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第五单元　万有引力与宇宙航行
第12讲　万有引力定律及其应用
例1　B　[解析] 开普勒三大定律不仅仅适用于太阳系中行星的运动,也适合于宇宙中其他天体的运动,故A错误;开普勒第二定律表明,行星绕太阳运动时,行星离太阳越远,速度越小,故B正确;所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,行星运动的方向总是沿轨道的切线方向,故C错误;k值与中心天体的质量有关,月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同,故D错误.
例2　D　[解析] 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度,A错误;小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等,由G=ma可知,小行星乙在远日点的加速度和地球公转加速度大小相等,B错误;根据开普勒第三定律有=,解得=,C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比==,D正确.
例3　B　[解析] 在火星表面,F1=G,在地球表面,F2=G,因为=,=,所以==0.4,选项B正确.
例4　B　[解析] 设该行星“赤道”上某处的重力加速度大小为g,该行星自转的角速度为ω,物体的质量为m,物体在“两极”处所受行星的万有引力大小等于重力大小,即G=1.1mg,物体在“赤道”上某处时所受行星的万有引力大小等于重力和物体随行星转动所需的向心力的合力大小,即G=mg+mω2R,联立解得ω=,故选B.
例5　B　[解析] 在上升到距地面某一高度时,根据牛顿第二定律可得FN-mg'=ma,解得g'=2.5 m/s2,在地球表面上有G=mg,在地球表面一定高度有G=mg',联立得r=2R,故选B.
例6　D　[解析] 设地球的质量为M,地球的半径为R,“海斗一号”下潜h深度后,以地心为球心、以R-h为半径的地球的质量为M',则根据密度相等有=,由于球壳对球内任一质点的万有引力为零,根据万有引力定律有=mg,联立以上两式并整理可得g=(R-h),故D正确,A、B、C错误.
例7　C　[解析] 设地球的质量与半径分别为M、R,地球表面的重力加速度为g,则由黄金代换公式知GM=gR2,设该行星的质量为M',则由黄金代换知GM'=g·(2R)2,解得M'=M,故C正确,A、B、D错误.
例8　B　[解析] 设红矮星的质量为M1,行星GJ1002c的质量为m1,轨道半径为r1,运动周期为T1;太阳的质量为M2,地球的质量为m2,日地距离为r2,地球运动的周期为T2;根据万有引力定律提供向心力有G=m1r1,G=m2r2,联立可得=·,由于行星GJ1002c的轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,可得≈≈0.1,选B正确.
例9　B　[解析] 设近火卫星的质量为m,火星的质量为M,对近火卫星,火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,则有=·,解得M=,可得火星的密度为ρ==,将M=代入上式可得ρ===,又火星对近火卫星的万有引力近似等于近火卫星的重力,则有mg0=G,解得M=,因此火星的密度为ρ===,故A、C、D正确,B错误.
变式　AC　[解析] 星球恰好能维持自转不瓦解时,万有引力充当向心力,即G=mR,又M=ρ·πR3,联立解得ρ=,选项A正确,B错误;设地球质量为M0,半径为R0,由于两极处物体的重力G0等于地球对物体的万有引力,即G0=G,在赤道上,地球对物体的万有引力和弹簧测力计对物体的拉力的合力提供向心力,则有G-0.9G0=mR0,地球平均密度ρ0==,则=,选项C正确,D错误.
例10　D　[解析] 设月球绕地球运动的轨道半径为r1,地球绕太阳运动的轨道半径为r2,根据G=mr,可得G=m月r1,G=m地r2,其中==,ρ=,联立可得=,故D正确.第五单元　万有引力与宇宙航行
第12讲　万有引力定律及其应用
1.A　[解析] “月—地检验”表明地面上的物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律,故A正确;开普勒第三定律=k,式中k的值只与太阳的质量有关,故B错误;牛顿发现了万有引力定律,卡文迪什在实验室里测出了引力常量,故C错误;牛顿探究天体间的作用力,得到行星间引力与距离的平方成反比,并进一步扩展为万有引力定律,故D错误.
2.D　[解析] “鹊桥二号”中继星环绕月球运动的24小时椭圆轨道的半长轴为a,则其24小时圆轨道的半径也为a,由万有引力提供向心力得G=m中a,对地球同步卫星,由万有引力提供向心力得G=m同r,联立解得=,D正确.
3.D　[解析] 设月球半径为R,质量为M,对嫦娥六号,根据万有引力提供向心力得G=m·(k+1)R,月球的体积V=πR3,月球的平均密度ρ=,联立可得ρ=(1+k)3,故选D.
4.D　[解析] 物体在火星表面时有mg火=G,在地球表面时有mg=G,解得火星表面的重力加速度g火=0.4g,探测器受到万有引力和发动机施加的制动力的作用,处于平衡状态,即F=mg火=0.4mg,故选D.
5.D　[解析] 根据万有引力提供向心力可得G=m(r+h),其中G=mg',解得g'=,根据ρ==,解得ρ=,故选D.
6.C　[解析] 根据题意,由万有引力提供向心力有=m嫦娥R2,解得G=,又有=m水·R1,解得m太==m·=m,故选C.
7.C　[解析] 根据万有引力提供向心力有G=mr,将“天问一号”的质量约掉,无法求得“天问一号”的密度,A、B错误;根据万有引力提供向心力有G=mR,而V=πR3,求得火星的密度ρ=,C正确,D错误.
