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实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
1.(1)1　(2)16.1　(3)　
6.1×10-3
[解析] (1)圆盘转动10周所用的时间t=62.8 s,则圆盘转动的周期为T= s=6.28 s,根据角速度与周期的关系有ω==1 rad/s.
(2)根据游标卡尺的读数规则有1.6 cm+1×0.1 mm=16.1 mm.
(3)小圆柱体做圆周运动的半径为r=,则小圆柱体所需向心力表达式F=,代入数据得F≈6.1×10-3 N.
2.(1)竖直　(2)　k(r-L)　
(3)　=
[解析] (1)为了保证只有水平弹簧的拉力提供向心力,重锤A运动时要保持重锤的悬线竖直.
(2)重锤A的周期T=,弹簧的拉力F=k(r-L).
(3)重锤A的向心力为Fn=m()2r、T=,联立可得Fn=;当Fn=F成立时,向心力的公式得到验证,即k(r-L)=成立时,向心力的公式得到验证.
3.(1)控制变量法　(2)　(3)　
(4)　mc
[解析] (1)因涉及的物理量较多,故该实验采用的物理方法是控制变量法.
(2)遮光片宽度很窄,通过光电门的时间很短,可以用平均速度替代瞬时速度,则有v=.
(3)根据向心力公式F=m=m·,可知应描绘的是F-图像.
(4)1图像的纵截距为正,满足的条件为F-μmg=m·,可知b=μmg,解得μ=;2图像有横截距,满足的条件为F+μmg=m·,可知μmg=mc,解得l=mc.
4.(1)无　cos α-2cos β　(2)gtan α=ω2r1　(3)=
[解析] (1)对甲分析有Fn甲=mgtan α=mω2r1,即gtan α=ω2r1①,对乙有Fn乙=2mgtan β=2mω2r2,即gtan β=ω2r2②,联立①②可知=③,因为r1(2)若向心力公式成立,则有mgtan α=mω2 r1,得gtan α=ω2 r1.
(3)由牛顿第二定律有mgtan α=mω2 r1,得==,同理可得==,两球ω相同,则=,所以O1O2=AB=-O2A.实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 (限时20分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·海南卷] 水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体,如图甲所示,图乙为俯视图,测得圆盘直径D=42.02 cm,圆柱体质量m=30.0 g,圆盘绕过盘心O的竖直轴匀速转动,转动时小圆柱体相对圆盘静止.
甲
乙
丙
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况,某同学设计了如下实验步骤:
(1)用秒表测圆盘转动10周所用的时间t=62.8 s,则圆盘转动的角速度ω=　　　　rad/s(π取3.14).
(2)用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径,某次测量的示数如图丙所示,该读数d=　　　　mm,多次测量后,得到平均值恰好与d相等.
(3)写出小圆柱体所需向心力表达式F=　　　　(用D、m、ω、d表示),其大小为　　　　N(保留2位有效数字).
2.[2024·广东湛江模拟] 用如图所示的装置来验证向心力的表达式,用手指搓动竖直轴顶端的滚花部分,使重锤A在水平面内做匀速圆周运动,实验步骤如下:
a.先称出重锤的质量m,将它用不可伸长的轻质细线悬挂在横杆的一端,调整横杆的平衡体B的位置,使横杆两边平衡,量出重锤到轴的距离r,移动指示器P的位置,使它处于重锤的正下方;
b.在重锤和转轴之间挂上水平弹簧,这时重锤将被拉向转轴,用手指搓动转轴.尽量使重锤做匀速转动,并从指示器的正上方通过;
c.记下重锤转动n圈经过指示器正上方的时间t,测出周期以及弹簧的原长L和劲度系数k.
回答下列问题:
(1)重锤A运动时要保持重锤的悬线　　　　.
(2)重锤A的周期T=　　　　,弹簧的拉力F=　　　　(用k、r、L来表示).
(3)重锤A的向心力Fn=　　　　(用m、r、n、t来表示),当Fn　　　　(选填“>”“=”或“<”)F成立时,向心力的表达式得到验证.
3.[2024·湖北恩施模拟] 某小组同学在做“探究影响向心力大小的因素”的实验时,采用如图甲所示的装置:他们把滑块套在水平杆上,使其可随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动,力传感器通过细绳连接滑块,可测绳上拉力大小F,在质量为m的滑块上固定一遮光片,宽度为d,光电门可以记录遮光片通过的时间t,并测出滑块中心到竖直杆的距离为l.通过依次仅改变滑块的质量、速度和滑块到转轴中心的距离来进行实验.
(1)该实验采用的物理方法是　　　　　　　.
(2)滑块运动的线速度为v=　　　　(用题目中的物理量符号表示).
(3)若某同学通过图像法探究向心力与滑块线速度的关系,应描绘的是F-　　　(选填“t”“”“t2”或“”)图像.
(4)某同学描绘的(3)中的图像不过坐标原点,小组中的另一位同学猜测其原因是滑块与水平杆之间存在摩擦力,他多次实验发现描绘的图像总是介于图乙中的1、2之间,该同学发现这些直线都互相平行,其中1图像的纵轴截距为b,2图像的横轴截距为c,则滑块与杆之间的动摩擦因数μ=　　　(用m、b、重力加速度g表示),该次实验的滑块中心到竖直杆的距离为l=　　　(用m,d,b,c表示).
4.[2024·山西吕梁模拟] 某科技小组用电动机做一个电动圆锥摆,用圆锥摆验证向心力的表达式,如图1用薄贴片做一个圆片,中间打一个圆孔套在轴杆上,两侧对称各打一个小孔,用不可伸长的细绳连接小球系在小孔(小孔可看作质点)上,测得小孔到转轴的距离为d.改变电动机的转速,可以改变小球旋转的角速度.已知重力加速度为g.
