动自行车与地面之间的动摩擦因数为 ，最大静摩擦力等于
滑动摩擦力,重力加速度取 .
(1) 若王老师通过路径1时保持匀速率行驶，求王老师在路径1安全行驶的
最大速度；
[答案]
[解析] 根据牛顿第二定律有
解得
(2) 若王老师以电动自行车最大速率安全匀速通过路径2，求路径2的最小
半径；
[答案]
[解析] 根据牛顿第二定律有
解得
(3) 周末王老师骑电动自行车前往家附近的公园游玩.在通过如图乙半径为的拱桥最高点时车速为 ，求在最高点处桥面对王老师和车整体的支持力大小.
[答案]
[解析] 根据合外力提供向心力有
解得
9.[2024·四川成都模拟] 如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间
动摩擦因数的大小设计了该装置.已知固定于转轴上的角速度传感器和力
传感器可直接测出角速度 和绳的拉力 ，通过一不可伸长的细绳连接物
块，细绳刚好拉直，测得物块以不同的角速度随圆盘做匀速圆周运动时拉
力与角速度 的大小.
在电脑上绘出图乙所示图像.换用形状和大小相同但材料不同的物块重复
实验，得到物块、、 分别对应的三条直线，发现与的纵截距相同，
与 的横截距相同，且符合一定的数量关系(最大静摩擦力等于滑动摩擦
力).以下说法正确的是( )
A.物块、、的质量之比为
B.物块、、的质量之比为
C.物块、、与转盘之间的动摩擦因数之比为
D.物块、、与转盘之间的动摩擦因数之比为
√
[解析] 根据牛顿第二定律有，整理得 ，
可知图像的斜率为，可知物块、、 的质量之比为
，故A、B错误； 图像的纵
截距绝对值为，由图像可得，可得物块 、
、 与转盘之间的动摩擦因数之比
为
，故C错误，D正确.
10.[2024·天津北辰区模拟] 如图所示，
足够长的水平光滑杆上装有小桶,桶
内水与小桶的总质量为 ，装有水
的小桶可以在杆上无摩擦的滑动，长杆下方 处有一匀速转动的圆盘，
某时刻小桶恰好位于圆盘圆心的正上方，小桶内不断有水滴滴落，当前一
滴水刚好滴落到圆盘上时，后一滴水刚好从小桶中漏出，当有一滴水刚好
从桶中漏出时给小桶一水平向右的作用力 ，使其由静止开始做匀
加速运动，并将此滴水记为第一滴，圆盘足够大，在此过程中认为桶内水
与小桶的总质量不变，重力加速度取 .
[解析] 水滴在竖直方向上做自由落体运动，由
可得水滴落到圆盘上的时间为
若要使滴落的水滴位于一条直线上，圆盘转动的周期为,则 为正
整数
则圆盘转动的角速度由 可得为正整数
(1) 若使滴落的水滴位于一条直线上，求圆盘转动的角速度 应满足什么
条件；
[答案] 为正整数
(2) 若使滴落的水滴位于一条直线上，求第二滴水与第三滴水落到圆盘上
的可能距离；
[答案] 或
[解析] 水滴下落前的水平方向加速度满足
得
第二滴水到圆盘中心的距离为
解得
第三滴水到圆盘中心的距离为
解得
当 取奇数时，第二、三滴水落到圆盘上圆心的异侧，落到圆盘上的距离为
当 取偶数时，第二、三滴水落到圆盘上圆心的同侧，落到圆盘上的距离为
[解析] 若圆盘转动的角速度为 ，则第二滴水落到圆盘上后到
第三滴水落到圆盘上时，圆盘转过的角度为
两滴水的位置与圆心连线成直角，由勾股定理得第二滴水与第三滴水落到
圆盘上的距离为
(3) 若圆盘转动的角速度为 ，求第二滴水与第三滴水落到圆
盘上的距离.(结果可保留根号)
[答案]
必备知识自查
一、1.切线 一周
2.（1）相等 （2）不变,圆心 （3）不变,速度
二、2.惯性
【辨别明理】 1.× 2.× 3.× 4.× 5.×
核心考点探究 考点一 考向一 例1.D 变式1.B 考向二 例2.AD
考点二 例3.D 例4.A
素养提升 例5.C 变式2.C 例6.BCD
基础巩固练
1.D 2.D 3.A
综合提升练
4.A 5.A 6.B 7.BD
8.（1） （2） （3）
拓展挑战练
9.D
10.（1）为正整数 （2）或 （3）

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