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增分微课2　平抛运动与圆周运动的综合问题
【应用示例】
例1　ABD　[解析] 物块做平抛运动,则H=gt2,解得t== s=0.4 s,故A正确;平抛运动的初速度为v0== m/s=2 m/s,故B正确;当摩擦力不足以提供向心力时,开始做平抛运动,则有μmg=,解得μ=,故C错误;根据几何关系可知物块落地点与转台圆心在地面的投影点间的距离d==1 m,故D正确.
例2　(1)0.4 s　(2)1.2 m　(3)外壁　6.4 N　竖直向上
[解析] (1)小球从点A到点P根据
h=gt2
其中h=R(1+cos 53°)
可解得时间t=0.4 s
(2)从点A到点P是平抛运动,小球恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内,则有tan 53°==
解得v0=3 m/s
从点A到点P是平抛运动,水平方向做匀速直线运动,有L=v0t
联立解得L=1.2 m
(3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时的速度vQ=v0=3 m/s
在Q点根据牛顿第二定律有
FN+mg=m
解得FN=6.4 N>0
根据牛顿第三定律可知小球对外壁有弹力,方向竖直向上,大小为6.4 N
例3　(1)0.4 s　(2)2.5π rad/s　(3)1.2 m
[解析] (1)水滴在竖直方向上做自由落体运动,则有h=gt2
得t== s=0.4 s
(2)由角速度定义式ω=,Δθ最小为π,要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上,圆盘转动的最小角速度ωmin=2.5π rad/s
(3)第一滴水和第二滴水落在同一直线上才有最大距离,由x=vt知,第一滴水的落点x1=±0.4 m
第二滴水的落点x2=±0.8 m
第一滴水与第二滴水在盘面上落点间的最大距离x=1.2 m
【题组演练】
1.A　[解析] 根据h=gt2可得t==2 s,则小球做平抛运动的初速度v0==2.5 m/s,A正确,B错误;根据ωt=2nπ,(n=1、2、3、…),解得圆盘转动的角速度ω==nπ,(n=1、2、3、…),A点转动的加速度为a=ω2r=n2π2r=5n2π2,(n=1、2、3、…),C、D错误.
2.A　[解析] 根据平抛运动规律可得,水落到水轮叶面上的水平分速度为v0=vsin 30°,竖直方向分速度为vy=vcos 30°,解得v=2v0、vy=v0,水在竖直方向做自由落体运动,则有vy=gt,解得t=,故A正确,B错误;因为轮叶受冲击点的线速度大小接近冲击前瞬间水流速度大小,即v=2v0,根据v=ωR可知,水车受冲击点的角速度接近ω=,故C、D错误.
3.A　[解析] 小球从B点脱离后做平抛运动,经过0.3 s后速度又恰好垂直于倾角为45°的斜面,则在C点的竖直分速度为vCy=gt=3 m/s,因小球恰好垂直撞在斜面上,则平抛运动水平初速度为v=vCytan 45°=3 m/s,小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为x=vt=0.9 m,故A正确,B错误;设小球经过B点时,受到上管道竖直向下的作用力FNB,根据牛顿第二定律可得FNB+mg=m,联立方程,解得FNB=-1 N,负号说明小球在B点受到下管道的作用力,作用力的大小是1 N,故C、D错误.增分微课2　平抛运动与圆周运动的综合问题
平抛运动是匀变速曲线运动模型的一种特例,它的基本特征是初速度水平,且只受重力.高考中有关该知识点试题的命制常常与圆周运动相联系.
两种运动结合的本质是多过程问题,两种运动结合的本质是不同运动在时间或者空间上的衔接,在每一个过程中,遵循独立的运动规律,关键是将两独立的运动通过合适的物理量进行衔接,使之成为一个整体.对于本部分知识点的复习,重点还是抛体运动和圆周运动的基础知识点和处理方法,最后再通过速度、位移等进行衔接.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (多选)如图所示,圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径R=0.6 m,离水平地面的高度H=0.8 m,物块平抛落地时水平位移的大小x=0.8 m,重力加速度g取10 m/s2.设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则 (　)
A.物块平抛运动到达地面的时间t=0.4 s
B.物块做平抛运动的初速度大小v0=2 m/s
C.物块与转台间的动摩擦因数μ=
D.物块落地点与转台圆心在地面的投影点间的距离d=1 m
[反思感悟] 　

例2 [2024·安徽合肥模拟] 如图所示,竖直平面内有一光滑圆弧轨道(管道内径可忽略),其半径为R=0.5 m,平台与轨道的最高点等高,一质量m=0.8 kg的小球从平台边缘的A处以速度v0水平射出,恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内,轨道半径OP与竖直方向的夹角为53°,已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,g取10 m/s2.