8.D　[解析] 地球自转不可忽略时,物体受到的万有引力可分解为重力和向心力,所以物体在不同纬度处所受重力不同,在两极时轨迹半径为零,向心力为零,此时万有引力等于重力,即F1=,在赤道上时轨迹半径为地球半径,有=F2+mω2R,联立可得F1=F2+mω2R,故A、C错误;赤道上物体的向心力为F向=ma向=mω2R=F1-F2=-F2,可得赤道上物体的向心加速度为a向=ω2R=-,故B错误;在两极时,有F1=mg,可得两极处重力加速度大小为g=,故D正确.
9.B　[解析] 由万有引力公式得,挖空前,球体对质点的万有引力为F1=,根据M'=ρ·πr3,可知挖去部分的质量是球体质量的,则挖去部分对质点的引力为F2==,则剩下部分对质点的万有引力为F=F1-F2=,若挖去的小球中填满原来球的密度的3倍的物质,该物质的质量为M,则该物质对质点的万有引力F3=,所以填充后的实心球体对质点的万有引力为F'=F+F3=,故选B.
10.A　[解析] 设质量为m1的物体在马里亚纳海沟深度d处,有G=m1g1,又=,质量为m2的物体在空间站上,有G=m2g2,解得马里亚纳海沟深度d处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为=,故选A.
11.A　[解析] 卫星1、卫星2轨道的半长轴分别为a1=,a2=,由开普勒第三定律得==k,整理得R=,星球表面的重力加速度为gc,根据万有引力提供重力得G=mgc,星球质量的表达式为M=ρR3,联立得ρ==,故选A.
12.(1)　(2)　(3)
[解析] (1)月球表面附近的物体做自由落体运动,有h=g月t2
月球表面的自由落体加速度大小g月=
(2)不考虑月球自转的影响,有
G=mg月
得月球的质量M=
(3)月球的密度ρ===
13.BD　[解析] 列车在隧道中A点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力,如图所示,则有F合=Gsin θ,G=mg,sin θ=,解得F合=mg=mg,A错误;由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0,则在P点有G=mgP,由于质量均匀分布,则有=,解得gP=g14.(1)5 m　(2)
[解析] (1)设星球质量为M1,地球质量为M2,半径为R1和R2,星球表面的物体所受的万有引力大小等于重力,有
G=mg
可得g=G
在星球表面做平抛运动,则
h=gt2、x=v0t
解得x=v0R
设在星球和地球平抛水平位移分别为x1和x2,得=
代入数据,解得x1=5 m
(2)起飞前压力FN1=mg0
高h处时根据牛顿第二定律得FN2-mg1=ma
由题意可知=、a=g0
解得g1=g0
根据万有引力提供重力得G=mg
可得=
解得h=或h=-(舍去)第12讲　万有引力定律及其应用
一、开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式 推广
开普勒第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是　　　　,太阳处在　　　　的一个焦点上 行星绕太阳运动的轨道通常按　　　　　处理
开普勒第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　　　　相等 行星在两个位置的速度与到太阳的距离成反比,即近日点速度最大,远日点速度最小
开普勒第三定律 (周期定律) 所有行星轨道的　　　　　　　　　跟它的　　　　　　　　　　的比都相等 =k,k是一个与行星无关的常量,只与　　　　　　的质量有关 不同的中心天体k值不同,且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间
　　　　　 　　　　　 　　　　　
二、万有引力定律
1.表达式:F=G,G为引力常量,其值为G=　　　　　　　N·m2/kg2.
2.适用条件:
(1)公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球　　　　间的距离.
【辨别明理】
1.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样,但都有一个共同的焦点. (　)
2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越大. (　)
3.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心. (　)
4.两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大. (　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　开普勒行星运动定律
例1 对于开普勒行星运动定律的理解,下列说法中正确的是 (　)
A.开普勒三大定律仅适用于太阳系中行星的运动
B.开普勒第二定律表明,行星离太阳越远,速度越小
C.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆,行星运动的方向总是与它和太阳连线垂直
D.开普勒第三定律=k中,月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值相同
[反思感悟] 　


例2 [2024·浙江6月选考] 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的公转半径为R,小行星甲的远日点到太阳的距离为R1,小行星乙的近日点到太阳的距离为 R2,则 (　)
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比=
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比=
[反思感悟] 　


　万有引力及其与重力的关系
考向一　万有引力定律的理解与简单计算
例3 火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为 (　)
A.0.2 B.0.4
C.2.0 D.2.5
[反思感悟] 　


考向二　万有引力与重力的关系
1.地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图所示.
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R.
(2)在两极上:G=mg2.
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和.
越靠近两极,向心力越小,g值越大.由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即=mg.
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转):由mg=G,得g=.
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r=R+h处的重力加速度大小为g',则有mg'=,得g'=.所以=.