(1)如图1所示,选质量分别为m、2m的球系在长度不同的甲、乙绳上,甲、乙绳所系的小孔到球心的距离分别为L和2L,电动机以稳定的角速度ω匀速转动时,在转动的小球下方靠近轴的位置水平放置一根刻度尺,测出甲、乙两绳上摆球的球心到转轴的水平距离r1、r2,设甲、乙绳与竖直方向夹角分别为α、β,则α、β角的大小关系与两球的质量　　　　(选填“有”或“无”)关,-=　　　　(用已知量或测得的物理量符号表示).
(2)若向心力公式成立,则g、α、ω、r1间应满足关系式
　.
(3)有同学根据测得的数据画出图2,O1、O2分别为甲、乙摆绳延长线与中心轴的交点,A、B分别为甲、乙两绳上摆球所在水平面与中心轴的交点,则长度O1O2=AB　　　　 (选填“>”“<”或“=”)-O2A. 实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
例1　(1)C　(2)一　(3)D　(4)D
[解析] (1)本实验的目的是探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系,采用的实验方法是控制变量法;探究两个互成角度的力的合成规律,采用的实验方法是等效替代法,故A错误;探究平抛运动的特点,采用的是等效思想,故B错误;探究加速度与物体受力、物体质量的关系,采用的实验方法是控制变量法,故C正确.
(2)在某次实验中,探究向心力的大小与半径的关系时,应保持两小球质量m、角速度ω相同,则需要将传动皮带调至第一层塔轮.
(3)角速度为ω1、ω2时,左、右测力套筒露出的格子数之比均为2∶1,两标尺露出的格子数之比表示向心力的比值,且B处、C处分别到各自转轴中心距离之比为2∶1,可知F与r成正比,故选D.
(4)在另一次实验中,把两个质量相等的钢球放在A、C位置,则m、r相同,传动皮带位于第二层,角速度比值为ωA∶ωC=R2∶2R2=1∶2,根据向心力公式F=mω2r,当塔轮匀速转动时,左右两标尺露出的格子数之比表示向心力的比值,左右两标尺露出的格子数之比约为nA∶nC=FA∶FC=∶=1∶4,故选D.
变式1　(1)如图所示　(2)F ω2　(3)作一条平行于纵轴的辅助线,观察到和图像的交点对应的纵坐标的数值之比约为1∶2∶3　(4)0.037 5　kg
[解析] (1)描点后绘图时注意尽量让所描的点落到同一条平滑曲线上,不能落到曲线上的让其均匀分布在曲线两侧,如图所示.
(2)通过对图像的观察,兴趣小组的同学猜测F与ω2成正比.可以通过进一步的转换,作出F ω2的关系图像来确定他们的猜测是否正确,如果猜测正确,作出的F ω2的关系图像应当为一条倾斜直线.
(3)他们得出F∝r的结论,其依据是:作一条平行于纵轴的辅助线,观察到和图像的交点对应的纵坐标的数值之比约为1∶2∶3,说明向心力与物体做圆周运动的半径成正比.
(4)做圆周运动的物体受到的向心力F与角速度ω、半径r的数学关系式是F=kω2r,代入(1)问所绘曲线上任意一点的坐标数值,比如(20 rad·s-1,1.2 N),此时半径为0.08 m,由1.2 N=k×202 rad2/s2×0.08 m,解得k=0.037 5 kg.
例2　(1)保持不变　(2)　
F1=mL　
(3)　F2=
[解析] (1)力传感器1的示数始终等于小球和遮光片的总重力,示数保持不变.
(2)甲同学实验时,周期T1=;如果表达式F1=mL=mL成立,则向心力公式得到验证.
(3)乙同学实验时,遮光片N2次遮光的总时间为t2,一次遮光的平均时间为t0=,小球运动的线速度v2==;如果表达式F2=m=成立,则向心力公式得到验证.
变式2　(1)B　(2)如图所示　(3)增大　1
[解析] (1)在探究向心力大小与角速度、质量、半径的关系的实验中,需要先控制某些量不变,探究向心力与其中某个物理量的关系,即为控制变量法,故选B.
(2)根据所给数据描绘F ω2图像.
(3)根据图像可知,随角速度的增大,轻杆作用力增大;轻杆对滑块的作用力为滑块做圆周运动的向心力,根据F=mrω2,图线的斜率k=mr= kg·m,解得m=1 kg.
例3　(1)　　(2)g　(3)　
[解析] (1)小球通过最低点时的速度为v=,小球悬挂并保持静止,此时力传感器示数为F1,则小球的质量m=.
(2)小球通过光电门时,小球受重力和细线的拉力作用,拉力F2和重力mg的合力提供向心力,有F2-F1=man,解得an==g.
(3)由于d L,则根据向心加速度公式,有an===g,整理得F2-F1=,可见当纵轴表示F1-F2,横轴表示时,绘制出的图线为过坐标原点的直线,能更直观体现出向心力大小与线速度大小的关系,图线的斜率k=.
变式3　(3)　(4)变小　上移　(5)h T2　4π2k
[解析] (3)光电传感器连续3次接收到信号的时间间隔是一个周期,钢球运动的周期T=.
(4)由ω==2πn,若适当调大电机转速,钢球运动的周期T将变小,ω变大;则激光笔应上移.
(5)钢球做匀速圆周运动时重力与支持力的合力提供向心力,如图所示,则mgtan θ=mhtan θ,解得h=T2,为了能直观地研究实验规律,图像应为线性关系的图像,则应该作h T2图像,根据图像的斜率k求出当地重力加速度g=4π2k.实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
　　　　　 　　　　　 　　　　　
一、实验目的
1.学会使用向心力演示器.
