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宜春一中2025-2026学年第一学期高三年级第一次月考
数学试卷
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求的.
1．已知集合，,则（ ）
A． B． C． D．
2．若平面向量与满足，且与的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．31
3．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
5．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
7．已知若对于任意两个不等的正实数x1、，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若实数满足，则下列结论不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题:共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，且，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向右移个单位长度后，图象关于y轴对称，则的最小值为
D．若关于x的方程在上有两个实数根，则实数m的取值范围为
11．已知函数对任意，都有，函数的定义域为，且的导函数满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．当时，可能为偶函数
三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分.
12．函数在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
13．若，则 ．
14．已知函数在区间内只有一个极小值点，没有极大值点，若，则的取值范围为 ．
四、解答题:共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15．（本题13分）
已知集合或，，，
(1)已知，求实数的取值范围；
(2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围.
16．（本题15分）
记△ABC的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求；
(2)若，记的角平分线与BC交于点D，求AD.
17．（本题15分）
已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．
18．（本题17分）
已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在上恒成立，求整数的最大值.
19．（本题17分）
已知函数.
(1)当时，求证：函数有唯一极值点；
(2)当时，求在区间上的零点个数；
(3)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值.
宜春一中2025-2026学年第一学期高三月考一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A B D C C D ABC BCD BCD
8．D
【详解】由，得，
由选项知只需要讨论及两种情况.
当时，，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，得成立，故A正确；
又因为，所以，
即，得，所以，故B正确；
当时，，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，得成立，故C正确；
因为，所以，
所以，得，即，故D错误，
10．BCD
【详解】对于A，因
，故的最小正周期为，故A错误：
对于B，因为时，，且，即函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C，将的图象向右移个单位长度后，可得的图象，
由的图象关于y轴对称，则，
则，解得，又，故的最小值为，故C正确；
对于D，由得，即，
因，设，则，关于x的方程有两个实数根，
等价于函数与的图象在上有两个交点，所以，
解得，故D正确.
故选：BCD.
11．BCD
【详解】对A：令，得，即，A错误.
对B：令，得，得.
由，得，构造函数，
则，则为减函数，则，
即，则，所以，故B正确；
对C：令，得.
根据B的结论，得：，
所以，故C正确；
对D：若，则可取满足，
则为偶函数，故D正确.故选：BCD
12．2 13．
14．
【详解】由题意，，则，时，，，
所以区间内的极小值点，有，
则，解得，即，所以的取值范围为.
15．(1) (2)
【详解】（1），或，因，故，即实数的取值范围为.
（2）由于是的必要条件，所以，因，
① 当时，，此时，符合题意；
② 当时，，由，可得，解得，
③ 当时，，由，可得，解得，综上所述：，
即实数的取值范围为.
16．(1); (2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，又，
所以，所以，
又因为，所以．
（2）由余弦定理可得，即，
又，则，解得：，或（舍去），所以，
根据面积关系可得，
即，
即，
又，所以
17．(1) (2)
【详解】（1），
又的最小正周期为，，则，所以.
（2）由（1）知，所以，
由时，得到，所以或
即或，因为在区间上有且仅有3个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；所以，故的取值范围是.
18．(1)答案见解析 (2)
【详解】（1）函数的定义域是.因为，则.
①当即时，，，此时，函数的增区间为，无减区间；
②当即时，由得，.
若，，时，此时，函数的增区间为，无减区间；
若，，当时，，当时，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，时，的增区间为，无减区间；
时，的减区间为，增区间为.
（2）由，得，即对恒成立.令，其中，
则，令，则，
因为，所以，所以在上单调递增.又，，
所以满足，即，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增
故，故，又因为，，所以的最大值是.
19．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）函数，有，则在R上单调递增，
当时，有，即.
当时，由，得，且.
当时，.因为，所以.
因为对任意恒成立，所以当时，.
则在上单调递减，在上单调递增，所以是的唯一极值点.
（2）当时，，，当时，，所以在上单调递减，因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点.
当时，令，则，
当时，有，所以在上单调递增，又因为，所以存在使得，当时，，所以在上单调递减，
所以当时，故在上无零点，当时，，所以在上单调递增，又，所以在上有且仅有一个零点.综上所述：在上有且只有2个零点.
（3）设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，
其斜率分别为，则.因为，所以.所以.
不妨设，则.因为，由“合一切线”的定义可知，.所以.由“合一切线”的定义可知，，所以.当时，取，
则，符合题意.所以.宜春一中2025-2026学年第一学期高三月考一数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A B D C C D ABC BCD BCD
8．D
【详解】由，得，
由选项知只需要讨论及两种情况.
当时，，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，得成立，故A正确；
又因为，所以，
即，得，所以，故B正确；
当时，，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，得成立，故C正确；
因为，所以，
所以，得，即，故D错误，
10．BCD
【详解】对于A，因
，故的最小正周期为，故A错误：
对于B，因为时，，且，即函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C，将的图象向右移个单位长度后，可得的图象，
由的图象关于y轴对称，则，
则，解得，又，故的最小值为，故C正确；
对于D，由得，即，
因，设，则，关于x的方程有两个实数根，
等价于函数与的图象在上有两个交点，所以，
解得，故D正确.
故选：BCD.
11．BCD
【详解】对A：令，得，即，A错误.
对B：令，得，得.
由，得，构造函数，
则，则为减函数，则，
即，则，所以，故B正确；
对C：令，得.
根据B的结论，得：，
所以，故C正确；
对D：若，则可取满足，
则为偶函数，故D正确.故选：BCD
12．2 13．
14．
【详解】由题意，，则，时，，，
所以区间内的极小值点，有，
则，解得，即，所以的取值范围为.
15．(1) (2)
【详解】（1），或，因，故，即实数的取值范围为.
（2）由于是的必要条件，所以，因，
① 当时，，此时，符合题意；
② 当时，，由，可得，解得，
③ 当时，，由，可得，解得，综上所述：，
即实数的取值范围为.
16．(1); (2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，又，
所以，所以，
又因为，所以．
（2）由余弦定理可得，即，
又，则，解得：，或（舍去），所以，
根据面积关系可得，
即，
即，
又，所以
17．(1) (2)
【详解】（1），
又的最小正周期为，，则，所以.
（2）由（1）知，所以，
由时，得到，所以或
即或，因为在区间上有且仅有3个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；所以，故的取值范围是.
18．(1)答案见解析 (2)
【详解】（1）函数的定义域是.因为，则.
①当即时，，，此时，函数的增区间为，无减区间；
②当即时，由得，.
若，，时，此时，函数的增区间为，无减区间；
若，，当时，，当时，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，时，的增区间为，无减区间；
时，的减区间为，增区间为.
（2）由，得，即对恒成立.令，其中，
则，令，则，
因为，所以，所以在上单调递增.又，，
所以满足，即，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增
故，故，又因为，，所以的最大值是.
19．(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）函数，有，则在R上单调递增，
当时，有，即.
当时，由，得，且.
当时，.因为，所以.
因为对任意恒成立，所以当时，.
则在上单调递减，在上单调递增，所以是的唯一极值点.
（2）当时，，，当时，，所以在上单调递减，因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点.
当时，令，则，
当时，有，所以在上单调递增，又因为，所以存在使得，当时，，所以在上单调递减，
所以当时，故在上无零点，当时，，所以在上单调递增，又，所以在上有且仅有一个零点.综上所述：在上有且只有2个零点.
（3）设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，
其斜率分别为，则.因为，所以.所以.
不妨设，则.因为，由“合一切线”的定义可知，.所以.由“合一切线”的定义可知，，所以.当时，取，
则，符合题意.所以.

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