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2025-2026学年北京市顺义区牛栏山一中高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题为真命题的是( )
A. B.
C. D.
3.复数，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.是所在平面内的一点，满足，则( )
A. 点在线段上 B. 点在线段的延长线上
C. 点在线段上 D. 点在线段的延长线上
7.对于定义域为的函数，“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.在声学中，声音的强度级单位：常用于描述声音的强弱强度级计算方式为：，其中是声音强度单位：，是常数，表示人耳可听到的最小强度设声源单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；声源单独发声时，产生的声音强度为，强度级为；且当声源、同时发声时，产生的声音强度；则此时的强度级
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标中，已知三点，，，若向量在上的投影向量相同，则的值为( )
A. B. C. D.
10.数集，其中，，若，且，求( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.复数对应的点在第______象限．
12.，若，则______．
13.对于定义域为的函数及满足条件：对任意，且，写出一个满足条件的函数______．
14.集合，非空集合，且满足：对任意，均存在，使记符合要求的的个数为则______；______．
15.数列为无穷非负整数数列，若对任意，均存在，且，使，则称数列为“完备数列”给出下列四个结论：
若正项等差数列为“完备数列”，则首项一定为；
若正项等比数列为“完备数列”，则公比一定为；
若满足，则对任意，数列均为“完备数列”；
若满足，则数列为“完备数列”；
其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
等比数列中，，，公比对于数列，点都在函数的图象上，求：
求数列的通项公式；
求数列的前项和；
数列中最大项是第几项？直接写出答案
17.本小题分
已知，且的解集为．
求，的值；
若在上恒成立，求的最大值．
18.本小题分
数列满足，且．
写出数列的第二项及第三项；
判断数列是否为等差数列并说明理由；
证明：是数列为单调递减数列的充分不必要条件．
19.本小题分
已知函数，其中．
若曲线在处的切线过原点，求的值．
当时，
判断过点，的切线条数，直接写出结果；
判断过点的切线条数并说明理由．
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
若函数在区间上有零点，求的取值范围．
21.本小题分
已知集合，，，，，，是的非空子集对于任意元素，，定义与之间的距离为，记，，为子集的特征值，其中表示有限集中的最小数．
当时，直接写出集合，，和，，，的特征值；
令，且为奇数，分别求出集合中元素个数和的特征值，并说明理由；
设，并且，求证：其中表示集合中元素个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.二
12.
13.
14.
15.
16.等比数列中，，，公比对于数列，点都在函数的图象上，
由题设且，则，则；
由题设，则；
由，其中为奇数时，为偶数时，
又，若第项最大为奇数且，则，
所以，整理得，则，
所以，即数列中最大项是第项．
17.根据题设的两个根为，，且，那么，可得；
根据第一问及已知在上恒成立，
根据对勾函数的性质知在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，即的最大值为．
18.由，且，
令，得，
令，得；
数列不是等差数列，理由如下：
若数列为等差数列，由等差数列的性质可得：
，解得，
而当时，，
由，依次求得，，，不符合，故数列不是等差数列；
证明：当时，
由，可得，则，
所以数列是单调递减数列，充分性成立；
若数列是单调递减数列，则，
即，可得，不一定满足，即是数列为单调递减数列的不必要条件．
综上所述，是数列为单调递减数列的充分不必要条件．
19.因为，
所以，
所以曲线在处的切线为，又其过原点，
所以，解得，
所以；
当时，，
所以，设切点为且，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
所以，
若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条；
若切线过点，则，令，则，
所以时，时，
则在上单调递减，在上单调递增，
当时，时，时，
所以在上无零点，即没有过点的切线；
切线过点，则，令，则，
所以时，时，
则在上单调递减，在上单调递增，
当时，时，时，
所以在上有个零点，即过点的切线有条．
20.当时，，
则，
由得，即，得，
由得，即，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
得在处取得极大值，，无极小值．
故的极大值为，无极小值．
，
当时，因为，所以，
在区间上单调递增，且，
因为在区间上有零点，
所以，解得 ，
所以；
当时，即，
由得，即，得，
由得，即，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
而，
因为在区间上有零点，
，
得
令，
因为函数，在上是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，所以；
当时，
由，得，
当时，即，得函数在上单调递减，
而，
则在区间上没有零点．
综上所述，的取值范围是．
21.对集合，，，
，，
，，
故；
对集合，，，
，，
，，
，，
，，
，，
故；
由于集合中元素的每个分量取值有两种可能，所以集合中共有个元素，
对于任意，其分量和可能是奇数也可能是偶数，
由于每个分量都独立取值，所以分量和为奇数和偶数的个数相同，
因为中元素的分量和为奇数，所以其两元素间的距离必为偶数，
因为中元素的分量和为奇数，所以中元素的个数为，
因为，所以，
取分量和为，分量和为，
此时，所以；
证明：任取，定义以为中心，半径为的“球”为与距离的元素的集合，
这个集合包括本身，与距离为的个元素将的一个分量改变，其他分量不动，得到一个元素，
共包含个元素，如此得到个球，
因为，所以这个球的球心距，两两不相交，这些球包含的元素都在中，
所以，又，所以，得证．
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