例4 某行星为质量分布均匀的球体,半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时,发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍.已知引力常量为G,则该行星自转的角速度为 (　)
A. B. C. D.
例5 [2024·江西宜春模拟] 一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动,火箭中有一质量为2 kg的科考仪器,在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为15 N,已知地球半径为R,则此时火箭离地球表面的距离为(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2) (　)
A.0.5R B.R
C.2R D.3R
[反思感悟] 　



考向三　地表以下的万有引力定律的应用
例6 [2024·江苏南通模拟] 中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”最大下潜深度超过了10 000米,若把地球看成质量分布均匀的球体,且球壳对球内任一质点的万有引力为零,忽略地球的自转,则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是 (　)
A
B
C
D
[反思感悟] 　


【技法点拨】
星体内部万有引力的两个推论推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0.推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(质量为m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(质量为M')对它的万有引力,即F=G.
　天体质量及密度的计算
使用方法 常用公式 求质量 求密度
利用环 绕天体 G= mr=m M=ρ·πR3 M== = ρ= 当r=R时 ρ=
利用天体 表面重力 加速度 =mg M=ρ·πR3 M= ρ=
考向一　天体质量的计算
例7 [2024·贵州贵阳模拟] 太空技术的飞速发展使人类登陆其他星球成为可能.若宇航员登上某一行星后,测得该行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的,其半径约为地球半径的2倍.由此可推知,该行星的质量约为地球质量的 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟] 　

例8 [2024·新课标卷] 天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 (　)
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1000倍
[反思感悟] 　

考向二　天体密度的计算
例9 [2024·辽宁沈阳模拟] 中国新闻网宣布:在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星.某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度,再与这颗陨石的密度进行比较.下列计算火星密度的公式错误的是(引力常量G已知,忽略火星自转的影响) (　)
火星 Mars 火星的小档案 直径d=6779 km 质量M=6.417 1×1023 kg 表面的重力加速度g0=3.7 m/s2 近火卫星的周期T=3.4 h
A.ρ= B.ρ=
C.ρ= D.ρ=
[反思感悟] 　

变式 (多选)[2024·河北邢台模拟] 2017年8月我国FAST天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星,其中一颗星的自转周期为T(实际测量为1.83 s,距离地球1.6万光年).假设该星球恰好能维持自转不瓦解;地球可视为球体,其自转周期为T0;同一物体在地球赤道上用弹簧测力计测得重力为两极处的.已知引力常量为G,则该脉冲星的平均密度ρ及其与地球的平均密度ρ0之比是 (　)
A.ρ= B.ρ=
C.= D.=
【技法点拨】
星球的瓦解问题:当星球自转越来越快,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的万有引力恰好提供向心力,即=mω2R,得ω=.当ω>时,星球瓦解,当ω<时,星球稳定运行.
例10 [2023·辽宁卷] 在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等,如图所示.若月球绕地球运动的周期为T1,地球绕太阳运动的周期为T2,地球半径是月球半径的k倍,则地球与太阳的平均密度之比约为 (　)
A.k3 B.k3
C. D.
[反思感悟] 　


一、椭圆　椭圆　圆轨道　面积　半长轴的三次方　公转周期的二次方　中心天体
二、1.6.67×10-11　2.(2)球心
【辨别明理】
1.√　2.×　3.√　4.×第12讲　万有引力定律及其应用 (限时40分钟)
1.[2024·江西宜春模拟] 关于行星运动定律及万有引力定律的建立,下列说法正确的是 (　)
A.“月—地检验”表明地面上的物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
B.开普勒第三定律=k,式中k的值不仅与太阳的质量有关,还与行星运动的速度有关
C.牛顿发现了万有引力定律,第谷经过多年的天文观测获取大量的天文数据而得出引力常量G的数值
D.卡文迪什仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系
2.[2024·山东卷] “鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a.已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为 (　)
A. B. C. D.
3.[2024·海南卷] 嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为 (　)
A. B.
C. D.(1+k)3
4.[2024·河南郑州一中模拟] 我国“天问一号”火星探测器于2021年5月成功着陆火星.降落过程中,“天问一号”减速至距离火星表面100米时进入悬停阶段.已知“天问一号”火星探测器总质量为m,火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,地球表面的重力加速度大小为g,忽略火星大气阻力,则悬停阶段反推发动机应提供的制动力大小约为 (　)
A.2.5mg B.40mg C.0.2mg D.0.4mg
5.[2024·安徽亳州模拟] 2024年6月3日,嫦娥六号携带的“移动相机”自主移动后拍摄并传回的着陆器和上升器合影如图甲所示.假设一月球探测器绕月球做周期为T的匀速圆周运动,轨道距月球表面的高度为h.已知月球半径为r,引力常量为G,忽略月球自转及地球对探测器的影响,则月球表面的重力加速度大小和月球的平均密度大小分别为 (　)
A.,
B.,
C.,
D.,
6.水星是太阳系的八大行星中最小且最靠近太阳的行星.西汉《史记·天官书》的作者司马迁从实际观测发现辰星呈灰色,与五行学说联系在一起,以黑色属水,将其命名为水星.水星绕太阳公转的轨道可视为半径为R1的圆,其公转周期为T1,“嫦娥四号”于2018年12月8日在四川省西昌卫星发射中心成功发射升空,它是人类第一个着陆月球背面的探测器,实现了人类首次在月球背面软着陆和巡视勘察.当“嫦娥四号”环月飞行时,其轨道可视为半径为R2的圆,其环月周期为T2,若=a,=b,月球质量为m,则太阳的质量为(　)
A.m B.m C.m D.m
7.[2024·吉林长春一中模拟] 为了对火星及其周围的空间环境进行探测,我国发射了“天问一号”火星探测器.假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在离火星表面高度为h的圆轨道上运动,运行周期为T1;制动后在近火的圆轨道上运动,运行周期为T2,火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星的自转影响,引力常量为G.仅利用以上数据,下列说法正确的是 (　)
A.可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
B.可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
C.可以求得火星的密度为
D.由于没有火星的质量和半径,所以无法求得火星的密度
8.[2024·广东深圳模拟] 为探究地球表面万有引力与重力的关系,一科学爱好者用同一弹簧测力计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为m的物体所受的重力.假设在两极时,物体静止时竖直方向的弹簧测力计读数为F1,在赤道上时,物体静止时竖直方向的弹簧测力计读数为F2.地球自转角速度为ω,设地球为标准的球体,半径为R,质量为M,引力常量为G.则以下表述正确的是(　)
A.F2=
B.赤道上物体的向心加速度为
C.F2=F1+mω2R
D.两极处重力加速度大小为g=
9.[2024·山东聊城模拟] 有一质量为M,半径为R,密度均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点,现在从M中挖去一半径为的球体,如图所示,然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来3倍的物质,如图所示.则填充后的实心球体对质点的万有引力为 (　)