(1)求小球从平台上的射出点A到圆轨道入射点P的运动时间t;
(2)求小球从平台上的射出点A到圆轨道入射点P之间的水平距离L;
(3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时的速度为vQ=v0,则小球对轨道的内壁还是外壁有弹力 求出该弹力的大小和方向.
例3 [2024·湖南衡阳模拟] 如图所示,水平放置的半径足够大的圆盘,绕过其圆心的竖直轴OO'以恒定转速转动,规定经过O点且水平向右为x轴的正方向,圆盘上方距盘面高为h=0.8 m处有一个玻璃杯,杯底中央一小孔正在不间断滴水,玻璃杯随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动,速度大小为v=1 m/s,已知玻璃杯在t=0时刻开始滴下第一滴水,此时杯底小孔恰好经过圆心O点的正上方,以后每当前一滴水落到盘面上时下一滴水刚好离开杯孔(g取10 m/s2),求:
(1)每一滴水经多长时间滴落到盘面上;
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上,圆盘转动的最小角速度ω的值(计算结果用π表示);
(3)第一滴水与第二滴水在盘面上落点间的最大距离x.
1.[2024·浙江温州模拟] 如图所示为一个半径为5 m的圆盘,正绕其圆心做匀速转动,当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候,在其圆心正上方20 m处有一小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出,g取10 m/s2,要使得小球正好落在A点,则 (　)
A.小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B.小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C.圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D.A点转动的加速度可能是π rad/s
2.[2024·福建福州一中模拟] 水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明.如图所示为某水车模型,从槽口水平流出的水初速度大小为v0,垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上,落点到轮轴间的距离为R.在水流不断冲击下,轮叶受冲击点的线速度大小接近冲击前瞬间水流速度大小,忽略空气阻力,重力加速度为g,有关水车及从槽口流出的水,以下说法正确的是 (　)
A.水流在空中运动时间为
B.水流在空中运动时间为
C.水车受冲击点的角速度接近
D.水车受冲击点的最大线速度接近
3.[2024·陕西西安一中模拟] 如图所示为一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道,管道里有一个直径略小于管道内径的小球,小球在管道内做圆周运动,从B点脱离后以初速度v做平抛运动,经过0.3 s后恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰.已知半圆形管道的半径为R=1 m,小球可看作质点且其质量为m=1 kg,g取10 m/s2.则 (　)
A.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C.小球经过管道的B点时,受到管道上侧的作用力FNB的大小是3 N
D.小球经过管道的B点时,受到管道下侧的作用力FNB的大小是2 N(共31张PPT)
增分微课2 平抛运动与圆周运动的综合
问题
应用示例
题组演练
答案核查
备用抛运动是匀变速曲线运动模型的一种特例,它的基本特征是初速度水平,
且只受重力.高考中有关该知识点试题的命制常常与圆周运动相联系.
两种运动结合的本质是多过程问题，两种运动结合的本质是不同运动在时
间或者空间上的衔接，在每一个过程中，遵循独立的运动规律，关键是将
两独立的运动通过合适的物理量进行衔接，使之成为一个整体.对于本部
分知识点的复习，重点还是抛体运动和圆周运动的基础知识点和处理方法，
最后再通过速度、位移等进行衔接.
例1 (多选)如图所示，圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转
速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径
，离水平地面的高度 ，物块平抛落地时水平位移的大
小，重力加速度取 .设物块所受的最大静摩擦力等于滑
动摩擦力.则( )
A.物块平抛运动到达地面的时间
B.物块做平抛运动的初速度大小
C.物块与转台间的动摩擦因数
D.物块落地点与转台圆心在地面的投影点间的距离
√
√
√
[解析] 物块做平抛运动，则 ，解得
，故A正确；平抛运动的
初速度为 ，故B正确；当摩擦力不足以提供向心
力时，开始做平抛运动，则有 ，解得 ，故C错误；
根据几何关系可知物块落地点与转台圆心在地面的投影点间的距离
，故D正确.
