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2025-2026学年江西省赣州市赣县区实验学校高二上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知的终边在第四象限，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角的对边分别为，且，则( )
A. B. C. D.
5.在中，分别是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.“或”是“定点在圆的外部”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，都是实数，下列命题是真命题的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 若直线倾斜角，则直线的斜率不存在或斜率的取值范围是
B. 直线恒过定点
C. 若直线与互相垂直，则
D. 若直线与平行，则与的距离为
11.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 图象的一条对称轴方程为
C. 在区间上先单调递增后单调递减
D. 在区间上恰有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的个球，其中有个红球和个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是
13.已知向量，满足，，且，则 ．
14.直线：被圆：截得的弦的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知方程．
若方程表示一条直线，求实数的取值范围；
若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程；
若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值；
若方程表示的直线的倾斜角是，求实数的值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，为锐角，且．
求；
设为的中点，若，且，求的面积．
17.本小题分
某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组，其中第二组的频数是第五组的频数的倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图如图所示解决下列问题．
若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
李老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差．
从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机选出人，求选出的人来自不同组的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点．
证明：平面；
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
函数是定义在上的奇函数，且
求的解析式；
证明在上为增函数；
解不等式．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令，因式分解得，解得或，
令，因式分解得，解得或，
所以若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为．
结合第一小问的因式分解，当的系数且的系数时，直线斜率不存在，
由，解得或，由解得且，
所以，此时的系数，
方程为，整理得，即此时直线方程为．
结合第一小问的因式分解，当方程表示的直线在轴上有截距，
可以知道的系数，也即且，
依题意，直线在轴截距为，即时，
将其代入方程得，
解得或舍弃，故的值为．
倾斜角为，则、前面的系数都不为零，由题中方程可知此时直线斜率，
也即，解得，所以实数的值为。

16.【详解】由条件及正弦定理得，
整理得，所以．
所以，即．
又为锐角，所以，故．
在中由余弦定理得，即
在中由余弦定理得
由消去，得，即．
因为，所以，
所以．

17.【详解】由题意知，第二组的频数是第五组的频数的倍，所以，
又，所以．
因为成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
所以第百分位数在内．
设第百分位数为，则，解得，
所以晋级分数线划为分合理．
因为，所以，
所以，所以．
剔除其中的和这个分数，设剩余个分数为，
平均数与标准差分别为，
则剩余个分数的平均数，
方差．
由图可知，按分层抽样法，这三组应分别抽取人，人，人，分别记为．
所有的抽样情况
，共个样本点，“选出的人来自于不同组”，则
，共个样本点，
所以．

18.【详解】取中点，连接，
为的中点，为中点，所以，且，
又，，，，
所以有，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，所以平面．
底面是直角梯形，，平面，平面，
所以平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以三棱锥的体积，
又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
所以，
又，，，
所以，故，
又，，所以，
平面平面，且平面平面，
又平面，所以平面，
故．
因为平面平面，且其交线为，
又平面，，
所以平面，
取的中点，连接，
在中，，分别为，的中点，
所以，
则平面，
过作于，连接，则有，
所以为二面角的平面角，
在直角梯形中，，，所以，所以，
又，所以，
在中，，所以，
即二面角的余弦值为．

19.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，此时，
又，所以，解得，
所以；
任取，且，则，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以在上为增函数；
因为函数是定义在上的奇函数，
所以由，得，
又因为在上为增函数，所以，解得．
所以原不等式的解集为．

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