A. 　　　B.
C. 　　 　D.
10.[2024·山西忻州模拟] 2023年,神舟家族太空接力,“奋斗者”号极限深潜,真正实现了“可上九天揽月,可下五洋捉鳖”!已知“奋斗者号”在马里亚纳海沟的坐底深度为d(10 909 m),空间站离地面的高度为h(400 km).假设地球质量分布均匀,半径为R,不考虑其自转,且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零,则深度为d处和高度为h处的重力加速度之比为 (　)
A. B.
C. D.
11.[2024·辽宁大连模拟] 如图所示,有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动,两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切),卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2,卫星1和卫星2的环绕周期之比为k.忽略星球自转的影响,已知引力常量为G,星球表面的重力加速度为gc.则星球的平均密度为 (　)
A. B.
C. D.
12.航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放,二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落,经时间t落到月球表面.已知引力常量为G,月球的半径为R(不考虑月球自转的影响).求:
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月;
(2)月球的质量M;
(3)月球的密度ρ.
13.(多选)[2024·重庆八中模拟] 如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道:质量为m的列车不需要引擎,从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点,O'为隧道的中点,O'与地心O的距离为h=R,假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体,地球表面的重力加速度为g,不考虑地球自转影响.已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0,P点到O'的距离为x,则(　)
A.列车在隧道中A点的合力大小为mg
B.列车在P点的重力加速度小于g
C.列车在P点的加速度a=g
D.列车在P点的加速度a=g
14.[2024·河北张家口模拟] 某星球的质量约为地球质量的4倍,半径与地球近似相等.
(1)若从地球表面高为h处平抛一物体,水平射程为10 m,则在该星球上,从同样高度,以同样的初速度平抛同一物体,水平射程应为多少
(2)如图所示,在该星球表面发射一枚带有精密探测器的火箭,火箭竖直向上做加速直线运动.已知该星球半径为R0,表面重力加速度为g0,升到某一高度时,加速度为g0,测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的,求此时火箭所处位置距星球表面的高度.(共79张PPT)
第12讲 万有引力定律及其应用
必备知识自查
核心考点探究
◆
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
备用习题
一、开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式 推广
开普勒 第一定 律(轨道定律) 所有行星绕太阳运 动的轨道都是 ______，太阳处在 ______的一个焦点 上 _____________________________________________________ 行星绕太阳运动的轨
道通常按________处
理
椭圆
椭圆
圆轨道
定律 内容 图示或公式 推广
开普勒 第二定 律(面积定律) 对任意一个行星来 说，它与太阳的连 线在相等的时间内 扫过的______相等 ____________________________________________________
面积
续表
定律 内容 图示或公式 推广
开普勒 第三定 律(周期定律) 所有行星轨道的 ________________ 跟它的__________ _________的比都 相等
半长轴的三次方
公转周期的二次方
中心天体
续表
二、万有引力定律
1.表达式：，为引力常量，其值为 ______
_______ .
2.适用条件：
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本
身的大小时，物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点， 是两球______间的距离.
球心
【辨别明理】
1.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点.
( )
√
2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大.( )
×
3.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心.( )
√
4.两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.( )
×
考点一 开普勒行星运动定律
例1 对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是( )
A.开普勒三大定律仅适用于太阳系中行星的运动
B.开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越小
C.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，行星运动的方向总是与它和太
阳连线垂直
D.开普勒第三定律中，月亮绕地球运动的值与地球绕太阳运动的
值相同
√
[解析] 开普勒三大定律不仅仅适用于太阳系中行星的运动，也适合于宇
宙中其他天体的运动，故A错误；开普勒第二定律表明，行星绕太阳运动
时，行星离太阳越远，速度越小，故B正确；所有的行星围绕太阳运动的
轨道都是椭圆，行星运动的方向总是沿轨道的切线方向，故C错误； 值
与中心天体的质量有关，月亮绕地球运动的值与地球绕太阳运动的 值
不同，故D错误.
