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2025-2026学年湖北省黄冈市高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则( )
A. 是假命题，：，
B. 是假命题，：，
C. 是真命题，：，
D. 是真命题，：，
3.已知，且，为虚数单位，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4.已知，为正实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？结果取整数，参考数据：，
A. B. C. D.
6.已知函数，，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象( )
A. 先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B. 先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
C. 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
D. 先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增
B. ，
C. 若，则的值域为
D. 若，则的值域为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.
B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为
C. 终边落在直线上的角的集合是
D. 函数的定义域为
10.定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则( )
A. B.
C. 的图象关于对称 D. 为的一个周期
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若方程有两个不相等的实根，，则
D. 若不等式对恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为______．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，其内切圆半径，则边长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数的图象在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数的最小值．
16.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有个零点，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数是偶函数．
求的值；
若，，不等式对任意恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，向量，且，点为边上一点．
求角的大小；
若是的角平分线，，的周长为，求的长度；
若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，试讨论的单调性；
若函数，是的一个极值点．
当时，证明：；
当时，的零点从小到大依次排列构成一个数列，记为证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，因此，
依题意知：，因此，
又因为因此，因此，；
因为，，因此，
因此，
当，即时，取得最小值，
因此最小值为．
16.由题意，可得
，
又的最小正周期为，，
则，
所以；
由知，
所以，
由时，得到，
所以或，
即或，
因为在区间上有且仅有个零点，
由，令，得；令，得；
由，令，得；，得；
所以，
故的取值范围是．
17.因为函数是偶函数，
所以，即，
即，而，
所以．
因为，所以，
所以，又因为，所以，
而对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当，，所以，
因为，所以，
所以，令，所以，
而在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以的取值范围是．
18.因为，所以，
又，
所以，
由正弦定理知，，
所以，即，
因为，所以，
又，所以．
因为，且，所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
所以，
因为为角的角平分线，
所以，
又，
所以，
即，
所以，
所以．
因为是边上靠近点的一个三等分点，
所以，
所以，
又，
所以，
由正弦定理得，，
所以
，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
即实数的取值范围为．
19.由题意可得，，，
当时，令，即，解得；令，即，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，即，解得；令，即，解得；
故在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：由题意可得，，，
是的一个极值点，则，解得，此时，经检验符合题意；
要证，即证，成立．
令，，则，
设，，则，
当时，，，则；
当时，，则在上单调递增，而，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
故G，即时，．
综上，当时，，即得证．
由，，则由，即，
当，时，恒成立，此时无零点，
当，时，
若，则，由知在上单调递增，在上单调递减，
而，，故存在，使，
当时，，当时，
故G在上单调递增，在上单调递减，
而，故，
当，，时，
由同理可证：
由有，
因为是的零点，所以，即
因为在上单调递减，，
所以，所以，即
因为
而，
所以，
故．
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