2.通过实验探究向心力大小与物体的质量、角速度和轨道半径的关系.
二、实验原理
1.探究方法:控制变量法.
2.实验思路
(1)控制两物体的质量和转动半径相同,探究向心力大小与转动角速度的定量关系.
(2)控制两物体的质量和转动角速度相同,探究向心力大小与转动半径的定量关系.
(3)控制两物体的转动半径和角速度相同,探究向心力大小与物体质量的定量关系.
三、实验器材
向心力演示器(如图所示),三个金属球(半径相同,其中两个为质量相同的钢球,另一个为质量是钢球一半的铝球).
如图所示,匀速转动手柄1,可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动,槽内的小球也随着做匀速圆周运动.使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供.球对挡板的反作用力,通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降,从而露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间等分标记,可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
四、实验步骤
1.把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同.调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度不同.注意向心力的大小与角速度的关系.
2.保持两个小球质量不变,增大长槽上小球的转动半径.调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同.注意向心力的大小与转动半径的关系.
3.换成质量不同的球,分别使两球的转动半径相同.调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度也相同.注意向心力的大小与小球质量的关系.
4.重复几次以上实验.
五、数据处理
分别作出Fn ω2、Fn r、Fn m的图像,分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系,并得出结论.
(1)在质量和轨道半径一定的情况下,向心力的大小与角速度的平方成正比.
(2)在质量和角速度一定的情况下,向心力的大小与轨道半径成正比.
(3)在轨道半径和角速度一定的情况下,向心力的大小与质量成正比.
六、误差分析
1.污渍、生锈等使小球的质量、轨道半径变化,带来的误差.
2.仪器不水平带来的误差.
3.标尺读数不准带来的误差.
4.皮带打滑带来的误差.
七、注意事项
1.实验前要做好横臂支架安全检查,检查螺钉是否有松动,保持仪器水平.
2.实验时转速应从慢到快,且转速不宜过快,以免损坏测力弹簧.
3.注意防止皮带打滑,尽可能保证ω比值不变.
4.注意仪器的保养,延长仪器使用寿命,并提高实验可信度.
例1 [2024·福建福州一中模拟] 如图甲所示为向心力演示仪,某同学探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系.长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1,该同学设计了如图乙所示的三种组合方式,变速塔轮自上而下每层左右半径之比分别为1∶1、2∶1和3∶1.
(1)本实验的目的是探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系,下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是　　　　;(填选项前的字母)
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.探究平抛运动的特点
C.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中,探究向心力的大小与半径的关系,则需要将传动皮带调至第　　　　(选填“一”“二”或“三”)层塔轮;
(3)按(2)中正确选择后,两次以不同的转速匀速转动手柄,左、右测力套筒露出等分标记如图丙所示.则向心力大小F与球做圆周运动半径r的关系是　　　　.
丙
A.F与r2成反比
B.F与r2成正比
C.F与r成反比
D.F与r成正比
(4)在另一次实验中,把两个质量相等的钢球放在A、C位置,传动皮带位于第二层,转动手柄,当塔轮匀速转动时,左右两标尺露出的格子数之比约为　　　　.
A.2∶1
B.8∶1
C.1∶2
D.1∶4
[反思感悟] 　

变式1 [2024·陕西西安一中模拟] 一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力与角速度、半径的关系.
(1)首先,他们让一砝码做半径r为0.08 m的圆周运动,数字实验系统通过测量和计算得到若干组向心力F和对应的角速度ω,如下表.请你根据表中的数据在图甲中绘出F ω的关系图像.
实验序号 1 2 3 4 5 6 7
F/N 2.42 1.90 1.43 0.97 0.50 0.23 0.06
ω/(rad·s-1) 28.8 25.7 22.0 18.0 13.0 8.5 4.3
(2)通过对图像的观察,兴趣小组的同学猜测F与ω2成正比.他们认为,可以通过进一步转换,作出　　　　的关系图像来确定他们的猜测是否正确.
(3)在证实了F∝ω2之后,他们将砝码做圆周运动的半径r再分别调整为0.04 m、0.12 m,又得到了两条F ω图像,他们将三次实验得到的图像放在一个坐标系中,如图乙所示.通过对三条图像的比较、分析、讨论,他们得出F∝r的结论,你认为他们的依据是 　
　.
(4)通过上述实验,他们得出结论:做圆周运动的物体受到的向心力F与角速度ω、半径r的数学关系式是F=kω2r,其中比例系数k的大小为　　　　,单位是　　　　.
甲
乙
　　　　　 　　　　　 　　　　　
创新 角度 实验装置图 创新解读
实验器材的创新 (1)利用力传感器可得向心力的大小 (2)用光电门来测圆周运动的周期
(1)利用力传感器可得向心力的大小 (2)用光电门来测圆周运动的角速度 (3)利用F ω2图像来处理数据
实验原理的创新 (1)利用竖直平面内变速圆周运动的最低点研究向心力与向心加速度的关系 (2)利用“F1 F2与”图像处理数据
(1)利用竖直平面内变速圆周运动的最低点研究向心力与向心加速度的关系 (2)利用“h T2”图像处理数据
考向一　实验器材的创新
例2 [2024·广西南宁一中模拟] 甲、乙两同学分别用如图所示的实验装置来验证向心力公式.匀质小球由轻绳a和b分别系在固定在轻质木架上A点和C点的力传感器1、2上.小球上装有遮光片,当木架绕轴BC匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,绳a在竖直方向、绳b在水平方向.测得小球中心到转轴的距离为L,小球和遮光片的质量为m,忽略空气的阻力.
(1)实验时,随着装置匀速转动的角速度增大,力传感器1的示数会　　　　　　(选填“不断增大”“不断减小”或“保持不变”).