例2 [2024·浙江6月选考] 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小
行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一
平面内，地球的公转半径为，小行星甲的远日点到太阳的距离为 ，小
行星乙的近日点到太阳的距离为 ，则( )
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比
√
[解析] 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小
于在近日点的速度，A错误；小行星乙在远日点到太阳的
距离与地球到太阳的距离相等，由 可知，小
行星乙在远日点的加速度和地球公转加速度大小相
等，B错误；根据开普勒第三定律有 ，解得 ,
C错误；甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比 ，D
正确.
考点二 万有引力及其与重力的关系
考向一 万有引力定律的理解与简单计算
例3 火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的 ，则同一物体
在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
[解析] 在火星表面，，在地球表面， ，因为
，,所以 ，选项B正确.
√
考向二 万有引力与重力的关系
1.地球对物体的万有引力表现为两个效果:
一是重力 ,
二是提供物体随地球自转的向心力 ,如图所示.
(1)在赤道上: .
(2)在两极上: .
(3)在一般位置:万有引力等于重力与向心力 的矢量和.
越靠近两极,向心力越小, 值越大.由于物体随地球自转所需的向心力较小, 常认为万有引力近似等于重力,即 .
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小(不考虑地球自转)由，
得.
(2)地球上空的重力加速度大小
地球上空距离地球中心处的重力加速度大小为，则有
，得.所以.
例4 某行星为质量分布均匀的球体，半径为、质量为 .科研人员研究同
一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处
重力的1.1倍.已知引力常量为 ，则该行星自转的角速度为( )
A. B. C. D.
[解析] 设该行星“赤道”上某处的重力加速度大小为 ，该行星自转的角速
度为 ，物体的质量为 ，物体在“两极”处所受行星的万有引力大小等于
重力大小，即 ，物体在“赤道”上某处时所受行星的万有引力
大小等于重力和物体随行星转动所需的向心力的合力大小，即
，联立解得 ，故选B.
√
例5 [2024·江西宜春模拟] 一火箭从地面由静止开始以 的加速度竖
直向上匀加速运动，火箭中有一质量为 的科考仪器，在上升到距地面
某一高度时科考仪器的视重为，已知地球半径为 ，则此时火箭离地
球表面的距离为(地球表面处的重力加速度取 )( )
A. B. C. D.
[解析] 在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得
，解得，在地球表面上有 ，在地
球表面一定高度有，联立得 ，故选B.
√
考向三 地表以下的万有引力定律的应用
例6 [2024·江苏南通模拟] 中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗
一号”最大下潜深度超过了10 000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，
且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于
“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小和下潜深度 的关系图像可能正
确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设地球的质量为，地球的半径为，“海斗一号”下潜 深度后，
以地心为球心、以为半径的地球的质量为 ，则根据密度相等有
，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引
力定律有，联立以上两式并整理可得 ，故D正
确，A、B、C错误.
[技法点拨]
星体内部万有引力的两个推论
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合
力为零，即 .
推论2：在匀质球体内部距离球心处的质点(质量为 )受到的万有引力等
于球体内半径为的同心球体(质量为)对它的万有引力，即 .
考点三 天体质量及密度的计算
使用方法 常用公式 求质量 求密度
利用环绕天体
利用天体表面 重力加速度
考向一 天体质量的计算
例7 [2024·贵州贵阳模拟] 太空技术的飞速发展使人类登陆其他星球成为
可能.若宇航员登上某一行星后，测得该行星表面的重力加速度是地球表
面重力加速度的 ，其半径约为地球半径的2倍.由此可推知，该行星的质
量约为地球质量的( )
A. B. C. D.
[解析] 设地球的质量与半径分别为、，地球表面的重力加速度为 ，
则由黄金代换公式知，设该行星的质量为 ，则由黄金代换知
，解得 ，故C正确，A、B、D错误.
√
例8 ［2024· 新课标卷］ 天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两
颗行星绕其运行，其中行星 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地
距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的
( )
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1000倍
√
[解析] 设红矮星的质量为，行星的质量为，轨道半径为 ，
运动周期为；太阳的质量为，地球的质量为，日地距离为 ，地
球运动的周期为；根据万有引力定律提供向心力有 ，
，联立可得，由于行星 的轨道
半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 ，选B
正确.
例9 [2024·辽宁沈阳模拟] 中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星.某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较.下列计算火星密度的公式错误的是(引力常量 已知，忽略火星自转的影响)( )
A. B.
C. D.
考向二 天体密度的计算
√
[解析] 设近火卫星的质量为，火星的质量为 ，对近火卫星，火星的万
有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有 ，解得
，可得火星的密度为，将 代入上式可得
，又火星对近火卫星的万有
引力近似等于近火卫星的重力，则有，
解得 ，因此火星的密度为
，故A、C、D正确，B错误.
变式 (多选)[2024·河北邢台模拟] 2017年8月我国 天文望远镜首次发
现两颗太空脉冲星,其中一颗星的自转周期为(实际测量为 ,距离地球
1.6万光年).假设该星球恰好能维持自转不瓦解;地球可视为球体,其自转周
期为;同一物体在地球赤道上用弹簧测力计测得重力为两极处的 .已知
引力常量为，则该脉冲星的平均密度 及其与地球的平均密度之比
是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 星球恰好能维持自转不瓦解时,万有引力充当向心力,即
,又,联立解得 ,选项A正确，B错误;设
地球质量为,半径为,由于两极处物体的重力 等于地球对物体的万有
引力,即 ,在赤道上,地球对物体的万有引力和弹簧测力计对物体
的拉力的合力提供向心力,则有 ,地球平均密度
,则 ,选项C正确，D错误.