例2 [2024·安徽合肥模拟] 如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道 (管道内径可忽略)，其半径为 ，平台与轨道的最高点等高，一质量的小球从平台边缘的 处以
(1) 求小球从平台上的射出点到圆轨道入射点的运动时间 ；
[答案]
速度水平射出，恰能沿圆弧轨道上 点的切线方向进入轨道内，轨道半
径与竖直方向的夹角为 ，已知，， 取
.
[解析] 小球从点到点 根据
其中
可解得时间
(2) 求小球从平台上的射出点到圆轨道入射点之间的水平距离 ；
[答案]
速度水平射出，恰能沿圆弧轨道上 点的切线方向进入轨道内，轨道半
径与竖直方向的夹角为 ，已知，， 取
.
例2 [2024·安徽合肥模拟] 如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道 (管道内径可忽略)，其半径为 ，平台与轨道的最高点等高，一质量的小球从平台边缘的 处以
[解析] 从点到点 是平抛运动，小球恰
能沿圆弧轨道上 点的切线方向进
入轨道内，则有
解得
从点到点 是平抛运动，水平方向做匀
速直线运动，有
联立解得
(3) 小球沿轨道通过圆弧的最高点时的速度为 ，则小球对轨道的
内壁还是外壁有弹力？求出该弹力的大小和方向.
[答案] 外壁; ; 竖直向上
速度水平射出，恰能沿圆弧轨道上 点的切线方向进入轨道内，轨道半
径与竖直方向的夹角为 ，已知，， 取
.
例2 [2024·安徽合肥模拟] 如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道 (管道内径可忽略)，其半径为 ，平台与轨道的最高点等高，一质量的小球从平台边缘的 处以
[解析] 小球沿轨道通过圆弧的最高点 时
的速度
在 点根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知小球对外壁有弹力，
方向竖直向上，大小为
例3 [2024·湖南衡阳模拟] 如图所示，水平放
置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴
以恒定转速转动，规定经过 点且水平向右
为 轴的正方向，圆盘上方距盘面高为
处有一个玻璃杯，杯底中央一小孔正
在不间断滴水，玻璃杯随传送带沿与 轴平行
的方向做匀速直线运动，速度大小为，已知玻璃杯在 时刻
开始滴下第一滴水，此时杯底小孔恰好经过圆心 点的正上方，以后每当
前一滴水落到盘面上时下一滴水刚好离开杯孔取 ，求：
[解析] 水滴在竖直方向上做自由落体运动,则有
得
(1) 每一滴水经多长时间滴落到盘面上；
[答案]
(2) 要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的最小角
速度 的值(计算结果用 表示)；
[答案]
[解析] 由角速度定义式, 最小为 ，要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的最小角速度
(3) 第一滴水与第二滴水在盘面上落点间的最大距离 .
[答案]
[解析] 第一滴水和第二滴水落在同一直线上才有最大距离,由知，第一滴水的落点
第二滴水的落点
第一滴水与第二滴水在盘面上落点间的最大距离
1.[2024·浙江温州模拟] 如图所示为一个半径为 的圆盘，正绕其圆心做
匀速转动，当圆盘边缘上的一点 处在如图所示位置的时候，在其圆心正
上方处有一小球正在向边缘的点以一定的速度水平抛出， 取
，要使得小球正好落在 点，则( )
A.小球平抛的初速度一定是
B.小球平抛的初速度可能是
C.圆盘转动的角速度一定是
D.点转动的加速度可能是
√
[解析] 根据可得 ，则小球做
平抛运动的初速度 ，A正确，B错误；
根据 ，、2、3、 ，解得圆盘转
动的角速度 ，、2、3、，
点转动的加速度为 ，
、2、3、 ，C、D错误.
2.[2024·福建福州一中模拟] 水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明.