(2)甲同学实验时,保持装置匀速转动,测得遮光片从第一次遮光到第N1次遮光经历的总时间为t1,则小球做圆周运动的周期T1=　　　　　　;力传感器2的示数为F1,如果表达式　　　　　　　　　　(用F1、L、m、N1、t1、π表示)成立,则向心力公式得到验证.
(3)乙同学实验时,测得遮光片的宽度为d,保持装置匀速转动,测得遮光片N2次遮光的总时间为t2,则小球做圆周运动的线速度v2=　　　　　;力传感器2的示数为F2,如果表达式　　　　　　(用F2、L、m、N2、t2、d表示)成立,则向心力公式得到验证.
[反思感悟] 　


变式2 [2024·安徽亳州模拟] 为“探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系”,某同学设计了如图甲所示的实验装置,竖直转轴固定在电动机上(未画出),光滑的水平直杆固定在竖直转轴上,能随竖直转轴一起转动,在水平直杆的左端套上一带孔滑块P,用轻杆将滑块与固定在转轴上的力传感器连接,当转轴转动时,直杆随转轴一起转动,力传感器可以记录轻杆上的力,在直杆的另一端安装宽度为d的遮光条,在遮光条经过的位置安装一光电门,光电门可以记录遮光条经过光电门的挡光时间.
(1)本实验中用到的物理方法是　　　　(填选项序号).
A.微元法
B.控制变量法
C.类比法
(2)改变电动机的转速,多次测量,得出五组轻杆上作用力F与对应角速度ω的数据如表格所示:
ω/ 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.40 0.90 1.60 2.50 3.60
请在图乙所给的坐标纸中标出未标注的坐标点,并画出F ω2图像.
(3)根据图像分析,当滑块的质量m、转动半径r=0.4 m一定时,轻杆上的作用力F随角速度ω的增大而　　　　(选填“增大”“不变”或“减小”),结合所作图像可知m=　　　　 kg.
考向二　实验原理的创新
例3 [2024·四川成都模拟] 某物理兴趣小组“验证向心力大小与线速度大小关系”的实验装置如图所示.
实验步骤如下:
①按照图示安装仪器,轻质细线上端固定在力传感器上,下端悬挂一小球,小球静止时刚好位于光电门中央;
②将小球悬挂并保持静止,此时力传感器示数为F1,用米尺量出细线长度L;
③将小球拉到适当高度处且细线拉直,由静止释放小球,光电门记录小球的遮光时间t,力传感器示数最大值为F2;
④改变小球的释放位置,重复上述过程,已知小球的直径为d(d L),当地的重力加速度大小为g.
(1)小球经过光电门时的速度大小v=　　　　,小球的质量m=　　　　.(均用给定的物理量符号表示)
(2)仅从小球受力的角度分析,小球经过光电门时的加速度大小an=　　　　　　(用F1、F2、g表示).
(3)得出多组实验数据后,该实验小组选择用图像法处理数据,当纵轴表示F1-F2,横轴表示　　　　(选填“t”“”或“”)时,绘制出的图线为过坐标原点的直线,能更直观体现出向心力大小与线速度大小的关系,且图线的斜率k=　　　　　(用给定的物理量符号表示).
[反思感悟] 　


变式3 [2024·广东佛山模拟] 一物理老师设计了一款如图甲所示的研究向心力大小的实验装置,其简化示意图如图乙所示,装置固定在水平桌面上,在可调速的电机上固定一个半圆形有机玻璃凹槽(可忽略摩擦的影响),凹槽在电机的带动下能沿轴转动,旁边竖直固定一标尺,其上是可调高度的激光笔,实验步骤如下:
(1)将钢球放入凹槽底部,上下移动激光笔对准凹槽圆心所在的水平直线,此时激光笔所在位置读数记为h0.
(2)接通电源,开启电机调速开关,钢球往凹槽外侧运动;当钢球到达某一高度后随凹槽做稳定的匀速圆周运动,上下移动激光笔,当红色激光对准钢球球心位置时,记录此时激光笔所在位置读数为h1,记h=h1-h0.
(3)利用光电传感器探测钢球运动的周期T,当钢球第1次被光电传感器接收到信号时数字计时器开始计时,并记录为1次,达到n次时计时器停止计时,记录总时间为t,则钢球运动的周期T=　　　　(用题给的符号表示,忽略有机玻璃对激光的折射).
(4)若适当调大电机转速,钢球运动的周期T将　　　　(选填“变大”“不变”或“变小”);则激光笔应　　　　(选填“上移”“不动”或“下移”).
(5)改变电机转速,重复实验,得到多组T和h的数据,记录到表格中,并绘制　　　　　(选填“h T2”或“h ”)图像,根据图像的斜率k还能进一步求出当地重力加速度g,g=　　　　(用题给的符号表示). (共84张PPT)
实验六 探究向心力大小与半径、角速度、
质量的关系
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拓展创新实验
◆
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备用习题
一、实验目的
1.学会使用向心力演示器.
2.通过实验探究向心力大小与物体的质量、角速度和轨道半径的关系.
二、实验原理
1.探究方法：控制变量法.
2.实验思路
(1)控制两物体的质量和转动半径相同，探究向心力大小与转动角速度的
定量关系.
(2)控制两物体的质量和转动角速度相同，探究向心力大小与转动半径的
定量关系.
(3)控制两物体的转动半径和角速度相同，探究向心力大小与物体质量的
定量关系.
三、实验器材
向心力演示器(如图所示)，三个金属球
(半径相同，其中两个为质量相同的钢球，
另一个为质量是钢球一半的铝球).