[技法点拨]
星球的瓦解问题：当星球自转越来越快,星球对“赤道”上的物体的引力不足
以提供向心力时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件
是赤道上的物体所受星球的万有引力恰好提供向心力,即 ,得
.当时,星球瓦解,当 时,星球稳定运行.
例10 [2023·辽宁卷] 在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张
角)近似相等，如图所示.若月球绕地球运动的周期为 ,地球绕太阳运动的
周期为,地球半径是月球半径的 倍，则地球与太阳的平均密度之比约为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设月球绕地球运动的轨道半径为 ，地球绕太阳运动的轨道半径为
，根据,可得, ,其
中,,联立可得 ,故D正确.
开普勒行星运动定律
1.二十四节气是中华民族的文化遗产.地球沿椭圆形轨道绕太阳运动，所处
四个位置分别对应北半球的四个节气，如图所示.下列关于地球绕太阳公
转的说法正确的是( )
A.冬至时线速度最大
B.夏至和冬至时的角速度相同
C.夏至时加速度最大
D.可根据地球的公转周期求出地球的质量
√
[解析] 由开普勒第二定律可知地球在近日点运行速度
最大，在远日点速度最小，冬至时地球在近日点运行
速度最大，A正确；由开普勒第二定律可知地球与太
阳连线相同时间扫过的面积相同，因此相同时间转过角度不同，角速度不
同，B错误；夏至时距太阳最远，引力最小，因此加速度最小，C错误；
根据公式可知地球的质量会被消掉，所以求不出地球的质量，D错误.
2.如图所示，两质量相等的卫星、绕地球做匀速圆周运动，用、 、
、 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内
扫过的面积.下列关系式错误的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据开普勒第三定律知，A、D正确；由和 可
得，因，，则 ，B正确；根据开普勒
第二定律知，同一轨道上的卫星绕地球做匀速圆周运动，与地心连线在单
位时间内扫过的面积相等，对于卫星、，不等于 ，C错误.
万有引力及其与重力的关系
3.一物体静置在平均密度为 、半径为的星球表面上,以初速度 竖直向
上抛出该物体,则该物体上升的最大高度是已知引力常量为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 在星球表面,有,又,解得 ,由竖直
上抛运动的规律知,解得 ,选项A正确.
√
4.[2020· 全国卷Ⅰ] 火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的 ，
则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
[解析] 在火星表面，，在地球表面， ，因为
，,所以 ，选项B正确.
√
5.如图所示，有一个质量为、半径为 、密度均匀的大球体.
从中挖去一个半径为 的小球体，并在空腔中心放置一质量
为的质点，引力常量为 ，则大球体的剩余部分对该质点
A. B.0 C. D.
的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)
( )
√
[解析] 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对质
点的吸引力等于完整大球体对质点的吸引力与挖去小球体对
质点的吸引力之差，挖去的小球体球心与质点重合，对质点
的万有引力为零，则剩余部分对质点的万有引力大小等于完
整大球体对质点的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为 的球，
易知其质量为 ，则其余均匀球壳对质点的万有引力为零，故剩余部分
对质点的万有引力大小等于分离出的球体对其的万有引力，根据万有引力
定律，可得 ，故D正确.
天体质量及密度的计算
6.随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想.假如我国宇
航员登上月球并在月球表面附近以初速度 竖直向上抛出一个小球，经时
间后回到出发点.已知月球的半径为，引力常量为 ，则下列说法正确的
是( )
A.月球表面的重力加速度为
B.月球的质量为
C.月球的密度为
D.宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
√
[解析] 小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速直线运动规律得
，解得 ，故A错误；小球在月球表面上时，重力等于万有
引力，有，解得 ，故B正确；月球的密度为 ，故C错误；宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，根据重力提供向心力得 ，解得 ，故D错误.
7.一位爱好天文的同学结合自己所学设计了如下实验：在月球表面附近高
处以初速度水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为 ，
通过查阅资料知道月球的半径为，引力常量为 ，若物体只受月球引力
的作用，则月球的质量是( )
A. B. C. D.
[解析] 月球表面的物体做平抛运动，在水平方向上有 ，在竖直方
向上有，故月球表面的重力加速度，由 ，解
得月球质量 ，故A正确.
√
8.(多选)[2021·福建卷] 两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星的位置变化进行了持续观测，记录到的 的椭圆轨道如图所示.图中 为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率 (离心率)约为、分别为轨道的远银心点和近银心点，与 的距离约为太阳到地球的距离为， 的运行周期约为16年.假设 的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力
影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出( )
A. 与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C.在点与 点的速度大小之比
D.在点与 点的加速度大小之比
√
√
√
[解析] 设椭圆的长轴为，两焦点的距离为 ，则偏心率
, 且由题知，与的距离约为 ，即
,由此可得出与，由于 围绕致密天体运动，
根据万有引力定律，由已知条件无法求出两者的质量之比，
故A错误；根据开普勒第三定律有,式中 只与中心天体的质量有关，
且与成正比，所以对 围绕致密天体运动有,
对地球围绕太阳运动有 ,两式相比，可得
,因的半长轴、周期 已知，日、地之间的距离 和地球围绕太阳运动的周期 也已知，故由上式可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；根据开普勒第二定律有,解得,因、 已求出，故可以求出在点与 点的速度大小之比，故C正确；
不管是在点，还是在 点，都只受致密天体的万有引力作用，
根据牛顿第二定律有,解得,因点到 点的
距离为，点到 点的距离为，则,因、
已求出，故在点与 点的加速度大小之比可求出，故D正确.