如图所示为某水车模型，从槽口水平流出的水初速度大小为 ，垂直落在
与水平面成 角的水轮叶面上，落点到轮轴间的距离为 .在水流不断冲
击下，轮叶受冲击点的线速度大小接近冲击前瞬间水流速度大小，忽略空
气阻力，重力加速度为 ，有关水车及从槽口流出的水，以下说法正确的是
( )
A.水流在空中运动时间为
B.水流在空中运动时间为
C.水车受冲击点的角速度接近
D.水车受冲击点的最大线速度接近
√
[解析] 根据平抛运动规律可得，水落到水轮叶面上的水
平分速度为 ，竖直方向分速度为
，解得 、 ，水在
竖直方向做自由落体运动，则有，解得 ，
故A正确，B错误；因为轮叶受冲击点的线速度大小接
近冲击前瞬间水流速度大小，即，根据 可知，水车受冲击
点的角速度接近 ，故C、D错误.
3.[2024·陕西西安一中模拟] 如图所示为一个固定在
竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径
略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，
从点脱离后以初速度做平抛运动，经过 后恰
A.小球在斜面上的相碰点与点的水平距离是
B.小球在斜面上的相碰点与点的水平距离是
C.小球经过管道的点时，受到管道上侧的作用力的大小是
D.小球经过管道的点时，受到管道下侧的作用力的大小是
好与倾角为 的斜面垂直相碰.已知半圆形管道的半径为 ，小球
可看作质点且其质量为，取 .则( )
√
[解析] 小球从点脱离后做平抛运动，经过 后
速度又恰好垂直于倾角为 的斜面，则在 点的竖
直分速度为 ，因小球恰好垂直撞在
斜面上，则平抛运动水平初速度为，
小球在斜面上的相碰点 与点的水平距离为 ，故A正确,B错
误；设小球经过 点时，受到上管道竖直向下的作用力 ，根据牛顿第二
定律可得 ，联立方程，解得 ，负号说明小球在
点受到下管道的作用力,作用力的大小是 ，故C、D错误.
1.如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中是以 为圆心的一
段圆弧，位于竖直平面内.现有一小球从一水平桌面的边缘 点向右水平飞
出，该小球恰好能从点沿圆弧的切线方向进入圆轨道. 与竖直方向间
的夹角为，与竖直方向间的夹角为 .下列关系式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 小球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体
运动，小球在点时的速度与水平方向间的夹角为 ，则 ，
位移与竖直方向间的夹角为，则， 则
.故A正确，B、C、D错误.
2.如图所示，在竖直平面内，直径为 的光滑半圆
轨道和半径为的光滑 圆轨道水平相切于点.
点在水平地面上，可视为质点的小球从 点以某一
初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点 ，从
A. B. C. D.
点飞出后落在 圆轨道上的点，不计空气阻力，取，则 点
与 点的高度差为( )
√
[解析] 小球刚好通过点，则在 点由重力提供向心力，
则有，解得，小球从 点抛出后做
平抛运动，则水平方向的位移 ，竖直方向的位
移，根据几何关系有 ，解得，点与 点
的高度差为 ，故A正确，B、C、D错误.
3.如图甲所示为我国传统民俗文化表演“抡花”活动，祈福来年风调雨顺、
免于火灾，已被列入国家级非物质文化遗产.“抡花”原理如图乙所示，快速
转动竖直转轴上的手柄，带动“花筒”、 在水平面内转动，筒内
烧红的铁片沿轨迹切线飞出，落到地面，形成绚丽的图案.已知
，、离地高，若手摇 转动的角速度大小为
，不计空气阻力，重力加速度取 ，求：
(1) “花筒” 的线速度大小；
[答案]
[解析] “花筒”转动的角速度与 相同，其线速度大小为
(2) “花筒”(内含铁片)质量为 时所需向心力大小；
[答案]
[解析] “花筒”所需向心力大小为
得
(3) 铁片落地点与 点的距离大小(计算结果可用根号表示).
[答案]
[解析] 铁片沿切线飞出后，做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有
解得
水平方向做匀速直线运动，有
所以，落地点与 点的距离大小为
应用示例
例1.ABD
例2.（1） （2） （3）外壁,,竖直向上
例3.（1） （2） （3）
题组演练
1.A 2.A 3.A

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