如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之
匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动.使小球做匀速圆周运动的
向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供.球对挡板的反作用力，通过横臂
的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而
露出标尺8.根据标尺8上露出的红白相间
等分标记，可以粗略计算出两个球所受
向心力的比值.
四、实验步骤
1.把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同.
调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同.注意向心力的大小与角速
度的关系.
2.保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径.调整塔轮上的皮带，
使两个小球的角速度相同.注意向心力的大小与转动半径的关系.
3.换成质量不同的球，分别使两球的转动半径相同.调整塔轮上的皮带，使
两个小球的角速度也相同.注意向心力的大小与小球质量的关系.
4.重复几次以上实验.
五、数据处理
分别作出、、 的图像，分析向心力大小与角速度、半
径、质量之间的关系，并得出结论.
(1)在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比.
(3)在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
六、误差分析
1.污渍、生锈等使小球的质量、轨道半径变化，带来的误差.
2.仪器不水平带来的误差.
3.标尺读数不准带来的误差.
4.皮带打滑带来的误差.
七、注意事项
1.实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平.
2.实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧.
3.注意防止皮带打滑，尽可能保证 比值不变.
4.注意仪器的保养，延长仪器使用寿命，并提高实验可信度.
例1 [2024·福建福州一中模拟] 如图甲所示为向心力演示仪，某同学探究
小球做圆周运动所需向心力的大小与质量、角速度 和半径 之间的
关系.长槽的、处和短槽的处分别到各自转轴中心距离之比为 ，
该同学设计了如图乙所示的三种组合方式，变速塔轮自上而下每层左右半
径之比分别为、和 .
(1) 本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量、角速度 和半径
之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是___；
(填选项前的字母)
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.探究平抛运动的特点
C.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
√
[解析] 本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量、角速度 和半
径 之间的关系，采用的实验方法是控制变量法；探究两个互成角度的力
的合成规律，采用的实验方法是等效替代法，故A错误；探究平抛运动的
特点，采用的是等效思想，故B错误；探究加速度与物体受力、物体质量
的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确.
(2) 在某次实验中，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带
调至第____(选填“一”“二”或“三”)层塔轮；
一
[解析] 在某次实验中，探究向心力的大小与半径的关系时，应保持两小球质量、角速度 相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮.
(3) 按(2)中正确选择后，两次以不同的转速
匀速转动手柄，左、右测力套筒露出等分
标记如图丙所示.则向心力大小 与球做圆周
运动半径 的关系是___.
A.与成反比 B.与成正比 C.与成反比 D.与 成正比
[解析] 角速度为、时，左、右测力套筒露出的格子数之比均为 ，
两标尺露出的格子数之比表示向心力的比值，且处、 处分别到各自转
轴中心距离之比为，可知与 成正比，故选D.
√
(4) 在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在、 位置，传动皮带位
于第二层，转动手柄，当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比
约为___.
A. B. C. D.
√
[解析] 在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在、位置，则、
相同，传动皮带位于第二层，角速度比值为 ，根
据向心力公式 ，当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数
之比表示向心力的比值，左右两标尺露出的格子数之比约为
，故选D.
变式1 [2024·陕西西安一中模拟] 一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力与角速度、半径的关系.
(1) 首先，他们让一砝码做半径为 的圆周运动，数字实验系统通过
测量和计算得到若干组向心力和对应的角速度 ，如下表.请你根据表中
的数据在图甲中绘出 的关系图像.
实验序号 1 2 3 4 5 6 7
2.42 1.90 1.43 0.97 0.50 0.23 0.06
28.8 25.7 22.0 18.0 13.0 8.5 4.3
[答案] 如图所示
[解析] 描点后绘图时注意尽量让所描的点落到同一条平滑曲线上，不能落到曲线上的让其均匀分布在曲线两侧，如图所示.
(2) 通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测 与 成正比.他们认为，可以通过进一步转换，作出________的关系图像来确定他们的猜测是否正确.
[解析] 通过对图像的观察，兴趣小组的同学猜测 与成正比.可以通过进一步的转换，作出 的关系图像来确定他们的猜测是否正确，如果猜测正确，作出的 的关系图像应当为一条倾斜直线.
(3) 在证实了 之后，他们将砝码做圆周运动的半径再分别调整为、 ，又得到了两条 图像，他们将三次实验得到的图像放在一个坐标系中，如图乙所示.通过对三条图像的比较、分析、讨论，他们得出 的结论，你认为他们的依据是
______________________________________________________________________________.
作一条平行于纵轴的辅助线，观察到和图像的交点对应的纵坐标的数值之比约为
[解析] 他们得出 的结论，其依据是：作一条平行于纵轴的辅助线，观察到和图像的交点对应的纵坐标的数值之比约为 ，说明向心力与物体做圆周运动的半径成正比.
(4) 通过上述实验，他们得出结论：做圆周运动的物体受到的向心力与角速度 、半径 的数学关系式是，其中比例系数 的大小为
________，单位是____.
[解析] 做圆周运动的物体受到的向心力与角速度 、半径的数学关系式是 ，代入(1)问所绘曲线上任意一点的坐标数值，比如 ，此时半径为，由,解得 .