作业手册
1.[2024·江西宜春模拟] 关于行星运动定律及万有引力定律的建立，下列说法
正确的是( )
A.“月—地检验”表明地面上的物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同
样的规律
B.开普勒第三定律，式中 的值不仅与太阳的质量有关，还与行星
运动的速度有关
C.牛顿发现了万有引力定律，第谷经过多年的天文观测获取大量的天文数据
而得出引力常量 的数值
D.卡文迪什仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳
间距离的平方成反比的关系
√
[解析] “月—地检验”表明地面上的物体所受地球引力与月球所受地球引力
遵从同样的规律，故A正确；开普勒第三定律，式中 的值只与太阳
的质量有关，故B错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什在实验室里
测出了引力常量，故C错误；牛顿探究天体间的作用力，得到行星间引力
与距离的平方成反比，并进一步扩展为万有引力定律，故D错误.
2.[2024·山东卷] “鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半
长轴为.已知地球同步卫星的轨道半径为 ，则月球与地球质量之比可表
示为( )
A. B. C. D.
[解析] “鹊桥二号”中继星环绕月球运动的24小时椭圆轨道的半长轴为 ，
则其24小时圆轨道的半径也为 ，由万有引力提供向心力得
，对地球同步卫星，由万有引力提供向心力得，联立解得 ,D正确.
√
3.[2024·海南卷] 嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为 ，轨道高度与月球半
径之比为，引力常量为 ，则月球的平均密度为( )
A. B. C. D.
[解析] 设月球半径为，质量为 ，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心
力得，月球的体积 ，月球的平均密
度，联立可得 ，故选D.
√
4.[2024·河南郑州一中模拟] 我国“天问一号”火星探测器于2021年5月成功
着陆火星.降落过程中，“天问一号”减速至距离火星表面100米时进入悬停
阶段.已知“天问一号”火星探测器总质量为 ，火星的质量约为地球质量的
，半径约为地球半径的，地球表面的重力加速度大小为 ，忽略火星大
气阻力，则悬停阶段反推发动机应提供的制动力大小约为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 物体在火星表面时有 ，在地球表面时有，解得火星表面的重力加速度 ，探测器受到万有引力和发动机施加的制动力的作用，处于平衡状态，即 ，故选D.
5.[2024·安徽亳州模拟] 2024年6月3日，嫦娥六号携带的“移动相机”自主移动后拍摄并传回的着陆器和上升器合影如图甲所示.假设一月球探测器绕月球做周期为 的匀速圆周运动，轨道距月球表面的高度为.已知月球半径为，引力常量为 ，忽略月球自转及地球对探测器的影响，则月球表面的重力加速度大小和月球的平均密度大小分别为( )
A., B.,
C., D.,
√
[解析] 根据万有引力提供向心力可得 ，其中
，解得，根据 ，解得
，故选D.
6.水星是太阳系的八大行星中最小且最靠近太阳的行星.西汉《史记·天官
书》的作者司马迁从实际观测发现辰星呈灰色，与五行学说联系在一起，
以黑色属水，将其命名为水星.水星绕太阳公转的轨道可视为半径为 的
圆，其公转周期为 ，“嫦娥四号”于2018年12月8日在四川省西昌卫星发
射中心成功发射升空，它是人类第一个着陆月球背面的探测器，实现了人
类首次在月球背面软着陆和巡视勘察.当“嫦娥四号”环月飞行时，其轨道可
视为半径为的圆，其环月周期为，若，，月球质量为 ，
则太阳的质量为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，由万有引力提供向心力有 ，解得
，又有 ，解得
，故选C.
7.[2024·吉林长春一中模拟] 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，
我国发射了“天问一号”火星探测器.假设“天问一号”被火星引力捕捉后先在
离火星表面高度为的圆轨道上运动，运行周期为 ；制动后在近火的圆
轨道上运动，运行周期为 ，火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火
星的自转影响，引力常量为 .仅利用以上数据，下列说法正确的是( )
A.可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
B.可以求得“天问一号”火星探测器的密度为
C.可以求得火星的密度为
D.由于没有火星的质量和半径，所以无法求得火星的密度
√
[解析] 根据万有引力提供向心力有 ，将“天问一号”的质量
约掉，无法求得“天问一号”的密度，A、B错误；根据万有引力提供向心
力有，而，求得火星的密度 ，C正确，D
错误.
8.[2024·广东深圳模拟] 为探究地球表面万有引力与重力的关系，一科学
爱好者用同一弹簧测力计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为 的物
体所受的重力.假设在两极时，物体静止时竖直方向的弹簧测力计读数为
，在赤道上时，物体静止时竖直方向的弹簧测力计读数为 .地球自转角
速度为 ，设地球为标准的球体，半径为，质量为，引力常量为 .则
以下表述正确的是( )
A. B.赤道上物体的向心加速度为
C. D.两极处重力加速度大小为
√
[解析] 地球自转不可忽略时，物体受到的万有引力可分解为重力和向心
力，所以物体在不同纬度处所受重力不同，在两极时轨迹半径为零，向心
力为零，此时万有引力等于重力，即 ，在赤道上时轨迹半径为地
球半径，有，联立可得 ，故A、C错误；
赤道上物体的向心力为 ，可得
赤道上物体的向心加速度为 ，故B错误；在两极时，
有，可得两极处重力加速度大小为 ，故D正确.
