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广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2026届高三上学期第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.下列函数中是奇函数的是( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知为锐角，若，则( )
A. B. C. D.
5.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D. ．
7.已知是定义在上的奇函数，且，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.在的展开式中，则 ．
A. 各项系数的和是 B. 各二项式系数的和是
C. 含的项的系数是 D. 第项是系数最大的项
11.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点，分别是，的中点，且，，，，则( )
A. 平面
B. 四面体是鳖臑
C. 是四面体外接球球心
D. 过、、三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，则 ．
13.已知函数，则曲线在处的切线方程为 ．
14.已知曲线的焦点，曲线图象上的点满足，则数列的前项和 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病
未患该疾病
合计
记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
附，
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

求证：；
求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
在等差数列中，，在等比数列中，，公比．
求数列和的通项公式
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数在上的极值；
当时，求函数的单调区间．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，．
求角；
若，为锐角三角形，求的取值范围．
参考答案
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15.【详解】根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；
零假设为：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过．

16.【详解】证明：连接，

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，则，
因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，则．
因为直三棱柱中，，
所以，，两两垂直，
所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则
令可得．
设与平面所成角为，
所以，
即与平面成角的正弦值为，
所以与平面成角的余弦值为．

17.【详解】等差数列中，，
解得：
等比数列中，，公比．
由和
可得
由得：

18.【详解】当时，函数，定义域为，则，
令，即，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以在上的极小值小值为，无极大值；
当时，函数，定义域为，
则，
令，解得或，
当，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上：的单调递增区间为，，单调递减区间为．

19.【详解】因为，化简可得，
由正弦定理可得，
所以，
，
所以，
，即，又，
则，所以，则；
由知，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，
则的取值范围为．

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