创新角度 实验装置图 创新解读
实验器材 的创新 __________________________________________________________________ (1)利用力传感器可得向心力的
大小
(2)用光电门来测圆周运动的周
期
创新角度 实验装置图 创新解读
实验器材 的创新 ___________________________________________________________________________ (1)利用力传感器可得向心力的
大小
(2)用光电门来测圆周运动的角
速度
(3)利用 图像来处理数据
续表
创新角度 实验装置图 创新解读
实验原理 的创新 _________________________________________________________ (1)利用竖直平面内变速圆周运
动的最低点研究向心力与向心加
速度的关系
(2)利用“与 ”图像处理数
据
续表
创新角度 实验装置图 创新解读
实验原理 的创新 __________________________________________________________________ (1)利用竖直平面内变速圆周运
动的最低点研究向心力与向心加
速度的关系
(2)利用“ ”图像处理数据
续表
考向一 实验器材的创新
例2 [2024·广西南宁一中模拟] 甲、乙两
同学分别用如图所示的实验装置来验证向
心力公式.匀质小球由轻绳和 分别系在
固定在轻质木架上点和 点的力传感器1、
2上.小球上装有遮光片，当木架绕轴 匀
速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运
动，绳在竖直方向、绳在水平方向.测得小球中心到转轴的距离为 ，小
球和遮光片的质量为 ，忽略空气的阻力.
(1) 实验时，随着装置匀速转动的角速度
增大，力传感器1的示数会__________
(选填“不断增大”“不断减小”或“保持不
变”).
保持不变
[解析] 力传感器1的示数始终等于小球和
遮光片的总重力，示数保持不变.
(2) 甲同学实验时，保持装置匀速转动，
测得遮光片从第一次遮光到第 次遮光经
历的总时间为 ，则小球做圆周运动的周
期_____；力传感器2的示数为 ，如
果表达式_ ________________(用、 、
、、、 表示)成立，则向心力公式得到验证.
[解析] 甲同学实验时，周期 ；如果表达式
成立，则向心力公式得到验证.
(3) 乙同学实验时，测得遮光片的宽度为
，保持装置匀速转动，测得遮光片 次
遮光的总时间为 ，则小球做圆周运动的
线速度____；力传感器2的示数为 ，
如果表达式_ __________(用、、 、
、、 表示)成立，则向心力公式得到验证.
[解析] 乙同学实验时，遮光片 次遮光
的总时间为 ，一次遮光的平均时间为
，小球运动的线速度 ；
如果表达式 成立，则向
心力公式得到验证.
变式2 [2024·安徽亳州模拟] 为“探究向心力大小与质量、角速度、半径
的关系”，某同学设计了如图甲所示的实验装置，竖直转轴固定在电动机
上(未画出)，光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，能随竖直转轴一起转动，
在水平直杆的左端套上一带孔滑块 ，用轻杆将滑块与固定在转轴上的力
传感器连接，当转轴转动时，直杆随转轴一起转动，力传感器可以记录轻
杆上的力，在直杆的另一端安装宽度为 的遮光条，在遮光条经过的位置
安装一光电门，光电门可以记录
遮光条经过光电门的挡光时间.
(1) 本实验中用到的物理方法是___(填选项序号).
A.微元法 B.控制变量法 C.类比法
√
[解析] 在探究向心力大小与角速度、质量、半径的关系的实验中，需要
先控制某些量不变，探究向心力与其中某个物理量的关系，即为控制变量
法，故选B.
(2) 改变电动机的转速，多次测量，得出五组轻杆上作用力 与对应角速
度 的数据如表格所示：
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.40 0.90 1.60 2.50 3.60
请在图乙所给的坐标纸中标出未标注的坐标点，并画出 图像.
[答案] 如图所示
[解析] 根据所给数据描绘 图像.
(3) 根据图像分析，当滑块的质量、转动半径 一定时，轻杆上
的作用力随角速度 的增大而______(选填“增大”“不变”或“减小”)，结
合所作图像可知___ .
增大
1
[解析] 根据图像可知，随角速度的增大，轻杆作用力增大；轻杆对滑块的作用力为滑块做圆周运动的向心力，根据 ，图线的斜率，解得 .
考向二 实验原理的创新
例3 [2024·四川成都模拟] 某物理兴趣小组“验证向
心力大小与线速度大小关系”的实验装置如图所示.
实验步骤如下：
①按照图示安装仪器，轻质细线上端固定在力传感
器上，下端悬挂一小球，小球静止时刚好位于光电
门中央；
②将小球悬挂并保持静止，此时力传感器示数为 ，
用米尺量出细线长度 ；
③将小球拉到适当高度处且细线拉直，由静止释放小球，
光电门记录小球的遮光时间，力传感器示数最大值为 ；
④改变小球的释放位置，重复上述过程，已知小球的直径为 ，当
地的重力加速度大小为 .
(1) 小球经过光电门时的速度大小 _ _，小球的
质量 _ __.(均用给定的物理量符号表示)
[解析] 小球通过最低点时的速度为 ，小球悬
挂并保持静止，此时力传感器示数为 ，则小球的
质量 .
(2) 仅从小球受力的角度分析，小球经过光电门时
的加速度大小_ ______(用、、 表示).
[解析] 小球通过光电门时，小球受重力和细线的拉
力作用，拉力和重力 的合力提供向心力，有
，解得 .
(3) 得出多组实验数据后，该实验小组选择用图像法处理数据，当纵轴表示 ，横轴表示___ (选填“”“”或“ ”)时，绘制出的图线为过坐标原点的直线，能更直观体现出向心力大小与线速度大小的关系，且图线的斜率 _ ____(用给定的物理量符号表示).
[解析] 由于 ，则根据向心加速度公式，有，
整理得 ，可见当纵轴表示，横轴表示 时，绘制出的图线为过坐标原点的直线，能更直观体现出向心力大小与线速度大小的关系，图线的斜率 .
变式3 [2024·广东佛山模拟] 一物理老师设计了一款如图甲所示的研究向
心力大小的实验装置，其简化示意图如图乙所示，装置固定在水平桌面上，
在可调速的电机上固定一个半圆形有机玻璃凹槽(可忽略摩擦的影响)，凹
槽在电机的带动下能沿轴转动，旁边竖直固定一标尺，其上是可调高度的
激光笔，实验步骤如下：
(1)将钢球放入凹槽底部，上下移动激光笔对准凹槽圆心所在的水平直线，
此时激光笔所在位置读数记为 .