9.[2024·山东聊城模拟] 有一质量为，半径为 ，密度均匀的球体，在距
离球心为的地方有一质量为的质点，现在从中挖去一半径为 的球
体，如图所示，然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来3倍的物质，
如图所示.则填充后的实心球体对质点的万有引力为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由万有引力公式得，挖空前，球体对质点的万有引力为 ，
根据，可知挖去部分的质量是球体质量的 ，则挖去部分对
质点的引力为 ，则剩下部分对质点的万
有引力为 ，若挖去的小球中填满原来球的密度的3倍
的物质，该物质的质量为，则该物质对质点的万有引力 ，
所以填充后的实心球体对质点的万有引力为 ，故选B.
10.[2024·山西忻州模拟] 2023年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深
潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”！已知“奋斗者号”在马里
亚纳海沟的坐底深度为，空间站离地面的高度为 .
假设地球质量分布均匀，半径为 ，不考虑其自转，且质量均匀分布的球
壳对壳内物体的引力为零，则深度为处和高度为 处的重力加速度之比
为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设质量为的物体在马里亚纳海沟深度处，有 ，
又，质量为的物体在空间站上，有 ，解得马
里亚纳海沟深度 处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为
，故选A.
11.[2024·辽宁大连模拟] 如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，
两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切)，卫星1和卫星2的轨道
远地点到星球表面的最近距离分别为、 ，卫星1和卫星2的环绕周期之
比为.忽略星球自转的影响，已知引力常量为 ，星球表面的重力加速度
为 .则星球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 卫星1、卫星2轨道的半长轴分别为
， ，由开普勒第三定律得
，整理得 ，星球表面的重力加速度为，根据万有
引力提供重力得 ，星球质量的表达式为，联立得
，故选A.
12.航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，
二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为处下落，经时间 落到月球
表面.已知引力常量为，月球的半径为 (不考虑月球自转的影响).求：
(1) 月球表面的自由落体加速度大小 ；
[答案]
[解析] 月球表面附近的物体做自由落体运动，有
月球表面的自由落体加速度大小
12.航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，
二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为处下落，经时间 落到月球
表面.已知引力常量为，月球的半径为 (不考虑月球自转的影响).求：
(2) 月球的质量 ；
[答案]
[解析] 不考虑月球自转的影响，有
得月球的质量
12.航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，
二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为处下落，经时间 落到月球
表面.已知引力常量为，月球的半径为 (不考虑月球自转的影响).求：
(3) 月球的密度 .
[答案]
[解析] 月球的密度
13.(多选)[2024·重庆八中模拟] 如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为的列车不需要引擎，从入口的 点由静止开始穿过隧道到达另一端的点，为隧道的中点，与地心的距离为 ，假设地球是半径为的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为 ，不考虑地球自转影响.已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，点到的距离为 ，则 ( )
A.列车在隧道中点的合力大小为
B.列车在点的重力加速度小于
C.列车在点的加速度
D.列车在点的加速度
√
√
[解析] 列车在隧道中 点受到地球指向地心的万有引
力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示,则有
，， ，解
得 ，A错误；
由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，
则在 点有 ，由于质量均匀分布，
则有，解得 ，B正确；
令 ，根据上述，则有、
，解得 ，C错误,D正确.
14.[2024·河北张家口模拟] 某星球的质量约为地球质量的4倍，半径与地球近似相等.
(1) 若从地球表面高为处平抛一物体，水平射程为 ，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为多少？
[答案]
[解析] 设星球质量为，地球质量为，半径为和 ，星球表面的
物体所受的万有引力大小等于重力，有
可得
在星球表面做平抛运动，则、
解得
设在星球和地球平抛水平位移分别为和 ，得
代入数据，解得
(2) 如图所示，在该星球表面发射一枚带有精密探测器的火
箭，火箭竖直向上做加速直线运动.已知该星球半径为 ，
表面重力加速度为，升到某一高度时，加速度为 ，测
[答案]
试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的 ，求此时火箭所处位置距星球
表面的高度.
[解析] 起飞前压力
高处时根据牛顿第二定律得
由题意可知、
解得
根据万有引力提供重力得
可得
解得或 (舍去)
必备知识自查
一、椭圆,椭圆,圆轨道,面积,半长轴的三次方,公转周期的二次方,中心天体
二、1. 2.球心
【辨别明理】 1.√ 2.× 3.√ 4.×
核心考点探究 考点一 例1.B 例2.D
考点二 考向一 例3.B 考向二 例4.B 例5.B 考向三 例6.D
考点三 考向一 例7.C 例8.B 考向二 例9.B 变式.AC 例10.D
基础巩固练
1.A 2.D 3.D 4.D 5.D
综合提升练
6.C 7.C 8.D 9.B 10.A 11.A
12.（1） （2） （3）
拓展挑战练
13.BD 14.（1） （2）

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