(2)接通电源，开启电机调速开关，钢球往凹槽外侧运动；当钢球到达某
一高度后随凹槽做稳定的匀速圆周运动，上下移动激光笔，当红色激光对
准钢球球心位置时，记录此时激光笔所在位置读数为 ，记
.
(3)利用光电传感器探测钢球运动的周期 ，当钢球第1次被光电传感器接
收到信号时数字计时器开始计时，并记录为1次，达到 次时计时器停止计
时，记录总时间为，则钢球运动的周期 ____(用题给的符号表示，忽
略有机玻璃对激光的折射).
[解析] 光电传感器连续3次接收到信号的时间间隔是一个周期，钢球运
动的周期 .
(4)若适当调大电机转速，钢球运动的周期 将______(选填“变大”“不变”或
“变小”)；则激光笔应______(选填“上移”“不动”或“下移”).
变小
上移
[解析] 由，若适当调大电机转速，钢球运动的周期将变小， 变大；则激光笔应上移.
(5)改变电机转速，重复实验，得到多组和 的数据，记录到表格中，并
绘制_______(选填“”或“”)图像，根据图像的斜率 还能进一步
求出当地重力加速度, ______(用题给的符号表示).
(5)钢球做匀速圆周运动时重力与支持力的合力提供向心力，如图所示，则
，解得 ，为了能直观地研究实验规律，图像应为线性关系的图像，则应该作图像，根据图像的斜率 求出当地重力加速度 .
1.如图甲所示，利用向心力演示器探究做圆周运动的小球，当质量、半径
一定时，所需向心力大小与角速度 之间关系.
(1) 如图乙，若传动皮带套在塔轮第二层，左、右塔轮半径、 之比为
，则塔轮转动时，、 两处小球的角速度之比为_____；
[解析] 左、右塔轮边缘的线速度相等，则根据，可得 ，
则、两处小球的角速度之比为 ；
(2) 标尺上黑白相间的等分格显示如图丙，则、 两处小球所需向心力大
小之比约为_____；
[解析] 根据图丙中标尺上黑白相间的等分格显示可知，、 两处小球所
需向心力大小之比约为 ；
(3) 由此实验，得到的结论是
_______________________________________________________________________.
当质量、半径一定时，小球所需向心力大小与角速度的平方成正比关系
[解析] 由此实验，得到的结论是：当质量、半径一定时，小球所需向心
力大小与角速度的平方 成正比关系.
2.某同学用如图甲所示装置做探究向心力大小与角速度大小关系的实验.水
平直杆随竖直转轴一起转动，滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定
在竖直转轴上的力传感器连接，细线处于水平伸直状态，当滑块随水平直
杆一起匀速转动时，细线拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的
角速度可以通过角速度传感器测得.
(1) 滑块和角速度传感器的总质量为 ，保持滑块到竖直转轴的距离不
变，多次仅改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数 及角速
度传感器的示数 ，根据实验数据得到的 图像如图乙所示，图像
没有过坐标原点的原因是________________，滑块到竖直转轴的距离为
______ .(计算结果保留三位有效数字)
水平直杆不光滑
0.257
[解析] 若水平直杆不光滑，则滑块转动过程中当角速度较小时只有静摩
擦力提供向心力，随着角速度增大摩擦力逐渐增大，当摩擦力达到最大值
时继续增大角速度细线开始出现拉力，则有 ，即
，图像不过坐标原点,由图像可知斜率为
，解得 .
(2) 若去掉细线，仍保持滑块到竖直转轴的距离不变，则转轴转动的最大
角速度为___ .
5
[解析] 由图像可知，当时， ，则此时转轴转动的最大
角速度为，解得 .
3.在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，悬点刚好与一
个竖直的刻度尺零刻度线对齐.将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，
使钢球静止时刚好位于圆心正上方.用手带动钢球，设法使它在空中做匀
速圆周运动，通过俯视观察发现其做圆周运动的半径为 .已知钢球的质量
为，重力加速度为 .
(1) 用停表记录运动圈的总时间为 ，那么钢球做圆周运动中需要的向心
力表达式为 _ _________.
[解析] 根据向心力的公式，而， ，可得 .
(2) 通过刻度尺测得钢球轨道平面距悬点的高度为 ，那么钢球做圆周运
动中外力提供的向心力表达式为 _______.
[解析] 由几何关系得 .
(3) 改变钢球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的 关
系图像，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为
_ ____.
[解析] 由上面分析知，整理得 ，故该图线的斜
率表达式为 .
作业手册
1.[2024·海南卷] 水平圆盘上紧贴边缘放置一密度均匀的小圆柱体，如图甲
所示，图乙为俯视图，测得圆盘直径，圆柱体质量 ，
圆盘绕过盘心 的竖直轴匀速转动，转动时小圆柱体相对圆盘静止.
为了研究小圆柱体做匀速圆周运动时所需要的向心力情况，某同学设计了
如下实验步骤：
(1) 用秒表测圆盘转动10周所用的时间 ，则圆盘转动的角速度
___ 取 .
1
[解析] 圆盘转动10周所用的时间 ，则圆盘转动的周期为
，根据角速度与周期的关系有 .
(2) 用游标卡尺测量小圆柱体不同位置的直径，某次测量的示数如图丙所
示，该读数_____，多次测量后，得到平均值恰好与 相等.
16.1
[解析] 根据游标卡尺的读数规则有 .
丙
(3) 写出小圆柱体所需向心力表达式_ _________(用、、 、 表
示)，其大小为___________ (保留2位有效数字).
[解析] 小圆柱体做圆周运动的半径为 ，则小圆柱体所需向心力表
达式，代入数据得 .
2.[2024·广东湛江模拟] 用如图所示的装置来验证向心
力的表达式，用手指搓动竖直轴顶端的滚花部分，使
重锤 在水平面内做匀速圆周运动，实验步骤如下：
.先称出重锤的质量 ，将它用不可伸长的轻质细线悬
挂在横杆的一端，调整横杆的平衡体 的位置，使横杆
两边平衡，量出重锤到轴的距离，移动指示器 的位置，使它处于重锤的
正下方；
.在重锤和转轴之间挂上水平弹簧，这时重锤将被拉向转轴，用手指搓动
转轴.尽量使重锤做匀速转动，并从指示器的正上方通过；
.记下重锤转动圈经过指示器正上方的时间 ，测出周期以及弹簧的原长
和劲度系数 .
(1) 重锤 运动时要保持重锤的悬线______.
竖直
[解析] 为了保证只有水平弹簧的拉力提供向心力，重
锤 运动时要保持重锤的悬线竖直.
回答下列问题：
(2) 重锤的周期_ __，弹簧的拉力_________(用、、 来表示).
[解析] 重锤的周期，弹簧的拉力 .
(3) 重锤的向心力_ _______(用、、、 来
表示)，当___(选填“ ”“”或“ ”) 成立时，向
心力的表达式得到验证.
[解析] 重锤的向心力为、 ，联
立可得；当 成立时，向心力的公
式得到验证，即 成立时，向心力的公式得到验证.
3.[2024·湖北恩施模拟] 某小组同学在做“探究影响向心力大小的因素”的实
验时，采用如图甲所示的装置：他们把滑块套在水平杆上，使其可随水平
杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过细绳连接滑块，可测绳上
拉力大小，在质量为的滑块上固定一遮光片，宽度为 ，光电门可以记
录遮光片通过的时间，并测出滑块中心到竖直杆的距离为 .通过依次仅改
变滑块的质量、速度和滑块到转轴
中心的距离来进行实验.
(1) 该实验采用的物理方法是____________.
控制变量法
[解析] 因涉及的物理量较多，故该实验采用的物理方法是控制变量法.
(2) 滑块运动的线速度为 _ _(用题目中的物理量符号表示).
[解析] 遮光片宽度很窄，通过光电门的时间很短，可以用平均速度替代
瞬时速度,则有 .
(3) 若某同学通过图像法探究向心力与滑块线速度的关系，应描绘的是
___(选填“”“”“”或“ ”)图像.
[解析] 根据向心力公式，可知应描绘的是 图像.
(4) 某同学描绘的(3)中的图像不过坐标原点，小组中的另一位同学猜测其
原因是滑块与水平杆之间存在摩擦力，他多次实验发现描绘的图像总是介
于图乙中的1、2之间，该同学发现这些直线都互相平行，其中1图像的纵
轴截距为，2图像的横轴截距为，则滑块与杆之间的动摩擦因数 ____
(用、、重力加速度表示)，该次实验的滑块中心到竖直杆的距离为
_ ______(用，，， 表示).
[解析] 1图像的纵截距为正，满足的条件为 ，可知
，解得 ；2图像有横截距，满足的条件为
，可知，解得 .
4.[2024·山西吕梁模拟] 某科技小组用电动机做一个电动圆锥摆，用圆锥摆验证向心力的表达式，如图1用薄贴片做一个圆片，中间打一个圆孔套在轴杆上，两侧对称各打一个小孔，用不可伸长的细绳连接小球系在小孔(小孔可看作质点)上，测得小孔到转轴的距离为 .改变电动机的转速，可
以改变小球旋转的角速度.已知重力加速度为 .
(1) 如图1所示，选质量分别为、 的球系在长度不同的甲、乙绳上，
甲、乙绳所系的小孔到球心的距离分别为和 ，电动机以稳定的角速度
匀速转动时，在转动的小球下方靠近轴的位置水平放置一根刻度尺，
测出甲、乙两绳上摆球的球心到转轴的水平距离、 ，
设甲、乙绳与竖直方向夹角分别为 、 ，则 、
角的大小关系与两球的质量____(选填“有”或“无”)关，
______________(用已知量或测得的
物理量符号表示).
无
[解析] 对甲分析有甲，即 ，对乙有
乙，即 ，联立①②可知
，因为，可得 ，即 ，由①②可知
、 角的大小关系与两球的质量无关；由几何关系有 、
，对质量为 的小球有，
变形得 ，同理对质量为的小球也可以得
到 ，联立可得 .
(2) 若向心力公式成立，则、 、 、 间应满足关系式______________.
[解析] 若向心力公式成立，则有，得 .
(3) 有同学根据测得的数据画出图2，、 分别为甲、乙摆绳延长线与
中心轴的交点，、 分别为甲、乙两绳上摆球所在水平面与中心轴的交
点，则长度___ (选填“ ”“ ”或“”) .
[解析] 由牛顿第二定律有，得 ，同理可得，两球 相同，则 ，所以
.
教材原型实验 例1.（1）C （2）一 （3）D （4）D
变式1.（1）如图所示 （2）
（3）作一条平行于纵轴的辅助线，观察到和图像的交点
对应的纵坐标的数值之比约为 （4）,
拓展创新实验 考向一 例2.（1）保持不变 （2）, （3）, 变式2.（1）B （2）如图所示
（3）增大,1 考向二 例3.（1）, （2）
（3）, 变式3.,变小,上移,,
1.（1）1 （2）16.1 （3）,
2.（1）竖直 （2）, （3）,
3.（1）控制变量法 （2） （3） （4）,
4.（1）无, （2） （3）

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